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北师大版2025—2026学年八年级上册期末划重点真题严选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·瓯海期末）已知，是一次函数图像上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2．（2024八上·深圳期末） 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各是多少？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为人，金价为钱，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
4．（2024八上·榆阳期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．若，则
C．垂线段最短 D．过两点可以画很多条直线
5．（2024九上·兰州期末）小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 9 5 1 …
A．1 B． C． D．
6．（2024八上·伊通期末）如图，一根直尺压在三角板的角上，与两边分别相交于点和点，已知．那么的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．（2024八上·浙江期末）数学小组开展关于笔记本电脑张角大小的实践活动：如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的垂直高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm；当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的垂直高度DE为20cm，则底部心处与E处之间的距离CE为（ ）
A．9cm B．18cm C．21cm D．24cm
8．（2023八上·江北期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角
C．在海曙以北 D．东经，北纬
9．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·鄞州期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移 米．
12．（2024八上·新都期末） 若关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
13．（2024八上·遂川期末）直线轴，已知点，则点的纵坐标是 ．
14．（2025八上·杭州期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
15．（2025八上·成都期末）若的整数部分为，的立方根为，则 ．
16．（2024八上·简阳期末）如图，在中，，平分，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·毕节期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2025八上·柯桥期末）一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
19．（2025八上·深圳期末）如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为．
（1）求直线的函数表达式；
（2）在线段上找点，使得，求点的坐标；
（3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标．
20．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
21．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
22．（2024八上·光明期末）秦九韶年年，字道古，南宋著名数学家与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学他于年完成的著作数学九章中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么．
（1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求的长；
（3）一个三角形的三边长分别为，，，，，求的值．
23．（2024八上·慈溪期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，，求的长．
24．（2024八上·慈溪期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标；
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围．
25．（2024八上·文山期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B两点；过点D（0，2）作直线CD与x轴交于点C，交直线AB于点E，且点E的横坐标为．
（1）直接写出点A，点B的坐标；
（2）求△ACE的面积；
（3）如图乙，若点M是线段AB上一动点，连接OM，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
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北师大版2025—2026学年八年级上册期末划重点真题严选卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·瓯海期末）已知，是一次函数图像上的两个点，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，是一次函数图像上的两个点，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数中y随x的增大而减小解答即可．
2．（2024八上·深圳期末） 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各是多少？题目大意：几个人合伙买金，每人出400钱，会多出3400钱；每人出300钱，会多出100钱。合伙人数、金价各是多少？设合伙人数为人，金价为钱，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由每人出400钱，会多出3400钱，可得等量关系：400×合伙人数-3400=金价；
由每人出300钱，会多出100钱，可得等量关系：300×合伙人数-100=金价；
根据等量关系关系可列方程组，
故答案为：D.
【分析】根据题意列出等量关系，再把等量关系中的文字换成未知数即可.注意多出钱用"－"；如果少钱则用"＋".
3．（2024八上·盐田期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，请你估算的值（ ）
A．在0和1之间 B．在1和2之间 C．在2和3之间 D．在3和4之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数的范围可以估计无理数的大概取值范围.
4．（2024八上·榆阳期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同位角相等 B．若，则
C．垂线段最短 D．过两点可以画很多条直线
【答案】C
【解析】【解答】解：A、两直线平行同位角相等，故A选项错误；
B、若，则或， 故B选项错误；
C、垂线段最短，故C选项正确；
D、过两点有且只有一条直线， 故D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质、平方根的定义、垂线段公理及直线公理分别对选项判断即可得解.
5．（2024九上·兰州期末）小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（ ）
x … 0 1 2 …
y … 9 5 1 …
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），
将（-3，9）和（-2，5）代入y=kx+b（k≠0），得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式是y=-4x-3，
∴当y=1时，-4x-3=1，则x=-1，不符合题意；
当y=-4时，-4x-3=-4，则，符合题意；
当y=-7时，-4x-3=-7，则，不符合题意；
当y=-11时，-4x-3=-11，则x=2，不符合题意；
综上所述：错误的函数值是-4；
故答案为：B。
【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式是y=-4x-3，再对每个选项逐一判断求解即可。
6．（2024八上·伊通期末）如图，一根直尺压在三角板的角上，与两边分别相交于点和点，已知．那么的值是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故选：A．
【分析】根据三角形的内角和定理求得，再根据对顶角相等即可求得的值 ．
7．（2024八上·浙江期末）数学小组开展关于笔记本电脑张角大小的实践活动：如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的垂直高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm；当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的垂直高度DE为20cm，则底部心处与E处之间的距离CE为（ ）
A．9cm B．18cm C．21cm D．24cm
【答案】A
【解析】【解答】解：
依题意，
在 中，
在 中，
故答案为：A.
【分析】勾股定理解得出 勾股定理解 即可求解.
8．（2023八上·江北期末）以下能够准确表示我校地理位置的是（ ）
A．离宁波市主城区10千米 B．在江北区西北角
C．在海曙以北 D．东经，北纬
【答案】D
【解析】【解答】解：能够准确表示我校地理位置的是：东经，北纬.
故答案为：D.
【分析】根据有序数对可以表示位置进行判断.
9．（2024八上·温州期末）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质化简解题．
10．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·鄞州期末）如图，一架米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为米，如果梯子的顶端沿墙下滑米，那么梯足将外移 米．
【答案】
【解析】【解答】解；在直角中，已知， ，则，
，
在直角中，，且为斜边，
，
梯足向外移动了．
故答案为：．
【分析】
在直角三角形中，根据勾股定理求出长，即可求除长，然后在直角三角形中，利用勾股定理求得的长度，然后利用线段的和差得到的长解题．
12．（2024八上·新都期末） 若关于、的方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】，
由①+②，可得：2x+3y=3m+4，
∵，
∴3m+4=19，
解得：m=5，
故答案为：5.
【分析】利用加减消元法可得2x+3y=3m+4，再结合可得3m+4=19，最后求出m的值即可.
13．（2024八上·遂川期末）直线轴，已知点，则点的纵坐标是 ．
【答案】-3
【解析】【解答】解：根据题意
直线PQ上所有点的纵坐标都相同
点Q的纵坐标是-3
故答案为：-3
【分析】掌握平面直角坐标系内平行于坐标轴点的坐标特征。
14．（2025八上·杭州期末）已知一次函数的图象不经过第三象限，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，的最大值与最小值的差为，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】先根据一次函数的图象不经过第三象限得，，从而可得出随的增大而减小，再根据当时，取最大值，当时，取最小值，然后利用的最大值与最小值的差为，列出关于k的方程求解．
15．（2025八上·成都期末）若的整数部分为，的立方根为，则 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∵的整数部分为，
∴，
∵的立方根为，
∴，
∴，
故答案为：9．
【分析】根据被开方数越大其算术平方根就越大估算出，从而即可得出a=2，根据立方根的定义求出b，最后将a、b的值代入待求式子，根据有理数乘方运算法则求出待求式子的值即可.
16．（2024八上·简阳期末）如图，在中，，平分，交于点，为的中点，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作于，如图所示：
∵平分，，
∴.
∵点E是的中点，且，
∴.
设，，
∵，
∴，
即，
∴.
根据勾股定理，得，且，
∴，
解得，
∴.
根据勾股定理，得，
解得，
则，.
根据勾股定理，得，
∴.
根据勾股定理，．
故答案为：．
【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再根据已知条件得，然后设，，根据等积法可得，代值可得AC=2y；在Rt△ACD中，根据勾股定理求出y，即可求出x，可得，然后根据勾股定理求出，进而由线段和差求出EF，最后根据勾股定理求出DE．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·毕节期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或
（2）解：，
，
，
，
，
【解析】【分析】（1）方程两边同除以9得，再开方即可得解.
（2）方程移项得，两边同乘以2得，再开立方，即可得到方程的解．
（1）解：，
，
开方得，或；
（2）解：，
，
，
，
解得，．
18．（2025八上·柯桥期末）一次函数（k为常数，且）．
（1）若点在一次函数的图象上，
①求k的值；
②设，则当时，求P的最大值．
（2）若当时，函数有最大值M，最小值N，且，求此时一次函数y的表达式．
【答案】（1）解：①将点（-1，3）代入一次函数y=kx-k+2，得：3=-1×k-k+2，
解得：k=；
②由①得：一次函数表达式为：y=x-（）+2=x+，
∴P=x++x=x+，
由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5.
（2）解：当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而增大，
当x=m时，函数取得最大值M，，
当x=m-3时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，由一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
当x=m-3时，函数取得最大值M，，
当x=m时，函数取得最小值N，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
∴一次函数解析式为或．
答：一次函数解析式为或．
【解析】【分析】（1）①将点（-1，3）代入求值即可；
②由①得一次函数表达式为：y=x+，然后用x表示P得到，根据一次函数图象的性质可知时，P取得最大值，即可得出答案；
（2）分k＞0和k＜0两种情况讨论，求的最大值和最小值的代数式，再根据题意列出方程求解即可.
（1）解：①把代入得，
解得；
②当时，，
∴，
∵y随x的增大而增大，
∴当时，时，P的值最大，
当时，，
即P的最大值为5；
（2）解：当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
当时，，，
∵，
∴，
解得，
此时一次函数解析式为；
综上所述，一次函数解析式为或．
19．（2025八上·深圳期末）如图，直线和相交于点，、分别在轴的正半轴和负半轴，且，点坐标为．
（1）求直线的函数表达式；
（2）在线段上找点，使得，求点的坐标；
（3）在轴上找点，使得，直接写出点坐标．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：如图1，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
，
；
（3）点的坐标为或
【解析】【解答】（3）解：如图2，
在中，，，
，
，，
，
，
①当点在轴正半轴上时，
，
，
以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，
即：，，
，，
，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，
即：点的坐标为或．
【分析】（1）根据两点间，则，再根据点的坐标可得，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，再根据三角形面积可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设点的坐标为，再根据，结合三角形面积建立方程，解方程可得，即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC，再根据边之间的关系可得，则，分情况讨论：①当点在轴正半轴上时，根据三角形外角性质可得，以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，即：，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得OE，根据点的坐标可得，求出直线的解析式为，再根据x轴上点的坐标特征将y=0代入解析式可得，②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
点的坐标为，
，
，
直线的解析式为；
（2）解：如图1，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
将点，代入中，
得，
，
直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
，
；
（3）解：如图2，
在中，，，
，
，，
，
，
①当点在轴正半轴上时，
，
，
以为直角边，点为直角顶点在下方作等腰直角三角形，过点作轴于，
即：，，
，，
，
，
，，
，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
②当点在轴负半轴时，根据对称性得，，
即：点的坐标为或．
20．（2025八上·丽水期末）已知：如图，在中，，，，与相交于点．
（1）求证：≌．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：，，
，，
即，
，，
，
，
在和中，
，
≌
（2）解：≌，
，，
在中，，
，
【解析】【分析】（1）根据题意，可得，根据三角形的内角和，则，根据等角对等边，可得，进而根据“角边角”即可证明≌ ；
（2）由（1）得，推出，，根据勾股定理，可得，即可．
21．（2025八上·镇海区期末）某商场计划从厂家购进 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 款衣服 件，商场总利润为 元．
品名
进价（元／件） 90 75
售价（元／件） 120 100
（1）求 关于 的函数关系式；
（2）厂家规定 的进货数量不得超过 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；
（3）为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 衣服奖励 元，每卖一件 衣服奖励 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 ， 的值．
【答案】（1）解：根据题意，得 2500，
∴y关于x的函数关系式为
（2）解：根据题意，得 解得
∴y随x的增大而增大，
且x为非负整数，
∴当 时， y值最大，
(件)
答：购进A款衣服66件、B款衣服34件才能获得最大利润，最大利润为2830元
（3）解：商场实施奖励计划后，商场总利润
根据题意，得，解得，
答： m的值为10， n的值为5
【解析】【分析】(1)根据“总利润=每件A款衣服的利润×购进A款衣服件数+每件B款衣服的利润×购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式即可；
(2)根据题意列关于x的一元一次不等式并求其解集，再由一次函数的增减性，确定当x为何值时y值最大，求出其最大值及此时100--x的值即可；
(3)根据“商场实施奖励计划后，商场总利润=(A款衣服的售价-A款衣服的进价 购进A款衣服件数+(B款衣服的售价-B款衣服的进价 购进B款衣服件数”写出y关于x的函数关系式，整理成为y关于x的一次函数的一般形式，令x的系数为0、常数项为2000列关于m和n的二元一次方程组并求解即可.
22．（2024八上·光明期末）秦九韶年年，字道古，南宋著名数学家与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学他于年完成的著作数学九章中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，那么．
（1）在中，，，，请用上面的公式计算的面积；
（2）如图，在中，，，，，垂足为，求的长；
（3）一个三角形的三边长分别为，，，，，求的值．
【答案】（1）解：由题意，，
．
（2）解：由题意，，
．
又，，
．
在中，．
（3）解：由题意，，，
，．
．
【解析】【分析】(1)依据题意，了解海伦一秦九韶公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
(2)依据题意，由海伦一秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积求出BD，然后在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD；
(3)依据题意，由海伦一秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解.
23．（2024八上·慈溪期末）如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，连结．若．
（1）当时，求的度数；
（2）当时，，求的长．
【答案】（1）解：为的垂直平分线，
又为的角平分线
（2）解：由（1）得
，
在中，．
【解析】【分析】（1）因为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，所以EB＝EC，则；由角平分线的概念知BD平分，等量代换得，再利用三角形的内角和定理求解即可。（2）由三角形内角和定理的推论可判定 为直角三角形，直接使用勾股定理即可。
24．（2024八上·慈溪期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标；
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）
【解析】【解答】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）因为当 x < 3 时，有不等式：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
因为x < 3 ，所以，即：
【分析】（1）已知点的坐标求参数值，只需把点的坐标代入到函数表达式中，即可得到所求参数的一元一次方程；（2）求点的坐标，先把坐标值所含字母的代数式代入到函数表达式中，再求解关于该字母的一元一次方程即可；（3）先根据题意列出不等式，再用含有字母n的不等式表示出解集，最后根据不等式组解集的口诀可确定字母n的取值范围。
25．（2024八上·文山期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴，y轴分别交于点A，B两点；过点D（0，2）作直线CD与x轴交于点C，交直线AB于点E，且点E的横坐标为．
（1）直接写出点A，点B的坐标；
（2）求△ACE的面积；
（3）如图乙，若点M是线段AB上一动点，连接OM，过点O作ON⊥OM交直线CD于点N，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：A（﹣2，0），B（0，4）
（2）解：∵点E的横坐标为，
∴E（﹣，），
设直线EC的解析式为y＝kx+b，
∵D（0，2），
∴，解得，
∴直线CE的解析式为y＝﹣x+2，
∴C（4，0），
∴S△ACE＝×（4+2）×＝；
（3）解：OM＝ON，理由如下：
∵OA＝2，BO＝4，OC＝4，OD＝2，
∴OA＝OD，OB＝OC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴∠ABO＝∠OCD，
∵OM⊥ON，
∴∠MOB+∠BON＝∠BON+∠NOC＝90°，
∴∠MOB＝∠NOC，
∴△MOB≌△NOC（ASA），
∴OM＝ON．
【解析】【解答】（1）将x=0代入y＝2x+4 ，可得y=4，
∴点B的坐标为（0，4）；
将y=0代入y＝2x+4 ，可得：x=-2，
∴点A的坐标为（-2，0），
∴点A的坐标为（-2，0）；
故答案为： A（﹣2，0），B（0，4）.
【分析】（1）将x=0和y=0分别代入y＝2x+4 ，求出点A、B的坐标即可；
（2）先求出点E的坐标，再利用待定系数法求出直线CE的解析式，再求出点C的坐标，最后利用三角形的面积公式求出△ACE的面积即可；
（3）先利用“SAS”证出△AOB≌△DOC，可得∠ABO＝∠OCD，再利用角的运算求出∠MOB＝∠NOC，再利用“ASA”证出 △MOB≌△NOC，最后利用全等三角形的性质可得OM＝ON．
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