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北师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·龙岗期末）如图所示，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为。设道路的宽度为，则可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
2．（2024九上·渠县期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·长春期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·石家庄期末）如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第一、四象限
5．（2024九上·南昌期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点E( 4，2)，F( 1， 1).以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．( 8，4) B．(8， 4)
C．(8，4)或( 8， 4) D．( 8，4)或(8， 4)
6．（2024九上·清苑期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分
D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
7．（2023九上·汉台期末）如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A．34 B．36 C．40 D．100
8．（2023九上·青秀期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·巴中期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（ ）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·井陉期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，则的面积是 ．
12．（2024九上·鄞州期末）若，，且，则的值是 ．
13．（2024九上·九龙坡期末）已知是方程的一个实数根，则的值为 ．
14．（2024九上·南川期末）长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是 ．
15．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
16．（2022九上·沭阳期末）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·平山期末）解方程：
（1）
（2）
18．（2025九上·南充期末）川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
19．（2025九上·广东期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由．
20．（2025九上·诸暨期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．
（1）求的值；
（2）求的长．
21．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
22．（2024九上·衡东期末）一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
23．（2024九上·长沙期末）我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）该中学参加比赛的学生共有__________人，成绩为“B等级”的学生有__________人，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为__________度，图中m的值为__________；
（2）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
24．（2023九上·平湖期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿对折，点落在处，作，垂足为，连接，，．
（1）求证：∽；
（2）若与相似，求线段的长．
25．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
（1）如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
（2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟直击考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·龙岗期末）如图所示，在一块长为16m，宽为10m的矩形空地中，修建2条同样宽的小路（图中阴影部分），剩下的部分种植草坪，要使草坪的面积为。设道路的宽度为，则可列方程为（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将图中小路作如图平移：
根据图形得草坪得长为，宽为，则根据矩形面积公式得：.
故答案为：C.
【分析】先将不规则的小路平移后变为规则图形，根据图形得草坪得长为，宽为，则根据矩形面积公式得答案.
2．（2024九上·渠县期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：直线与双曲线交于两点，
设点A坐标为，则点B坐标为，
点在轴上，，点O是AB的中点，
OC=OA=，
的面积为，
解得：或（舍去），
点A坐标为，
故答案为：A.
【分析】设点A坐标为，则点B坐标为，先利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到OC=OA=，然后利用的面积为建立方程，求出a的值，得出点A的坐标，即可求出k的值.
3．（2024九上·长春期末）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图所示
故选：C
【分析】根据平行线平分线段成比例定理，已知其中三条线段的长，可求第四条线段的长。
4．（2024九上·石家庄期末）如图，所示的计算程序中，y与x之间的函数关系对应的图象所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第一、三象限
C．第二、四象限 D．第一、四象限
【答案】C
【解析】【解答】解：x的倒数乘以-5为- ，即y=- ，则函数过第二、四象限，
故答案为：C．
【分析】根据输入程序，求得y与x之间的函数关系是y=- ，由其性质判断所在的象限．
5．（2024九上·南昌期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点E( 4，2)，F( 1， 1).以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（ ）
A．( 8，4) B．(8， 4)
C．(8，4)或( 8， 4) D．( 8，4)或(8， 4)
【答案】D
【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（ 4，2），
∴点E的对应点E'的坐标为（ 4×2，2×2）或（4×2， 2×2），即（ 8，4）或（8， 4），
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的性质求解即可。
6．（2024九上·清苑期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．正方形两条对角线相等，但不互相垂直平分
D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质
【答案】B
【解析】【解答】A.可判断为菱形，故本选项错误，
B.对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，
C.正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，
D.菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，
故答案为：B.
【分析】 四边相等的四边形是菱形； 对角线相等的菱形是正方形；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分；菱形的对角线互相垂直但不一定相等。
7．（2023九上·汉台期末）如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A．34 B．36 C．40 D．100
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为8，在各边上顺次截取，
∴，
∴四边形的面积为：；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得BE=AH=DG=CF=2，然后根据S四边形EFGH=S正方形ABCD-4S△AEH进行计算.
8．（2023九上·青秀期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故答案为：C．
【分析】先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
9．（2025九上·巴中期末）如图所示，在正方形中，对角线，交于点，点在线段上，连接，作交于点，连接交于点，则下列结论正确的个数是（ ）
①②③④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
，，
，
又，
，
，
，
∴；故①正确，符合题意；
，
，
又，
，
，即故②正确，符合题意；
∵，
∴
∴
又∵
∴，故④正确
∵
∴
∴，即，故③正确，符合题意，
综上所述，①②③④正确，
故答案为：D．
【分析】由正方形的性质可得AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，∠BAC=∠BCD=∠ABC=90°，从而利用“SAS”证明△ADE≌△CDE，由全等三角形的对应边相等、对应角相等得AE=CE，∠DAE=∠DCE，由等角的余角相等推出∠EAF=∠BCE，由四边形的内角和定理及同角的补角相等推出∠AFE=∠BCE=∠FAE，由等角对等边得AE=FE=CE，再由三角形内角和定理及等边对等角可得∠ECH=∠EFC=45°，据此可判断①；根据角的构成及等式性质推出∠ACF=∠DCE，从而由有两组角相等的两个三角形相似证明△AFC∽△DEC，由相似三角形对应边成比例及等腰直角三角形的性质可判断②； 由有两组角相等的两个三角形相似证明 △BCE∽△DHC，△CFG∽△CAF，即可判断③和④．
10．（2024九上·鄞州期末）如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（ ）
A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设交于点H，
在等腰中，，
∴，
设，则，；
由勾股定理得：；
∵，
∴，
∴，，
∴；
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴的周长为（定值），
而的面积不能求出，的周长与面积都不能求出．
故答案为：A
【分析】本题考查等腰三角形判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质.设交于点H，利用等腰直角三角形的性质可得：，设；利用勾股定理进行计算可得：，利用角的运算可得： ，再结合，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得： ，再进行计算可求出，利用线段的运算可求出，利用勾股定理可求出，利用三角形的周长计算公式可计算出的周长为定值，据此可选出选项．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·井陉期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴，则的面积是 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：如图，设交y轴于C；
∵轴，
∴轴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴；
故答案为：3．
【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义.设交y轴于C；根据题意可得：轴，再根据点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，利用反比例函数比例系数k的几何意义可求出，进而可求出的面积 ．
12．（2024九上·鄞州期末）若，，且，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴和b是方程的两根，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.根据题意化简可得：，，可以得到和b是方程的两根，再利用两根之积为可求出式子的值．
13．（2024九上·九龙坡期末）已知是方程的一个实数根，则的值为 ．
【答案】2024
【解析】【解答】解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
故答案为：2024
【分析】根据一元二次方程的根结合题意即可得到，进而整体代入即可得到代数式的值。
14．（2024九上·南川期末）长安汽车公司月份营业额为亿元，月份营业额为亿元，已知月份的营业额月平均增长率相同，设该公司月到月营业额平均月增长率为，根据题意，可列出的方程是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据题意，可列出的方程，
故答案为： .
【分析】设该公司月到月营业额平均月增长率为 ，根据月份营业额=月份营业额（1平均增长率）2，代入数据即可求解.
15．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
【答案】9
【解析】【解答】因为主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
所以主视图的宽为2AB=6，
因为主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，
所以主视图的面积为
故答案为：9.
【分析】根据三视图关系得出，主视图、俯视图与左视图的长相等，再根据左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，得出主视图的宽为2AB=6，再根据主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，即可得出主视图的面积.
16．（2022九上·沭阳期末）如图，在中，，点P是平面内一个动点，且，Q为的中点，在P点运动过程中，设线段的长度为m，则m的取值范围是 .
【答案】3≤m≤7
【解析】【解答】解：取AB的中点M，连接QM、CM，
∴QM是△APB的中位线，CM是斜边上的中线，
∴，，
在中，，
∴，
∴CM=5，
∵点P是平面内一个动点，
∴点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，
∴C、Q、M可以三点共线，
∴CM-MQCQCM+MQ，
∴3≤m≤7，
故答案为：3≤m≤7.
【分析】取AB的中点M，连接QM、CM，根据三角形中位线定理得QM=2，根据勾股定理算出AB的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得CM=5，由点P是平面内一个动点，故点Q是动点，且点Q以点M为圆心，QM长为半径的圆上运动，进而可得C、Q、M可以三点共线，根据三角形三边之间的关系可得答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·平山期末）解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
或，
解得：，．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
【解析】【分析】（1）运用配方法结合题意解一元二次方程即可求解；
（2）运用公式法结合题意解方程即可求解。
18．（2025九上·南充期末）川北木偶、川北剪纸、高坪竹编是南充尤为出名的三项传统文化．学校九年级甲、乙两班各有5名同学特别熟悉这三项传统文化中的一项，具体如下表．
项目 川北木偶 川北剪纸 高坪竹编
甲班 2 2 1
乙班 1 2 2
（1）若从甲班5名同学中随机抽取一名，求抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率．
（2）若从两班各5名同学中分别随机抽取一名，求都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【答案】（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为.
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
【解析】【分析】（1）从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有2种，从而接利用概率公式计算概率即可；
（2）根据题意，用表格列举出所有等可能的情况数， 由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种， 然后利用概率公式计算概率即可．
（1）解：由题意可得，从从甲班5名同学中随机抽取一名，一共有5种等可能的结果，其中抽到对川北木偶特别熟悉同学的结果有种，
∴抽到对川北木偶特别熟悉同学的概率为
（2）解：分别用A、B、C表示川北木偶、川北剪纸、高坪竹编，
列表如下：
甲乙 A A B B C
A
B
B
C
C
由表格可知，从两班各5名同学中分别随机抽取一名，共有25种等可能出现的结果，其中都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的情况有4种，
都抽到对川北剪纸特别熟悉同学的概率．
19．（2025九上·广东期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得出y与x之间的函数表达式为；
（2）根据（1）的解析式中，k=-10＜0，即可得出这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；（3）直接把点P的横坐标代入解析式中，求得纵坐标，即可得出结论。
（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
20．（2025九上·诸暨期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，．
（1）求的值；
（2）求的长．
【答案】（1）解：因为，
所以．
又因为，
所以，
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以．
【解析】【分析】（1）根据两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例可得DB∶BH=DE∶EF，从而代值计算可得答案；
（2）由（1）的结论及BD=BC可得出BC∶BH=3∶2，根据两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例可得AC∶AF=BC∶BH，从而代值计算可得答案.
（1）解：因为，
所以．
又因为，
所以，
故答案为：；
（2）解：因为，
所以，
因为，
所以，
又因为，
所以．
21．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y，
（2）解：当x=CF=2时，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∵AB=8，
∴CD=4.
【解析】【分析】(1)根据EF∥AB， 得 代入整理即得；
(2)当CF=2时， 代入 (1) 中结果求得AE=6， 根据AB∥CD，得△ABE∽△CDE， 得 代入计算即得.
22．（2024九上·衡东期末）一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）；
（2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？
【答案】（1），
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元
【解析】【解答】解：（1）设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（利润问题）.
（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件即可得到每天销售量增加2x件，每件服装盈利元．
（2）根据“每件利润×销量=总利润”列方程，结合让利于顾客的条件确定解.
（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，
则每天销售量增加x件，每件服装盈利元．
故答案为：，．
（2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得：
整理，得：
解得：，，
要让利于顾客，
应舍去，
故，
答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元．
23．（2024九上·长沙期末）我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）该中学参加比赛的学生共有__________人，成绩为“B等级”的学生有__________人，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为__________度，图中m的值为__________；
（2）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【答案】（1）20，5，72，40
（2）解：根据题意画出树状图如下：
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，参赛的总人数=（人），
由条形统计图可知，成绩为“B等级”的学生=（人），表示“D等级”的扇形的圆心角度数=，“C等级”的所占的百分比，则m的值为40；
故答案为：20；5；72；40．
【分析】（1）根据获得“A等级”的学生人数及其占比，即可求得参赛的总人数，进而求得成绩为“B等级”的学生人数，扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数及m的值；（2）利用树状图即可求概率．
（1）解：参赛的总人数为（人），成绩为“B等级”的学生有（人），扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，，则m的值为40；
故答案分别为：20，5，72，40．
（2）解：根据题意列出表格如下：
男 女1 女2
男
女1、男 女2、男
女1 男、女1
女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种．
所以恰是一男一女的概率为．
24．（2023九上·平湖期末）如图，矩形中，，，是边的中点，是边上的动点，将沿对折，点落在处，作，垂足为，连接，，．
（1）求证：∽；
（2）若与相似，求线段的长．
【答案】（1）证明：将沿对折，点落在处，
，
是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
∽；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
由折叠得，
，
，
，
∽，
∽，
∽，
与相似，
与相似，
，，是边的中点，是边上的动点，
，，
分两种情况：
时，与，
，
，
整理得，
，
此方程无解，故此种情况不存在；
时，与，
，
，
解得；
综上，线段的长为．
【解析】【分析】(1)由对折以及E是AB边的中点，得/ 根据三角形的内角和可得 根据同角的余角相等得 即可得
(2) 证明 则 与 相似，根据相似三角形的性质即可得线段BF的长.
25．（2024九上·锦江期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象上有A，B两点，其中点B在点A右侧，连接．
（1）如图1，设A点坐标为，若，，且．
①求k的值；
②若的面积为，求点B的坐标；
（2）如图2，延长交反比例函数的图象于点C，连接，点为上一点，连接并延长交于点E．若的面积与的面积相等，是否存在直线，使得点E始终在该直线下方，若存在，请求出a的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①∵，
∴m=5-n，
∵，
∴，
解得，
∵，且，
∴，
∴A点坐标为，
∴；
②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，
设点B的坐标为，
∵反比例函数图象上有A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴点B的坐标为
（2）解：连接，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴
∴E为中点，
∴为的中位线
∴，
∵D点坐标为，
∴A点坐标为，
则，
∴反比例函数表达式为，
设点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵A点坐标为，E为中点，
∴，
∴点E的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点E始终在直线的下方，
∴a的最小值为3
【解析】【分析】（1）①先用n表示出m，得，再解n的值，再结合，即可作答；
②过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，易得，进而用坐标可以表示出的长度，建立方程求解即可；
（2）连接，根据的面积与的面积相等，结合三角形面积的和差证点E是中点，可得为的中位线，根据平行线截线段成比例可依次表示出点D、点A坐标，求出反比例函数表达式，设出B点坐标，再表示出E点坐标，再结合点B在点A右侧即可得解．
（1）解：（1）①∵，，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴A点坐标为，
∴；
②过点A作轴于点M，交于一点K，过点B作轴于点N，
设点B的坐标为，
∵反比例函数图象上有A，B两点，
∴，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
即，
整理可得：，
解得（负值舍去），
∴点B的坐标为．
（2）解：连接，
∵的面积与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵O为中点，
∴
∴E为中点，
∴为的中位线
∴，
∵D点坐标为，
∴A点坐标为，
则，
∴反比例函数表达式为，
设点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵A点坐标为，E为中点，
∴，
∴点E的坐标为，
∵点B在点A右侧，
∴，
∴，
∴点E始终在直线的下方，
∴a的最小值为3．
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