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人教版2025—2026学年九年级上册期末模拟重点提分卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·雨花期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·湘西期末）的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
3．（2024九上·九龙坡期末）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示）
A． B． C． D．
4．（2024九上·江津期末）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．（2024九上·四会期末）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点则以下结论：；；其中正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
6．（2024九上·黔东南期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是，买张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是米
7．（2024九上·河西期末）一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．（2024九上·盘龙期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是（ ）
A．80° B．120° C．130° D．140°
9．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（2024九上·祁东期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②③若点，点是函数图象上的两点，则；④关于x的方程无实数根；其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·衡阳期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为 米．
12．（2024九上·武胜期末）若方程的解是，则方程的解是 ．
13．（2024九上·松原期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
14．（2024九上·乾安期末）小军与小王一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“石头”的概率是 ．
15．（2024九上·望奎期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
16．（2025九上·梓潼期末）已知函数，为实数，若，，则的最大值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·蓬溪期末）用适当的方法解方程
（1）
（2）
18．（2025九上·慈溪期末）一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
19．（2025九上·金牛期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．
（1）设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式；
（2）该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？
20．（2025九上·义乌期末）已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
21．（2025九上·廉江期末）如图，在等腰三角形中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（3）若为中点，，则的长为 ．
22．（2024九上·南开期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏围住．设边长为m，绿化带的面积为．
（1）如图1，若墙长为19m．
①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②当绿化带的面积为时，求的值；
③填空：当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）；
（2）填空：如图2，若墙长为24m，当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）．
23．（2024九上·任丘期末）2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．
（1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
（3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由．
24．（2024九上·东城期末）给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点
（1）若点
①点到线段的距离为 ，点到以线段为直径的圆的距离为 ；
②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ；
③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离的取值范围为 ；
（2）当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？
25．（2024九上·朝阳期末）如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分．
（1）求的度数；
（2）点在的延长线上，是该圆的切线．
①求证：是该圆的切线；
②若，直接写出的长．
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·雨花期末）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、二次函数图象开口向上，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、二次函数图象开口向下，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【分析】根据二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项．
2．（2024九上·湘西期末）的直径为6，直线上有一点满足，则与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【答案】D
【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系．解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆的位置关系来判定．判断直线和圆的位置关系：①直线l和相交；②直线l和相切；③直线l和相离．分垂直于直线l，不垂直直线l两种情况讨论．
【解答】解：如图所示，
当垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与l相切；
当不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离，与直线l相交．
故直线l与的位置关系是相切或相交．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①OP垂直直线l，②OP不垂直直线l，再利用直线与圆的位置关系（①直线l和圆相交；②直线l和圆相切；③直线l和圆相离）分析求解即可.
3．（2024九上·九龙坡期末）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（ ）（用含的代数式表示）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由旋转得，，，，
，
，，
，
．
．
．
故答案为：C
【分析】根据旋转的性质可得，，，结合“”，进而可知，，再根据三角形内角和定理可得的度数，进而可知的度数，再根据三角形内角和定理计算即可求解。
4．（2024九上·江津期末）如图，将绕着点B逆时针旋转后得到，若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，，
的长度为．
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质可得，再根据弧长公式并结合“”可得，加以计算即可求出的长度。
5．（2024九上·四会期末）如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点则以下结论：；；其中正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得抛物线的开口向下，与轴交于正半轴，
∴，故①错误；
∵图象与轴相交于两点，
∴当时，，对称轴为：；
∴，
∴，
∴，即：，故②正确；
由图可知，当时，，故③正确；
综上所述，正确的有2个；
故答案为：C
【分析】先根据二次函数的图象结合题意得到，进而判断①；再根据二次函数与坐标轴的交点得到当时，，对称轴为：，即，，从而得到，判断②；根据题意代入x=-1，从而得到y的值即可判断③.
6．（2024九上·黔东南期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放动画片
B．太阳每天从东方升起
C．某彩票中奖率是，买张一定会中奖
D．某运动员跳高的最好成绩是米
【答案】B
【解析】【解答】
A：打开电视机，正在播放动画片，是随机事件，不符合题意
B：太阳每天从东方升起，是必然事件，符合题意
C：某彩票中奖率是，买张一定会中奖，不是必然事件，不符合题意
D：某运动员跳高的最好成绩是米，是随机事件，不符合题意
故选：B
【分析】根据必然事件的定义在某一条件下必然重复发生的事件，进行判定即可。
7．（2024九上·河西期末）一元二次方程的两根之和与两根之积分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】【解答】由 可得，
两根之和为两根之积为
故答案为：A.
【分析】利用根与系数的关系：两根之和=两根之积=代入数据计算即可求解.
8．（2024九上·盘龙期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝80°，则∠BCD的度数是（ ）
A．80° B．120° C．130° D．140°
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠A＝ ∠BOD＝40°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD＋∠A＝180°，
∴∠BCD＝140°，
故答案为：D.
【分析】根据圆周角定理求出∠A，再利用圆内接四边形性质得出∠BCD＋∠A＝180°，即可求出∠BCD的度数.
9．（2024九上·苍溪期末）如图，在中，，，，的半径为1，点P是边上的动点，过点即P作的一条切线（点Q为切点），则切线长的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OQ，
∵PQ且圆O于点Q，
∴∠OQP=90°，
∵PQ=，
∵OQ为定值1，
∴当OP最小时，PQ的值最小，
∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，
∵在中，，，，
∴tan60°=，
∴OB=2，
∴AB=，
∴，
∴OP=3，
∴PQ==.
故答案为：A。
【分析】连接OQ，根据切线的性质可得∠OQP=90°，从而根据勾股定理可得PQ=，根据圆的半径OQ为定值，可得出当当OP最小时，PQ的值最小，然后根据垂线段最短即可得出op的最小值，进一步求得此时PQ的长度，也就是PQ的最小值。
10．（2024九上·祁东期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②③若点，点是函数图象上的两点，则；④关于x的方程无实数根；其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数开口往下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为，与x轴的交点在和之间，与x轴的另一个交点在和之间，
当时，，即故②正确；
关于直线的对称点为，且
故③错误
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线与直线无交点，
方程无实数根，故④正确
综上所述：一共有①②④正确；
故选：C
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2025九上·衡阳期末）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面米，若水面下降米时，则此时水面的宽度为 米．
【答案】6
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系，如图，
抛物线顶点坐标为(0，0)，且经过（-2，-2），（2，-2）
设抛物线的解析式是
代入得：0=a×0+b×0+C，
-2=4a-2b+c
-2=4a+2b+c
求出a=-0.5，b=0，c=0
抛物线解析式，
若水面下降米时 此时Y=-2+(-2.5)=-4.5
把代入抛物线解析式得出：-4.5=-0.5x，
解得：，
所以水面宽度为米，
故答案为：
【分析】
此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式，水面下降米时 此时Y=-2+(-2.5)=-4.5把y=-4.5代入抛物线解析式得出水面的横坐标．再根据坐标系中求两点之间的距离方法求出水面宽度。
12．（2024九上·武胜期末）若方程的解是，则方程的解是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：∵方程的解是，
∴的函数图象与x轴交点的横坐标为1，
∵的图像是向右移动一个单位得到的，
∴的函数图象与x轴的交点为2，
∴的解是．
故答案为：2
【分析】先根据题意结合二次函数与坐标轴的交点问题得到的函数图象与x轴交点的横坐标为1，进而根据二次函数的几何变换结合题意即可求解。
13．（2024九上·松原期末）二次函数的部分图象如图所示，则方程的根为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：如图所示
的一个根是x=3
函数图象的对称轴为
设方程的另一根为x1
解得x1=1
故方程的根为x=1或x=3
故答案为：或
【分析】根据二次函数图象与x轴交点的意义直接在图中找到一个方程的根x=3，再根据函数图象性质与函数系数的关系找到对称轴，找到3关于对称轴x=1对称的点，即找到另一个方程的根。
14．（2024九上·乾安期末）小军与小王一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“石头”的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：树状图分析如下：
机会均等的结果有9种，同时出石头的结果有1种，
所以：两同学同时出“石头”的概率 =.
故答案为：.
【分析】利用树状图分析法，根据概率计算计算公式，即可求得两同学同时出“石头”的概率。
15．（2024九上·望奎期末）如图，圆内接正方形的边长与外切正方形的边长之比是 ．
【答案】1：
【解析】【解答】解：如图：
设圆的半径为R，
∴CD=OD=R，
∴内接正方形的边长为R，AB=OB=R，
∴外切正方形的边长为2R，
∴圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为：R：2R=1：.
故答案为：1：.
【分析】根据题意画出图形，设圆的半径为R，由正方形的性质和勾股定理分别将圆的内接正方形和外切正方形的边长用含R的代数式表示出来，然后求比值即可求解.
16．（2025九上·梓潼期末）已知函数，为实数，若，，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
设，
∴
∴
，
，，
，，
，
的最大值是，
故答案为：．
【分析】易得，设，根据多项式恒等时对应项系数相等得到关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值，即可得到，再由不等式的性质可求，即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·蓬溪期末）用适当的方法解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
移项得：，
因式分解得：，
即：，
∴或；
（2）解：，
，
，
，
∴或．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求解；
（2）根据公式法结合题意解方程即可求解。
18．（2025九上·慈溪期末）一个不透明口袋里装有 4 个大小完全相同的球，其中红球 2 个，白球 2 个。
（1）从中任取一个球，求摸到红球的概率。
（2）若第一次从口袋中任意摸出 1 个球，不放回搅匀，第二次再摸出 1 个球。用列表或画树状图的方法求出刚好摸到一个红球和一个白球的概率。
【答案】（1）解：∵一个不透明口袋里装有4个大小完全相同的球，其中红球2个，白球2个，
∴从中任取一个球，求摸到红球的概率是
（2）解：
（列表亦可）
共有 12 种等可能的结果，同时摸两个球恰好是两个红球的有 2 种情况，
两次摸到的球都是红球的概率为
【解析】【分析】(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据概率公式画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案.
19．（2025九上·金牛期末）一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤．
（1）设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式；
（2）该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？
【答案】（1）解：y关于x的函数表达式为：
（2）解：设售价为元，每天能售出斤，由题意可得，，
解得
∵要获利，
∴，不符合题意，舍去，
∴售价应为元．
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得，，
即；
【分析】（1）设售价为元，每天能售出斤，根据“每天的实际销售数量=原来每天的销售数量+因为降价而增加的销售数量”列出一次函数解析式即可；
（2）设售价为元，每天能售出斤，根据销售单价乘以销售数量等于每天的总销售额结合平均每天的销售额达到6750元列出方程，解方程并根据要获利得到答案即可．
（1）解：根据题意可得，，
即
（2）设售价为元，每天能售出斤，
由题意可得，，
解得
∵要获利，
∴，不符合题意，舍去，
∴售价应为元．
20．（2025九上·义乌期末）已知二次函数过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当时，求二次函数的最小值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，求的值．
【答案】（1）解：把代入得，解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴ 抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，
∴在中，且当时，二次函数有的最小值，
最小值为：；
（3）解：当对称轴在范围内时，，即，由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
【解析】【分析】
（1）由抛物线上点的坐标特征把代入到解析式中得关于a的方程并求解即可；
（2）先化抛物线解析式的一般形式为顶点式，由于二次项系数为负，则抛物线开口向下，且抛物线上的点距离对称轴越大函数值越小，则当时函数有最小值；
（3）由于t的值未知，因此应分类讨论，即当直线在范围内或在其范围外时，分别求出最值，再利用二次函数的最大值与最小值的和为6列方程，求出t即可判断得解．
（1）解：把代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵二次函数为，
∴当时，y取最大值为8，
当时，，
当时，，
∴时，当时，二次函数的最小值；
（3）解：当对称轴直线在范围内时，，即，
由（2）得，当时，，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的和为6，
∴当或时，有最小值为，即，
解得，
当时，不满足；
当时，，不满足；
∴当对称轴直线在范围内时，二次函数的最大值与最小值的和不可能等于6，
∴范围在直线的一边，
∴当、时，函数有最大值或最小值，
∴，
解得，．
即的值为2或．
21．（2025九上·廉江期末）如图，在等腰三角形中，，点在线段的延长线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，射线与相交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明；
（3）若为中点，，则的长为 ．
【答案】（1）解：依题意补全图形如下：
；
（2）解：用等式表示线段与的数量关系是：，证明： 在等腰三角形中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴．
（3）
【解析】【解答】∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点F为中点，
∴．
【分析】（1）根据旋转进行作图，得出AE，再连接CE即可；
（2）。根据SAS可证明≌，即可得出；
（3）首先根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再根据全等三角形的性质得出，k可得出∠BCF=90°，进而得出∠BFC=45°，即可得出，再根据点F为中点，即可得出CE的长；
（1）解：依题意补全图形如下：
；
（2）用等式表示线段与的数量关系是：，
证明： 在等腰三角形中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴．
（3）∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点F为中点，
∴．
22．（2024九上·南开期末）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙的空地上修建一个矩形绿化带，绿化带一边靠墙（的长不超过墙长），另三边用总长为40m的栅栏围住．设边长为m，绿化带的面积为．
（1）如图1，若墙长为19m．
①求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②当绿化带的面积为时，求的值；
③填空：当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）；
（2）填空：如图2，若墙长为24m，当满足条件的绿化带的面积最大时，此时_________（m），绿化带的最大面积为_________（）．
【答案】（1）解：①由题意，∴
∵墙长为19m，
∴
所以函数的解析式是：
自变量x的取值范围是：
②∵
当时，
解得：
∵不合题意；
∴；
③19，199.5
（2）20，200
【解析】解：（1）
③∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故答案为：19，199.5；
（2）
由题意，得：，
∴当时，有最大值为：200；
故答案为：20，200
【分析】
本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）①，BC=x，AA=CD=20-，根据矩形的面积公式，列出函数解析式，根据墙长求出的取值范围即可；
②令，代入二次函数解析式中，求出x；
③利用二次函数结合自变量x的取值范围求最值即可；
（2）根据墙长为24m，得到，利用二次函数求最值即可．
（1）解：①由题意，，
∴，
∵墙长为19m，
∴；
②∵，
当时，，
解得：，
∵不合题意；
∴；
③∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值为：；
故答案为：19，199.5；
（2）由题意，得：，
∴当时，有最大值为：200；
故答案为：20，200
23．（2024九上·任丘期末）2023年10月18日，成都嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉祥物“嘉乐宝”深受大家的喜爱，嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”T恤，经统计平均每天可售出30件，每件盈利50元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元．
（1）若每件商品降价3元，平均每天的销售量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
（3）店主每天能获得2200元的利润吗？为什么，请说明理由．
【答案】（1）36
（2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元；
（3）店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下：
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元，
由题意得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
店主不能获得每天2200元的利润．
【解析】【解答】（1）若每件商品降价3元，则平均每天可多售出（件，
平均每天销售量为件）；
故答案为：36；
【分析】本题考查一元二次方程的应用．
（1）每件商品降价3元，先求出平均每天可多售出的件数，再加上30，据此可求出答案；
（2）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2100元，利用总利润=销售量×每件利润，据此可列出一元二次方程，解方程可求出x的值，据此可求出答案；
（3）设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为2200元，利用总利润=销售量×每件利润，据此可列出一元二次方程，化简可得：，求出根的判别式可得：，据此可得此方程无实数根，进而可作出判断.
（1）若每件商品降价3元，则平均每天可多售出（件，
平均每天销售量为件）；
故答案为：36；
（2）设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2100元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
答：当每件商品降价15元或20元时，该商品每天销售利润为2100元；
（3）店主不能获得每天2200元的利润．，理由如下：
设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为2200元，
由题意得：，
整理得：，
，
此方程无实数根，
店主不能获得每天2200元的利润．
24．（2024九上·东城期末）给出如下定义：在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形，之间的距离． 已知，在平面直角坐标系中，点
（1）若点
①点到线段的距离为 ，点到以线段为直径的圆的距离为 ；
②当线段绕中点旋转时，则点到线段距离的取值范围为 ；
③以为边，在轴下方做矩形，其中平行轴，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离的取值范围为 ；
（2）当点在圆心，半径为的圆上运动时，求点到线段的距离的取值范围？
【答案】（1）解：如图，根据点到直线的距离可知，点到线段的距离为，
∵，，∴，
∴的半径为，
在中，由勾股定理得：，
∴点到以线段为直径的圆的距离为，
故答案为：，；
如图，由（）得，
∵，∴，∴点在以为直径的圆上运动，
∴点到线段距离的取值范围为，
故答案为：；
如图，同理，可得：圆心，
∴，圆半径为，
∴，
故答案为：.
（2）解：由圆心，∴点在直线上，
如图，
同理．
【解析】【分析】（） ① 利用点到直线距离公式，求得AP的长，再由勾股定理，求得PM的长，结合圆的性质，求得点P到线段AB为直径的圆的距离，得到答案；
② 根据题意，得到点在以为直径的圆上运动，结合圆的性质，即可求得点到线段距离的取值范围；
③ 根据两点间的距离公式，求得PQ的长，以及圆的半径，结合圆的性质，即可求解；
（）根据圆心，得到点在直线上，再由勾股定理及圆得性质，即可求解.
（1）如图，根据点到直线的距离可知，点到线段的距离为，
∵，，
∴，
∴的半径为，
在中，由勾股定理得：，
∴点到以线段为直径的圆的距离为，
故答案为：，；
如图，由（）得，
∵，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴点到线段距离的取值范围为，
故答案为：；
如图，同理，可得：圆心，
∴，圆半径为，
∴，
故答案为：；
（2）由圆心，
∴点在直线上，
如图，
同理．
25．（2024九上·朝阳期末）如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分．
（1）求的度数；
（2）点在的延长线上，是该圆的切线．
①求证：是该圆的切线；
②若，直接写出的长．
【答案】（1）解：平分，
．
，
．
，
．
．
．
（2）解：①证明：如图，取的中点，连接．
，
是该圆的直径．
点是该圆的圆心．
是的切线，
．
，
．
，
．
．
是的切线．
②3．
【解析】【解答】（2）②PA、PC是的切线 ，
PA=PC，∠APD=∠CPD，
AC=PA，
PA=PC=AC，
△APC是等边三角形，
∠CPA=60°，
∠APE=30°，
，
，
，
AD=DC，
△ADC是等边三角形，
PD=3，
【分析】（1）根据角平分线的性质可推出，结合，可得，再根据 利用角的和差关系即可求解；
（2）①取的中点，连接 ，利用切线的性质以及圆周角定理证明，得到，从而得出结论；②利用切线的性质证明△APC是等边三角形，根据等边三角形的性质结合已知条件证明，由等边三角形的性质并结合已知条件即可求得PD的值，从而求解.
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