安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三（上）1月考数学试卷（含答案）

定远育才学校2025-2026学年高三（上）1月考试卷
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题为假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. ． C. D.
3.设、是两个集合，定义集合为、的“差集”，已知，那么等于( )
A. B. C. D.
4.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在直角梯形中，， ，，，以四条边为直径向外作四个半圆，点是这四个半圆弧上的一个动点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
7.已知点，圆，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，直四棱柱，点，，分别为，和的中点，底面为菱形，且记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 若关于的方程恰有个不等的实根，则的范围是
10.大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色某摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面米时大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足其中，，下列说法正确的有( )
A. 求摩天轮转动一周的解析式
B. 游客甲坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到米
C. 游客甲坐上摩天轮后，一段连续的分钟时间内，高度变化最多可达米
D. 若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同
11.如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线，下部分曲线构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于，两点，是“心形”曲线上的动点，下列说法正确的是( )
A. 的方程为
B. 的最大值为
C. 直线与曲线有个交点，则的取值范围为
D. 面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.椭圆上一点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为 ．
13.如图几何体是圆锥的一部分，其中，， 且与底面垂直，从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是 ．
14.已知函数的定义域为，对于任意当时，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分在中，设角，，所对的边分别是，，，且满足．
求角；
若，求面积的最大值；
求的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且对任意的有．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为，的中点．
求与平面所成角的正弦值；
线段的延长线上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知点在双曲线上，是的左右顶点，是的右焦点，，且是整数．
求双曲线的方程；
设过点的直线与的右支交于两点，直线与直线交于点．
证明：点在定直线上； 若直线与直线交于点，求面积的最小值．
19.本小题分
已知，函数其中
当时，解不等式；
若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
12. 13. 14.
15.【解】因为，
根据正弦定理得：，
且，
可得，
即，
又因为，则，
可得，整理可得，
且，则，
可得，解得；
由余弦定理得：，即，
可得，解得，
当且仅当时等号成立，
所以的面积：，
故面积的最大值为；
由得，
根据正弦定理得：
，
令，则，
可得，
将原式化为：，
因为，则，可得
根据二次函数的图象性质得到，
当时，原式取得最小值，；
当时，原式取得最大值，；
故的取值范围为：．
16.证明：当时，，解得，
当时，，
整理得，即，
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
由可得，即，
则，
故
．
17.【解】因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ， ，
又，
因为 ，所以 ．
以为原点，、、为 轴正方向建系，如图所示，
则 ，
所以 ，
设平面的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值 ．
假设存在点，设 ，则 ，
所以 ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以 或 舍，
所以存在点使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ，且 ．
18.【解】设的右顶点，右焦点，
由，得，又，
又是整数，且，
所以，所以的方程为；
证明：由知，
由题意可设直线的方程为，，
联立方程，得，
则，
，
直线的方程为的方程为，
设点坐标为，所以
，
所以，即点坐标为，所以点在定直线上
因为直线与直线交于点，同理可得点，
，
，
所以，
，
所以，当且仅当时取等号，
又点到直线的距离为，所以面积的最小值为．
19.【解】当时，，
由，得，即，
解得或，
故的范围为；
由，
得，
即，
即，．
则，
当时，的解为，代入成立．
当时，的解为，代入成立．
当且时，的解为或，
若是方程的解，则，即，
若是方程的解，则，即，
要使有且仅有一个解，则．
若的解集中恰好有一个元素，
则，或或．
由复合函数单调性可知在区间上单调递减，
且最大值与最小值的差不超过，
即，
即，即．
设，则，，
当时，，
当时，，
在上递减，，
，
实数的取值范围是