1.5 三角函数的应用 练习题（含答案） 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

1.5 三角函数的应用
一、单项选择题。
1．如图，C，D两村分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向，且D村位于C村的北偏东30°方向上，若C，D两村相距6 km，则A，B两点之间的距离为( )
A．3km B．4km C．km D．3km
2．一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位，参考数据：≈1.732，≈1.414)
A．4.64海里 B．5.49海里 C．6.12海里 D．6.21海里
3．如图，某地要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上).为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800m到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A.800sinαm B．800tanαm C．m D．m
4．如图，一河坝横断面的迎水坡AB的坡度为1∶2，坝高BC＝3m，则AC的长度为( )
A．6m B．3m C．9m D．6m
5．如图，某停车场入口的栏杆AB从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4m，若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为( )
A．m B．4sinαm C．m D．4cosαm
6．如图，校园内有一棵枯死的大树AB，距树12米处有一栋教学楼CD，为了安全，学校决定砍伐该树，站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°，点A的俯角为30°.小青计算后得到如下结论：①AB≈18.8米；②CD≈8.4米；③若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教学楼有影响；④若第一次在距点A的8米处的树干上砍伐，不会对教学楼CD造成危害．其中正确的是( )(参考数据：≈1.7，≈1.4)
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题。
7. 如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400m的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所之间的距离OB为____________m (结果保留根号).
8．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______________米．(结果保留根号)
9．如图，在一艘小船A上测得海岸上高为42m的灯塔BC的顶部B处的仰角是30°，则小船离灯塔的水平距离AC为_________m．
10．如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角∠DPC＝30°，已知窗户的高度AF＝2m，窗台的高度CF＝1m，窗外水平遮阳篷的宽AD＝0.8m，则CP的长度为 ________(结果精确到0.1m)．
11．如图，坡度为1∶2的斜坡AC的坡顶上有一旗杆BC，旗杆BC的顶端B与点A用一条长度为10m的彩带相连，若斜坡的高度CD＝3m，则旗杆BC的高度为_______m.
12．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD的长度之比为_______.
三、解答题。
13．如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．(提示：≈1.414，≈1.732)
14．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90m至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上，求A，B两点间的距离(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)．
15．如图，小敏在数学实践活动中利用所学的知识对她所在小区的居民楼AB的高度进行测量，从小敏家的阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度(结果保留整数，参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65).
16．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上的点D处放置一高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上(即BC∥MN)，此时测得树顶部A的仰角为50 °.已知山坡的坡度i＝1∶3，求树AB的高度(结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19).
17．如图①是安装在倾斜屋顶上的热水器，图②是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3m的真空管AB的坡度为3∶4，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5m.
(1)求真空管的上端B到水平线AD的距离；
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4)．
18．如图，BC是某市“毗河引水工程”修建的一条引水渡槽，为测量它的长度，某人将无人机放飞到点A处，测得渡槽端点B的俯角是60°后，再沿俯角30°的方向飞行400m到达点D处，此时测得渡槽端点B和端点C的俯角分别为14°和45°(点A，B，C，D在同一平面内)(参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73)．
(1)求无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度和水平距离(结果保留根号)；
(2)求渡槽BC的长度(结果精确到0.1m)．
答案：
一、
1-6 ABDAB D
二、
7. 400
8. 1200 (－1)
9. 42
10. 4.4
11. 5
12.
三、
13. 解：安全，理由如下：过点C作CD垂直AB，交AB的延长线于点D，
由题意可得，∠CAD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－45°＝45°，
AB＝30×1＝30(km)，在Rt△CBD中，设CD＝BD＝x km，则AD＝(x＋30)km，
在Rt△ACD中，tan 30°＝，即＝，解得x＝15＋15≈40.98，
∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方向航行是安全的
14. 解：根据题意可知∠A＝37°，∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝90°－53°＝37°，
∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°，∴AB⊥BD，
∴在Rt△BCD中，∴BD＝CD·cos∠BDC＝90cos37°≈90×0.80＝72(m)，
∴在Rt△ABD中，AB＝≈≈＝96(m)，
∴A，B两点间的距离约为96m
15. 解：过点C作CE⊥AB于点E，则四边形CDBE为矩形，∴BE＝CD＝36m，
∴在Rt△BCE中，CE＝＝＝36(m)，
∴在Rt△ACE中，AE＝CE·tan∠ACE＝36tan33°≈36×0.65＝23.4(m)，
∴AB＝AE＋BE≈36＋23.4＝59.4≈59(m)，∴居民楼AB的高度约为59m
16. 解：∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝tan M＝i＝1∶3，∴CD∶BC＝1∶3，∴BC＝3CD＝4.8m，
∴在Rt△ABC中，∴AB＝BC·tan∠ACB＝4.8tan50°≈4.8×1.19≈5.7(m)，
∴树AB的高度约为5.7m
17. 解：(1)过点B作BF⊥AD于点F，则BF∶AF＝3∶4，∴BF＝AF，
∴AB＝＝＝AF＝3m, ∴AF＝2.4m，∴BF＝AF＝1.8m，
∴真空管的上端B到水平线AD的距离为1.8m
(2)易知四边形BFDC是矩形，∴CD＝BF＝1.8m，BC＝DF，
∴DE＝CD－CE＝1.8－0.5＝1.3(m)，∴AD＝＝≈＝3.25(m)，∴BC＝DF＝AD－AF≈3.25－2.4≈0.9(m)，
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9m
18. 解：(1)过点A作AF⊥CB交CB的延长线于点F，过点D作DE⊥AF于点E，
∵在Rt△ADE中，AE＝AD·sin∠ADE＝400sin30°＝200(m)，
DE＝AD·cos∠ADE＝400cos30°＝200(m)，
∴无人机从点A处飞到点D处下降的垂直高度为200m，水平距离为200m
(2)过点D作DG⊥BC于点G，则四边形EFGD是矩形，∠DCG＝45°，∴FG＝DE＝200m，EF＝DG＝CG.设EF＝DG＝CG＝xm，则AF＝AE＋EF＝(200＋x)m.
∵在Rt△BDG中，BG≈＝≈＝4x(m)，
∴BF＝FG－BG≈(200－4x)m，
∴在Rt△AFB中，tan∠ABF＝≈≈，∴x≈50.505，
∴BC＝BG＋CG≈4x＋x＝5x≈252.5(m)，
∴渡槽BC的长度约为252.5m