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北师大版2025—2026学年七年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·霞山期末）单项式的系数、次数分别是，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·郫都期末）几何体是由曲面或平面围成的，下列几何体面数最少的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·锦江期末）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024七上·高州期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024七上·从化期末）我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
6．（2024七上·柳州期末）如图所示，每个字母分别代表不同的数字.四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则H的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
7．（2024七上·临江期末）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD=6，且AD+BC=AB，则CD等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．（2024七上·石碣期末）小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的1没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（ ）
A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3
9．（2025七上·遵义期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（ ）
A．7 B．2 C．0 D．5
10．若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·衡阳期末）如果整式A与整式的和为实数，我们称A，为的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”；与为7的“友好整式”．若关于的整式与为的“友好整式”，则的值为 ．
12．（2024七上·成都期末）若，则代数式的值是 ．
13．（2023七上·镇海区期末） 若 ， 则 （填“>"，“=”或“<”）.
14．（2024七上·百色期末）对于有理数a，b，规定一种新运算，，如，则方程的解为 .
15．（2024七上·平江期末）一列数，，，…，，其中，，，…，，则 ．
16．（2023七上·未央期末）实数a，b满足，则的最小值为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·上城期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024七上·柳州期末）下面是王丽解方程的过程：
解：去分母得：2（2x﹣1）＝8﹣（3﹣x）（第一步），
去括号得：4x﹣2＝5﹣x（第二步），
移项合并得：5x＝7（第三步），
系数化为1得：x＝（第四步），
根据解答过程完成下列任务．
（1）任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）任务二：方程正确的解为 ；
（3）任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 ．
19．（2024七上·南关期末） 已知下列有理数：，4．
（1）在给定的数轴上表示这些数．
（2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数．
20．（2024七上·凉州期末）某登山队队员以大本营为基地，向海拔距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负，行程记录如下（单位：米），，，，，．
（1）他们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？
（2）登山时，5名队员在行进中全程均使用了氧气，已知每人每100米消耗氧气0.5升，求5名队员共使用了多少升氧气？
21．（2024七上·阳春期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
22．（2024七上·湖北期末）如图，有一块长为27米，宽为20米的长方形土地，现将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分作菜地．
（1）用含的代数式表示：菜地的周长为 m；
（2）当时，求菜地的面积．
23．（2024七上·宜州期末） 为发展校园的数学科技运动，某校决定购买一批3阶魔方和计时器，市场调查发现，甲、乙两商店以同样的价格出售同样品牌的计时器和魔方，已知每个计时器比每个3阶魔方多9元，两个计时器与五个3阶魔方的费用相等，经洽谈，甲店的优惠方案是：每购买6个计时器，送一个魔方，乙商场优惠方案是：若购买计时器超过10个，则购买魔方打八折．
（1）求每个计算器和每个3阶魔方的单价是多少？
（2）若某校购买100个3阶魔方和个计时器，请用含a的式子分别表示出到甲店和乙店购买所花的费用；
（3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商店购买比较合算？
24．（2024七上·桐乡市期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形：
（1）第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？
（2）小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？
25．（2024七上·铁西期末）如图，在数轴上的点表示数，点表示数，满足．
（1）分别求出点表示的数和点表示的数；
（2）在数轴上有一动点，且点满足点到点的距离是点到点的距离的2倍，请求出所对应的有理数；
（3）若动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，直到满足第（2）的条件，请直接写出这是第几次运动．
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北师大版2025—2026学年七年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·霞山期末）单项式的系数、次数分别是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：单项式的系数、次数分别是，，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据概念：单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，可得的值，解答即可．
2．（2024七上·郫都期末）几何体是由曲面或平面围成的，下列几何体面数最少的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：四棱柱有6个面，圆柱有3个面，圆锥有2个面，三棱柱有5个面，
∴几何体面数最少的是圆锥，
故答案为：C．
【分析】本题考查几何体的面数．先根据几何体的特征，数出各几何体的面熟，据此可求出答案．
3．（2024七上·锦江期末）九章算术中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了只船，大船每只坐人，小船每只坐人，人刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有只小船，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设有x只小船，则有大船（8﹣x）只
4x+7（8﹣x）＝38，
故答案为：A．
【分析】基本关系：总人数=坐小船的人数+坐大船的从数，坐船的人数=每只船坐的人数×船的数量，据此求解即可。
4．（2024七上·高州期末）用符号语言表述“正数的绝对值等于它本身”，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、|a|=a（a＞0），正确；
B、|a|=-a（a＜0），错误；
C、|a|=a（a≥0），错误；
D、|a|=-a（a≤0），错误.
故答案为：A.
【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.
5．（2024七上·从化期末）我们定义一种新的运算，例如：，若，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：
整理得：x+2-4x-8=9
解得：x=-5
故答案为：A
【分析】根据新运算列式计算即可求出答案.
6．（2024七上·柳州期末）如图所示，每个字母分别代表不同的数字.四个角上每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间四边形BDGE四个顶点上的数字之和相等，若，，，则H的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可得B+D+G+E=A+B+D=F+G+D=G+H+E=E+B+C，A=1，C=3，F=3，
∴A=G+E=1，F=B+E=3，H=B+D，C=D+G=3，
则F+C=B+E+D+G=6，
即B+D=6-1=5，
∴H=5
故答案为：A.
【分析】由题意可推得A=G+E=1，F=B+E=3，H=B+D，C=D+G=3，等量代换即可求解.
7．（2024七上·临江期末）如图，点C、D为线段AB上两点，AC+BD=6，且AD+BC=AB，则CD等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AD+BC=AB=AC+CD+BD+CD，AC+BD=6，AB=AC+BD+CD，
∴（6+CD））=2CD+6，
解得：CD=4，
故答案为：D
【分析】根据题意将AC+BD=6代入即可求解。
8．（2024七上·石碣期末）小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的1没有乘2，因而求得方程的解为3，则m的值和方程的正确解为（ ）
A．2，2 B．2，3 C．3，2 D．3，3
【答案】C
【解析】【解答】解：∵小军同学在解关于的方程去分母时，方程右边的1没有乘2，因而求得方程的解为3，
∴的解为3，
∴
∴
∴原方程为：，
解得：
故答案为：C.
【分析】根据题意得到方程：的解为3，据此即可求出m的值，然后将m的值代入原方程即可求解.
9．（2025七上·遵义期末）密码学是研究编制和破译密码的规律的一门学科，它与数学有密切关系．现有破译规则如下：顺时针将依次排成圈，密文中的a用于破译，b是需要破译的次数，当a是奇数时，顺时针数3位得明文；当a是偶数时，逆时针数5位得明文，并将所得明文再次破译，共破译b次得到最终明文．例如：密文，第一次破译得6，再对6进行破译得1，则破译两次后的最终明文是1.现有密文，则对应的最终明文是（ ）
A．7 B．2 C．0 D．5
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：是奇数，
∴第一次破译得，是偶数，
∴第二次破译得，是奇数，
∴第三次破译得，是偶数，
∴第四次破译得，是奇数，
∴第五次破译得，是偶数，
∴第六次破译得，是奇数，
∴第七次破译得，是偶数，
∴第八次破译得，是奇数，
∴第九次破译得，是偶数，
∴第十次破译得，是奇数，
∴第十一次破译得，是偶数，
综上：破译结果按照，，，，，，，，，循环，
∵，
∴第2024次破译得，
∴对应的最终明文是.
故答案为：A
【分析】
根据规律探究类题解题思路：先分别确定前面十次破译的结果，发现破译结果按照，，，，，，，，，循环，再用2024除以循环数10，得到与第4个数重复，计算即可解答.
10．若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1或－3 B．－1或－3 C．±1或±3 D．无法判断
【答案】A
【解析】【解答】解：∵|abc|=-abc，且abc≠0，
∴a，b，c中负数有1个，正数有2个或3个都是负数，
①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，
则 =-1+1+1=1；
②当a，b，c中3个都是负数时，
则 =-1-1-1=-3.
故 =1或-3.
故答案为：A.
【分析】分两种情况讨论，①当a，b，c中负数有1个，正数有2个时，②当a，b，c中3个都是负数时，然后去绝对值，再化简即可得出结果.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·衡阳期末）如果整式A与整式的和为实数，我们称A，为的“友好整式”，例如：与为1的“友好整式”；与为7的“友好整式”．若关于的整式与为的“友好整式”，则的值为 ．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵关于的整式与为的“友好整式”，
∴
，
令，得，
∴，
故答案为：7．
【分析】根据题目中的新定义可知的值与无关，由“与某项无关，则某项的系数为0”可列式求出和的值.
12．（2024七上·成都期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴
=6+5
=11，
故答案为：．
【分析】根据，再利用整体代入法计算求解即可．
13．（2023七上·镇海区期末） 若 ， 则 （填“>"，“=”或“<”）.
【答案】<
【解析】【解答】解：∵30.15°= 30°9'，
∴30°9'< 30°15'，
∴∠A<∠B；
故答案为：<.
【分析】先统一单位再进行比较即可得出答案.
14．（2024七上·百色期末）对于有理数a，b，规定一种新运算，，如，则方程的解为 .
【答案】x=3
【解析】【解答】解：∵，
∴得，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据新定义运算即可得到，进而解一元一次方程即可求解。
15．（2024七上·平江期末）一列数，，，…，，其中，，，…，，则 ．
【答案】1010
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，，，…，
观察发现规律：这组数据按照，，2依次不断循环出现，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意写出几个数，发现规律可得这组数据按照，，2依次不断循环出现，再根据有理数的加法和乘法即可求出答案.
16．（2023七上·未央期末）实数a，b满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，
∵时，
时，，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】根据绝对值的几何意义，此题可以理解为表示a到-1，2的距离与b到-3，-8的距离之和为8，据此即可解决此题.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025七上·上城期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【解析】【分析】（1）运用加法交换律和结合律解题即可；
（2）先运算乘方，然后从左向右依次运算乘除法解题即可.
18．（2024七上·柳州期末）下面是王丽解方程的过程：
解：去分母得：2（2x﹣1）＝8﹣（3﹣x）（第一步），
去括号得：4x﹣2＝5﹣x（第二步），
移项合并得：5x＝7（第三步），
系数化为1得：x＝（第四步），
根据解答过程完成下列任务．
（1）任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是 ；②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
（2）任务二：方程正确的解为 ；
（3）任务三：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议 ．
【答案】（1）①等式的性质；②二；去括号及前面的负号时，括号内各项都要变号，没有变号；（2）；（3）解完方程要检验，移项要变号等．
【解析】【解答】（1）①去分母的本质是方程的两边同时乘以分母的最小公倍数，故用到的是“等式的性质”；
②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号及前面的负号时，括号内各项都要变号，没有变号．
故答案为：等式的性质；二；去括号及前面的负号时，括号内各项都要变号，没有变号；
（2）正确的解方程步骤为：
去分母得：2（2x﹣1）＝8﹣（3﹣x），
去括号得：4x﹣2＝5+x，
移项合并得：3x＝7，
系数化为1得：x＝，
经检验x＝是原方程的解．
故答案为：
（3）建议：解完方程记得要检验，移项要变号等．
故答案为：解完方程记得要检验，移项要变号等．
【分析】（1）利用“等式的性质”解方程，再利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；（3）解完方程记得要检验，移项要变号等（答案合理即可）．
19．（2024七上·南关期末） 已知下列有理数：，4．
（1）在给定的数轴上表示这些数．
（2）这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数．
【答案】（1）解：在数轴上表示各数如图所示：
（2）解：存在，与是互为相反数．它们之间的整数是、0、1．
【解析】【解答】（1）如题所示：
【分析】（1）将各数分别在数轴上表示出来即可；
（2）利用相反数的定义分析求解，再利用数轴分析求出符合条件的整数即可.
20．（2024七上·凉州期末）某登山队队员以大本营为基地，向海拔距离大本营500米的顶峰发起登顶冲击，假设向上走为正，向下走为负，行程记录如下（单位：米），，，，，．
（1）他们有没有登上顶峰？如果没有登上顶峰，他们距离顶峰多少米？
（2）登山时，5名队员在行进中全程均使用了氧气，已知每人每100米消耗氧气0.5升，求5名队员共使用了多少升氧气？
【答案】（1）解：（米），
（米），
答：他们没有登上顶峰，距离顶峰6米；
（2）解：（升），
答：5名队员共使用了15升氧气．
【解析】【分析】（1）根据题设中的数据，将所有数据相加，结合结果可知没有登上顶峰，再用500减去所得结果可知他们距离顶峰的距离，即可得到答案；
（2）将所有数据的绝对值相加，求出每名队员行进的路程，再由每人每100米消耗氧气升，列出算式，进行计算，即可得到答案．
（1）解：（米），
（米），
答：他们没有登上顶峰，距离顶峰6米；
（2）（升），
答：5名队员共使用了15升氧气．
21．（2024七上·阳春期末）如图，已知是直线上的一点，是直角，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：是直角，，
，
．
平分，
，
．
（2）解：是直角，，
，
．
平分，
∴，
．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠COB的度数，再利用角平分线的定义可得∠BOE的度数，最后利用角的运算求出∠DOE的度数即可；
（2）先利用角的运算求出∠COB的度数，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出∠DOE的度数即可.
（1）解：是直角，，
，
．
平分，
，
．
（2）是直角，，
，
．
平分，
∴，
．
22．（2024七上·湖北期末）如图，有一块长为27米，宽为20米的长方形土地，现将其余三面留出宽都是米的小路，中间余下的长方形部分作菜地．
（1）用含的代数式表示：菜地的周长为 m；
（2）当时，求菜地的面积．
【答案】（1）
（2）解：当时，
长为，
宽为，
．
【解析】【解答】（1）解：∵其余三面留出宽都是x米的小路，
∴由图可以看出：菜地的长为米，宽为米；
所以菜地的周长为米．
故答案为：．
【分析】（1）先求出菜地的长为米，宽为米，再利用长方形的周长公式及整式的加减法的计算方法列出算式求解即可；
（2）将x=2代入（1）中菜地的长为米，宽为米，可得菜地的长和宽，再利用矩形的面积公式求解即可.
23．（2024七上·宜州期末） 为发展校园的数学科技运动，某校决定购买一批3阶魔方和计时器，市场调查发现，甲、乙两商店以同样的价格出售同样品牌的计时器和魔方，已知每个计时器比每个3阶魔方多9元，两个计时器与五个3阶魔方的费用相等，经洽谈，甲店的优惠方案是：每购买6个计时器，送一个魔方，乙商场优惠方案是：若购买计时器超过10个，则购买魔方打八折．
（1）求每个计算器和每个3阶魔方的单价是多少？
（2）若某校购买100个3阶魔方和个计时器，请用含a的式子分别表示出到甲店和乙店购买所花的费用；
（3）在（2）的条件下，若，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商店购买比较合算？
【答案】（1）解：设每个计算器是x元，则每个3阶魔方是元，
根据题意得
解得
，
答：每个计算器是15元，则每个3阶魔方是6元
（2）解：在甲店购买：
在乙店购买：
（3）解：当时，
在甲店购买花费：
在乙店购买花费：
答：小明家应选择在乙店买购买较合算．
【解析】【分析】（1）设每个计算器是x元，则每个3阶魔方是元，根据“两个计时器与五个3阶魔方的费用相等”列出方程，再求解即可；
（2）根据题干中的售卖方案分别列出算式求解即可；
（3）将a=60分别代入甲、乙两店的费用，再比较大小即可.
24．（2024七上·桐乡市期末）用火柴棒按如图所示的规律排列成一串图形：
（1）第4个图形中有几根火柴棒？第5个呢？第个呢？
（2）小梧发现：按照这种方式搭图形会产生若干个六边形，若使用1603根火柴搭图形，则图中会产生多少个六边形？
【答案】（1）解：∵根据图形规律可知，
第一个图形火柴棒11=8+3根，
第2个图形火柴棒19=8×2+3根，
第3个图形火柴棒27=8×3+3根；
第4个图形火柴棒35=8×4+3根；
……
∴第五个图形火柴棒43=8×5+3根，
第个图形火柴棒数量为；
答： 第4个图形中有35根火柴棒；第5个有43根火柴棒；第个有8n+3根火柴棒；
（2）解：∵第个图形火柴棒数量为，
∴根据题意可得：，
解得：，
∵第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，第三个图形有6个正六边形，
∴第个图形有个正六边形，
∴，
综上可得：使用1603根火柴搭图形，则图中会产生400个六边形．
【解析】【分析】（1）根据所给图形总结出火柴棒的规律，通过规律即可知道第四个第五个和第个图形火柴棒数量；
（2）根据（1）中的结论第个有8n+3根火柴棒可得关于n的方程，解方程求出n的值，由题意找出第一个图形有2个正六边形，第2个图形有4个正六边形，第n个图形有2n个正六边形，把求出的n的值代入计算即可求解．
25．（2024七上·铁西期末）如图，在数轴上的点表示数，点表示数，满足．
（1）分别求出点表示的数和点表示的数；
（2）在数轴上有一动点，且点满足点到点的距离是点到点的距离的2倍，请求出所对应的有理数；
（3）若动点从点出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照如此规律不断地左右运动，直到满足第（2）的条件，请直接写出这是第几次运动．
【答案】（1）解：由题得：，，
解得：，；
（2）解：设点表示的数为，
当点在线段上时，，
，
解得：，
当点在线段的延长线上时，，
，
解得：（不符合题意，舍去）；
当点在线段的延长线上时，，
，
解得：；
∴点对应的有理数为或，
（3）点运动第8次或第23次
【解析】【解答】解：（3）由（2）可知，当点所对应的有理数为或时，符合条件，
，
当点运动第次时，符合题意；
，
当点运动第次时，符合题意；
综上所述，当点运动第8次或第23次时，符合题意．
【分析】（1）根据非负数的性质得出，，求得的值即可；
（2）设点表示的数为，分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，分别根据BP=2AP建立一元一次方程求解即可；
（3）基本规律：向右运动为正，向左运动为负，两次为一个循环，一个循环内整体向右运动1个单位长度，即增加 了1，-9运动到-5，需要增加4，即4个循环，8次运动；-9运动到-21，减少-12，需要11个循环，23次运动，据此求解。
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