新北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组单元提升测试卷（含答案）

新北师大版八年级数学上册第五章单元提升测试卷
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．方程组的解满足互为相反数，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如果二元一次方程组的解满足方程，那么a的值是（ ）
A．3 B．2 C．7 D．6
5．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （ ）
A． B． C． D．
6．两条直线和相交于点，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
7．某同学带了20元去文具店买笔记本和笔，他买了1个笔记本，2支笔，还剩5元．设每个笔记本x元，每支笔y元，得方程．则下列说法中，正确的是（ ）
A．每个笔记本9元
B．若每个笔记本是11元，则每支笔是4元
C．若是方程的解，则m，n都可以表示笔记本、笔的单价
D．若m，n分别表示笔记本、笔的单价，则m，n一定是方程的解
8．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
9．已知关于的方程组和有相同的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．当实数，满足时，称点为和谐点，若以关于，的方程组的解为坐标的点为和谐点，则的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．将方程写成用含的代数式表示，则 ．
12．方程组的解为由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，则数 ， ．
13．在平面直角坐标系中，若第一象限的点满足，且均为整数，则满足条件的点有 个．
14．如图，直线和直线交于点A，则方程组的解是
15．已知二元一次方程组 且，则 的值为 ．
16．已知关于的方程组有下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，原方程组的解也是方程的解；③无论取何值，的值始终不变．其中正确的是 （填序号）
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）解方程组：．
（2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值．
18．已知一次函数的图象过和两点．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)若点在这个函数图象上，求．
19．如图，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
(1)求出直线的函数表达式；
(2)是轴上一点，若，求点的坐标．
20．已知关于x，y的二元一次方程组．
(1)若方程组的解满足，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解．
21．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
22．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，．
(1)求的值；
(2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值．
23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若，求天平处于平衡状态时x的值；
(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．
24．已知．在平面直角坐标系中，在轴上，在轴上，、是方程组的解．
(1)请直接写出A、B坐标：A________；B________．
(2)点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左运动，运动时间为，若的面积为，试用含的式子表示．
(3)在（2）的条件下，当点在轴负半轴上时，在线段上取点，使，连接交轴于，若，求此时的值和点坐标，并直接写出点的坐标．
25．数学研究中从特殊到一般的化归思想，从猜想到验证的数学推理，常常让我们其乐无穷．请完善下列问题的探究过程．
已知直线分别交x轴，y轴于点A，B，交直线于点P．
(1)【特例探究】若，时，________；________；
(2)【猜想验证】猜想，，之间的数量关系，并验证你的猜想；
(3)【类比推广】若直线沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线，直线分别交x轴，y轴于点C，D，与直线交于点P，当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过，说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C A B B B D C A
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．2
14．
15．
16．①③
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．
【详解】解：（1）
由得，
得，
解得，
把代入得，
解得，
所以原方程组的解为；.....................3分
（2）由题意可得

把代入得，即，
把代入得，即，
得，
解得，
把代入得，
解得，
，
所以，．.....................6分
18．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为，
把和代入得，解得.，
所以此一次函数的解析式为；.....................3分
（2）把代得，
所以．....................6分
19．
【详解】（1）解：对于，令，则得，，
，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为：，
将、分别代入得：
，
解得，
直线的函数表达式为：；.....................3分
（2）解：点C是直线和的交点，
，
解得，
，
，，
.
的面积为：，
，
，
设，
，
或5，
点E的坐标为或......................6分
20．
【详解】（1）解：，
，
把代入得：
，
解得：，
，
把代入得：
，
解得：.....................3分
（2）解：，
,
无论数m取何值，方程总有一个固定的解，
，解得：
固定解为：．.....................6分
21．
【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元．
根据题意，列方程组
解方程组得；
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元；.....................4分
（2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元．
根据题意，
∵
∴w随m的增大而增大
又∵，
∴当时，．
答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元．.....................8分
22．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
得，，
解得，，
把代入②得，，
解得：；.....................4分
（2）解：，
∴
解得：，
∵，
∴，
解得：．.....................8分
23．
【详解】（1）解：当天平平衡时，则：，
即：，
当时，得：，
解得：；.....................2分
（2）解：通过题意，得：，
整理可得：，
∵、为正整数，
∴，
∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是．.....................5分
（3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，
通过题意，得：，
整理可得：，
∵a和b都是正整数，
∴或，
故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元．.....................8分
24．
【详解】（1）解：
，整理得，
解得，
把代入①，得，
解得，
∴，；
故答案为：，；.....................4分
（2）解：由（1）可知，，，
∴，，
∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴向左运动，运动时间为，
∴，
当点P在上运动时，则，
此时，
∴，
当点P在x轴负半轴上运动时，则，
此时，
∴，
综上，；.....................8分
（3）解：由（2）可知，当点P在x轴负半轴上时， ，，，
∴，
∵，即，
解得，
∴，
∴，
连接，过点Q作轴于点E，如图，
∵， ，
∴，
∴，
即，
∴，即点的纵坐标为，
设直线的解析式为，
把，，代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，将代入，
得，
解得，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴．.....................12分
25．
【详解】（1）解：∵，，
∴直线，
当时，，
当时，，
解得：，
∵直线分别交x轴，y轴于点A，B，
∴，，
∴，，
∴，
，
解得：，
∵交直线于点P，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；.....................4分
（2），理由如下：
直线，
当时，，
当时，，解得：，
，，
，
∵直线分别交x轴，y轴于点A，B，
，，
，
，，
，解得：，
∵直线交直线于点P，
，
，
，
，
；.....................8分
（3）∵直线沿y轴正半轴方向平移m个单位得到直线，
∴设，
，，
，
由题意：，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
过定点．.....................12分