2.6 曲线与方程
2.6.1 曲线与方程
课时目标 结合学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，会求两条曲线的交点的坐标，表示经过两曲线的交点的曲线．
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下关系：
(1)__________________________都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，方程f(x，y)＝0叫做________________，曲线C叫做__________________．
2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上?______________；②点P不在曲线C上?________________.
一、填空题
1．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是__________________．
2．已知圆C的方程f(x，y)＝0，点A(x0，y0)在圆外，点B(x′，y′)在圆上，则f(x，y)－f(x0，y0)＋f(x′，y′)＝0表示的曲线是________________．
3．下列各组方程中表示相同曲线的是________．
①y＝x，＝1；
②y＝x，y＝；
③|y|＝|x|，＝；
④|y|＝|x|，y2＝x2.
4．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的____________条件．
5．求方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为________．
6．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为_____________________．
7．若方程ax2＋by＝4的曲线经过点A(0,2)和B，则a＝________，b＝________.
8．如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则下列说法正确的是________．(写出所有正确的序号)
①曲线C的方程是F(x，y)＝0；
②方程F(x，y)＝0的曲线是C；
③坐标不满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上；
④坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上．
二、解答题
9．(1)过P(0，－1)且平行于x轴的直线l的方程是|y|＝1吗？为什么？
(2)设A(2,0)，B(0,2)，能否说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？
10.画出方程y＝||x|－1|的曲线．
能力提升
11．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足PA＝2PB，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．
12．证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.
1．判断方程是否是曲线的方程要验证两个方面．
2．判断方程表示的曲线，可以对方程适当变形，但要注意与原方程的等价性．
3．方程与曲线是从两个不同的方面反映曲线上点的坐标(x，y)的关系．
2.6 曲线与方程
2．6.1 曲线与方程
知识梳理
1．(1)曲线C上点的坐标(x，y) (2)曲线C的方程 方程f(x，y)＝0的曲线
2．①f(x0，y0)＝0 ②f(x0，y0)≠0
作业设计
1．与l平行的一条直线
解析 方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．
2．过A点与圆C同心的圆
解析 由点B(x′，y′)在圆上知f(x′，y′)＝0.
由A(x0，y0)在圆外知f(x0，y0)为不为0的常数，
点A(x0，y0)代入方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0成立．
所以f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线过A点．
3．④
解析 ①中y＝x表示一条直线，而＝1表示直线y＝x除去(0,0)点；②中y＝x表示一条直线，而y＝表示一条折线；③中|y|＝|x|表示两条直线，而＝表示一条射线；
④中|y|＝|x|和y2＝x2均表示两条相交直线．
4．必要不充分
解析 f(x，y)＝0是曲线C的方程必须同时满足以下两个条件：①以f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都符合方程f(x，y)＝0.
5．2
解析 方程|x|＋|y|＝1所表示的图形是正方形ABCD(如图)，其边长为.
∴方程|x|＋|y|＝1所表示的曲线C围成的平面区域的面积为2.
6．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
解析 可设动点坐标为(x，y)，则＝1，即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
7．16－8 2
8．③
解析 直接法：
原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法③.
特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然①、②、④中的说法都不正确．
9．解 (1)如图所示，
过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上．
所以|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．
(2)由方程x＋y－2＝0知，当x＝4时，y＝－2.
故点(4，－2)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(4，－2)不在线段AB上．
∴x＋y－2＝0不是线段AB的方程．
10．解 ①x∈R，y≥0，
②令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝±1，
∴曲线与坐标轴的交点为(0,1)，(1,0)，(－1,0)．
③用－x代入x，得||－x|－1|＝||x|－1|＝y.
∴曲线关于y轴对称．
④当x≥0时，有y＝|x－1|，
此时，若x≥1，则y＝x－1，
若0≤x<1，则y＝1－x.
先画出图象在y轴右侧的部分，再根据图象关于y轴对称，便可得到方程的曲线，如图所示．
11．4π
12．证明 (1)
如图所示，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，
所以|x0|·|y0|＝k，
即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．
(2)设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.
而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．
由(1)(2)可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．
2.6.2 求曲线的方程
课时目标 1.掌握求轨迹方程建立坐标系的一般方法，熟悉求曲线方程的五个步骤.2.掌握求轨迹方程的几种常用方法．
1．求曲线方程的一般步骤
(1)建立适当的____________；
(2)设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)；
(3)列出符合条件p(M)的方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为____________；
(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
2．求曲线方程(轨迹方程)的常用方法有直接法、代入法、定义法、参数法、待定系数法．
一、填空题
1．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC底边AB的中线的方程是______________．
2．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是______________．
3．与圆x2＋y2－4x＝0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是____________________．
4．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，则抛物线的方程为____________．
5.设过点P（x,y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交与A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若＝2，且·＝1，则P点的轨迹方程是________________________．
6．到直线x－y＝0与2x＋y＝0距离相等的动点轨迹方程是________________．
7．方程(x＋y－1)＝0表示的曲线是____________________________．
8.直角坐标平面xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x,y）满足·＝4，则点P的轨迹方程是__________________________．
二、解答题
9．设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原点O作圆C的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．
10．已知△ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)，B(6，0)，顶点C在曲线y＝x2＋3上运动，求△ABC重心的轨迹方程．
能力提升
11.如图，已知点F（1,0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
求动点P的轨迹C的方程．
12.
如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N)为切点，使得PM＝PN.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
1．求轨迹方程的五个步骤：建系、设点、列式、化简、证明．
2．明确求轨迹和求轨迹方程的不同．
3．求出轨迹方程时，易忽视对变量的限制条件，在化简变形的过程中若出现了非等价变形，在最后应把遗漏的点补上，把多余的点删去．
2．6.2 求曲线的方程
知识梳理
1．(1)坐标系 (4)最简形式
作业设计
1．x＝0(0≤y≤3)
解析 直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．
2．x2＋y2＝1(x≠±1)
解析 设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝·＝－1.
整理得x2＋y2＝1，又kPA、kPB存在，所以x≠±1.
故所求轨迹方程为x2＋y2＝1 (x≠±1)．
3．y2＝8x(x>0)和y＝0 (x<0)
解析 设动圆圆心为M(x，y)，动圆半径为r，则定圆圆心为C(2,0)，半径r＝2.
由题设得MC＝2＋r，又r＝|x|.
∴MC＝2＋|x|，故＝2＋|x|，
化简得y2＝4x＋4|x|，当x>0时，y2＝8x；
当x<0时，y＝0，当x＝0时，不符合题意．
∴所求轨迹方程为y2＝8x (x>0)和y＝0 (x<0)．
4．y2＝12x或y2＝－12x
解析 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，得抛物线的对称轴为x轴．
设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，又抛物线的焦点到顶点的距离为3，
则有||＝3，∴|a|＝12，即a＝±12.
故所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－12x.
5.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)
解析 如图所示，若P(x，y)，设A(x1,0)，B(0，y2)，
因为＝2，
所以(x，y－y2)
＝2(x1－x，－y)，
即 ∴x1＝x，y2＝3y.
因此有A，B(0,3y)，＝，
＝(－x，y)，
＝1，∴x2＋3y2＝1(x>0，y>0)，即为点P的轨迹方程．
6．x2＋6xy－y2＝0
解析 设该动点坐标为(x，y)，
则＝，
化简得x2＋6xy－y2＝0.
7．射线x＋y－1＝0(x≥1)与直线x＝1
解析 由(x＋y－1)＝0
得或
即x＋y－1＝0(x≥1)，或x＝1.
所以，方程表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.
8．x＋2y－4＝0
解析 由＝4知，x＋2y＝4，
即x＋2y－4＝0，
∴点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.
9．解 方法一 直接法：
如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ.设OC中点为M(，0)，
则MP＝OC＝，由两点间距离公式得方程 ＝，考虑轨迹的范围知0方法二 定义法：如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，则CP⊥OQ，即∠OPC＝90°，设OC中点为M(，0)，所以PM＝OC＝，所以动点P在以M(，0)为圆心，OC为直径的圆上，圆的方程为(x－)2＋y2＝.
因为所作弦的中点应在已知圆的内部，所以弦中点轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0方法三 代入法：如图所示，设OQ为过点O的一条弦，P(x，y)为其中点，设Q(x1，y1)，
则由中点坐标公式得 即
又因为点Q(x1，y1)在⊙C上，
所以(x1－1)2＋y＝1.
将代入上式得(2x－1)2＋(2y)2＝1，
即(x－)2＋y2＝，
又因为OQ为过O的一条弦，
所以0因此所求轨迹方程为(x－)2＋y2＝(0方法四 参数法：如图所示，设OQ为过O的一条弦，P(x，y)为其中点，动弦OQ所在直线的方程为y＝kx，代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1，
即(1＋k2)x2－2x＝0.
设方程(1＋k2)x2－2x＝0的两根为x1，x2，
所以x＝＝，y＝kx＝.
消去参数k得：x2－x＋y2＝0，
所以，所求轨迹方程为2＋y2＝ (010．解 设G(x，y)为所求轨迹上任一点，
顶点C的坐标为(x′，y′)，则由重心坐标公式，得 ∴
∵顶点C(x′，y′)在曲线y＝x2＋3上，∴3y＝(3x－6)2＋3，整理，得y＝3(x－2)2＋1，
故所求的轨迹方程为y＝3(x－2)2＋1.
11．解 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，
由·＝·得
(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，
化简得C：y2＝4x.
所以动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
12.
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1
(－2,0)，O2(2,0)．
由已知PM＝PN，
∴PM2＝2PN2.
又∵两圆的半径均为1，
∴PO－1＝2(PO－1)．
设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为
(x－6)2＋y2＝33 (或x2＋y2－12x＋3＝0)．
2.6.3 曲线的交点
课时目标 1.会求两条曲线的交点.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线M的方程为f(x，y)＝0，则由可得(消y)ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
位置关系
交点个数
方程
相交
Δ>0
相切
Δ＝0
相离
Δ<0
2.直线与圆锥曲线相交形成的弦长问题
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝________________(用x1，x2表示)或P1P2＝ ________________(用y1，y2表示)，其中求|x2－ x1|与|y2－y1|时通常使用一元二次方程根与系数的关系，即作如下变形|x2－x1|＝ ，|y2－y1|＝.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用轴上两点间距离公式)．
(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称焦点弦)的长度，应用圆锥曲线的定义，转化为两个焦半径之和，往往比用弦长公式简捷．
一、填空题
1．若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是__________．
2．已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围为__________．
3．双曲线－＝1 (mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．
4．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则AB＝________.
5．过点M(3，－1)且被点M平分的双曲线－y2＝1的弦所在直线方程为____________．
6．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得的弦长为________．
7．椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是______．
8．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点，则△AOB的形状是______________．
二、解答题
9．若抛物线y＝－x2－2x＋m及直线y＝2x相交于不同的两点A、B.
(1)求m的取值范围；(2)求AB.
10.已知椭圆＋＝1，过点P(2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．
能力提升
11．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是__________．
12．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（2）是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
1．设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线：f(x，y)＝0，由 得ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，Δ＝b2－4ac，则
①Δ>0，直线l与圆锥曲线有两个不同交点．
②Δ＝0，直线l与圆锥曲线有唯一的公共点．
③Δ<0，直线l与圆锥曲线没有公共点．
(2)若a＝0，当圆锥曲线为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合．
2．涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用一元二次方程与系数的关系(韦达定理)，这样可直接得到两交点的坐标之和，也可用设而不求的方法(“点差法”)找到两交点坐标之和，直接与中点建立联系．
3．有关曲线关于直线对称的问题，只需注意两点关于一条直线对称的条件：(1)两点连线与该直线垂直(斜率互为负倒数)；(2)中点在此直线上(中点坐标适合对称轴方程)．
2．6.3 曲线的交点
知识梳理
1．两个 一个 无
2．(1)·|x1－x2| ·|y1－y2|
作业设计
1．[1,5)
2．[1，)
解析 根据数形结合找b的范围．
3.
解析 m＋n＝c2＝1，e＝＝＝2，
∴m＝，n＝.
4．3
解析 设AB的方程为y＝x＋b，与y＝－x2＋3联立得：x2＋x＋b－3＝0，
∴Δ＝1－4(b－3)>0，x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3.
∴AB的中点C在x＋y＝0上：
即－＋b－＝0解得b＝1符合Δ>0，
∴弦长AB＝·＝3.
5．3x＋4y－5＝0
解析 这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则
两式相减再变形得
＝(y1＋y2)·(y1－y2)，
又弦中点为M(3，－1)，故k＝－.
故这条弦所在的直线方程为y＋1＝－(x－3)，
即3x＋4y－5＝0.
6.
解析 由得4x2－8x＋1＝0，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝.
∴所得弦长为|x1－x2|
＝·＝.
7.
解析 由题意可知，点P既在椭圆上又在双曲线上，根据椭圆和双曲线的定义，
可得
∴
又F1F2＝2c＝4，
∴cos∠F1PF2＝
＝＝.
8．直角三角形
解析 由
得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝1＋k2(1－＋1)＝0，
∴·＝0，∴OA⊥OB，
所以△AOB是直角三角形．
9．解 (1)依题意得方程组
把②代入①，得2x＝－x2－2x＋m，
即x2＋4x－m＝0. ③
因为抛物线与直线有两个公共点，
所以Δ＝42－4×(－m)>0，∴m>－4.
(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
根据(1)中③x2＋4x－m＝0，
得x1＋x2＝－4，x1x2＝－m，
所以AB＝
＝·
＝2.
10．解 方法一
如图所示，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个根，
∴x1＋x2＝.
∵P为弦AB的中点，
∴2＝＝，解得k＝－，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二 设直线与椭圆的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P为弦AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又∵A、B两点在椭圆上，
∴x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，
即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∴＝＝－，
即kAB＝－.
∴直线方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋2y－4＝0.
方法三 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，另一个交点为B(4－x,2－y)，
∵A、B两点在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，①
(4－x)2＋4(2－y)2＝16.②
从而A、B在方程①－②所得直线x＋2y－4＝0上，由于过A、B的直线只有一条，
∴所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
11．[1－2，3]
解析 曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b距离等于2，解得b＝1＋2或b＝1－2，因为是下半圆，故可得b＝1＋2(舍)，当直线过(0,3)时，解得b＝3，故1－2≤b≤3.
12．(1)证明
如图所示，设A(x1,2x)，B(x2,2x)，
把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，
由韦达定理得x1＋x2＝，x1x2＝－1，
∴xN＝xM＝＝，
∴N点的坐标为.
设抛物线在点N处的切线l的方程为
y－＝m，
将y＝2x2代入上式得2x2－mx＋－＝0.
∵直线l与抛物线C相切，
∴Δ＝m2－8＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l∥AB.
故抛物线C在点N处的切线与AB平行．
(2)解 假设存在实数k，使·＝0，
则NA⊥NB.
又∵M是AB的中点，∴MN＝AB.
由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2)
＝[k(x1＋x2)＋4]＝＝＋2.
∵MN⊥x轴，∴MN＝|yM－yN|
＝＋2－＝.
又AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·
＝·.
∴＝·，解得k＝±2.
即存在k=2，使·＝0.
