1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．
1．几个常用函数的导数：
(kx＋b)′＝______(k，b为常数)；
C′＝______ (C为常数)；
(x)′＝______；
(x2)′＝______；(x3)′＝______；
′＝________；()′＝________.
2．基本初等函数的导数公式：
(xα)′＝________(α为常数)
(ax)′＝________ (a>0，且a≠1)
(logax)′＝logae＝______ (a>0，且a≠1)
(ex)′＝______
(ln x)′＝______
(sin x)′＝________
(cos x)′＝________
一、填空题
1．下列结论不正确的是________．(填序号)
①若y＝3，则y′＝0；
②若y＝，则y′＝－；
③若y＝－，则y′＝－；
④若y＝3x，则y′＝3.
2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则f′(3)＝－.其中正确的有______个．
3．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 010(x)＝________.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为__________．
5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为__________．
6．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
7．曲线y＝cos x在点A处的切线方程为__________________．
8．曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是__________．
二、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝log4x3－log4x2；
(2)y＝－2x；
(3)y＝－2sin .
10.已知曲线y＝x2上有两点A(1,1)，B(2,4)．求：
(1)割线AB的斜率kAB；
(2)在[1,1＋Δx]内的平均变化率；
(3)点A处的切线斜率kAT；
(4)点A处的切线方程．
能力提升
11．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：
p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)
1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．
2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．
答 案
知识梳理
1．k 0 1 2x 3x2 －
2.
(xα)′＝αxα－1(α为常数)
(ax)′＝axln_a (a>0，且a≠1)
(logax)′＝logae＝ (a>0，且a≠1)
(ex)′＝ex
(ln x)′＝
(sin x)′＝cos_x
(cos x)′＝－sin_x
作业设计
1．②
解析 y′＝′＝(x－)′＝－x－＝－.
2．1
解析 直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin ＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－，
所以③正确．
3．－sin x
解析 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x，
f4(x)＝f′3(x)＝sin x，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，
2 011＝4×502＋3，所以f2 010(x)＝f2(x)＝－sin x.
4．(－1，－1)或(1,1)
解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5.
解析 s′＝.
当t＝4时，s′＝·＝.
6．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
7．x＋2y－－＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴k＝－sin ＝－，
∴在点A处的切线方程为y－＝－，
即x＋2y－－＝0.
8.
解析 设切点坐标为(x0，x)，
则tan ＝f′(x0)＝2x0，∴x0＝.
∴所求点为.
9．解 (1)∵y＝log4x3－log4x2＝log4x，
∴y′＝(log4x)′＝.
(2)∵y＝－2x＝＝.
∴y′＝′＝－.
(3)∵y＝－2sin
＝2sin
＝2sin cos ＝sin x.
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
10．解 (1)kAB＝＝3.
(2)平均变化率＝＝＝2＋Δx.
(3)∵y′＝2x，∴k＝f′(1)＝2，
即点A处的切线斜率为kAT＝2.
(4)点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
11．解 ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有
p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05.
∴p′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数
课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．
1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f(x)±g(x)]′＝____________.
2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________，即[f(x)·g(x)]′＝________________________.特别地[Cf(x)]′＝__________(其中C为常数)．
3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去__________与分子的积，再除以____________．即______________________(g(x)≠0)．
一、填空题
1．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)＝__________.
2．曲线y＝xex＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．
3．已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b＝________.
4．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________．
5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
6．已知函数f(x)＝f′()cos x＋sin x，则f()的值为__________．
7．曲线C：f(x)＝sin x＋ex＋2在x＝0处的切线方程为____________．
8．某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.
二、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝10x；
(2)y＝；
(3)y＝2xcos x－3xlog2 011x；
(4)y＝x·tan x.
10.求曲线y＝x2＋sin x在点(π，π2)处的切线方程．
能力提升
11．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．
12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．
2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．
答 案
知识梳理
1．和(或差) f′(x)±g′(x)
2．第一个函数乘第二个函数的导数 f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) C·f′(x)
3．分母的积 分母的导数 分母的平方
[]′＝
作业设计
1．3x2＋3x·ln 3
解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝的错误．
2．x－y＋1＝0
解析 y′＝ex＋xex，当x＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
3．18
解析 ∵f′(x)＝4x3＋2ax－b，
由?
∴ ∴a＋b＝5＋13＝18.
4．y＝720x
解析 y′＝(x－1)(x－2)…(x－6)＋x[(x－1)(x－2)…(x－6)]′，
所以f′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.
故切线方程为y＝720x.
5.e2
解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，
∴在(2，e2)处的切线斜率为e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为
y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2，
当y＝0时，x＝1.
∴S△＝×1×|－e2|＝e2.
6．1
解析 ∵f(x)＝f′cos x＋sin x，
∴f′(x)＝－f′sin x＋cos x.
∴f′＝－f′×＋.
∴f′＝＝－1.
故f＝(－1)×＋＝1.
7．2x－y＋3＝0
解析 由f(x)＝sin x＋ex＋2
得f′(x)＝cos x＋ex，
从而f′(0)＝2，又f(0)＝3，
所以切线方程为y＝2x＋3.
8.
解析 ∵s′＝2t－，
∴当第4秒末，v＝8－＝(m/s)．
9．解 (1)y′＝(10x)′＝10xln 10.
(2)y′＝
＝
＝.
(3)y′＝(2x)′cos x＋(cos x)′2x－3[x′log2 011 x＋(log2 011x)′x]
＝2xln 2·cos x－sin x·2x－3[log2 011 x＋x]
＝2xln 2·cos x－2xsin x－3log2 011 x－3log2 011 e.
(4)y′＝(xtan x)′＝′
＝
＝
＝
＝＝.
10．解 f′(x)＝2x＋cos x.
故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1，
所以切线为y－π2＝(2π－1)(x－π)，
即(2π－1)x－y－π2＋π＝0.
11．[，π)
解析 y′＝－＝－，
∵ex＋≥2，∴－1≤y′<0，即－1≤tan α<0，
∴α∈.
12．解 依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝.
切点坐标为.
∴所求的最短距离d＝＝.
1.2.3 简单复合函数的导数
课时目标 能求形如f(ax＋b)形式的复合函数的导数．
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
复合函数
的求导法
则
若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a
一、填空题
1．函数y＝2的导数为______________．
2．函数y＝ln 的导数是____________．
3．设f(x)＝x3，则f(a－bx)的导数等于________ .
4．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角θ为________(填“锐角”“钝角”“直角”)．
5．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
6．函数y＝的导数等于________．
7．设f(x)＝且f′(1)＝2，则a＝________.
8．函数y＝(2 010－8x)8的导数为__________．
二、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(1＋2x2)8； (2)y＝；
(3)y＝sin 2x－cos 2x; (4)y＝cos x2.
10.求下列函数的导数：
(1)y＝esin x；
(2)y＝log2(2x2＋3x＋1)．
能力提升
11．设函数f(x)＝cos(x＋φ) (0<φ<π)．若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
12．设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．
1．求复合函数的导数要处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析函数的复合层次；
(3)一般是把一部分表达式作为一个整体；
(4)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
2．复合函数的求导法则的理解
法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
答 案
作业设计
1.
解析 y′＝2′＝2·＝.
2．－
解析 y′＝x·′＝x·＝－.
3．－3b(a－bx)2
解析 ∵y＝f(a－bx)＝(a－bx)3，
∴y′＝[(a－bx)3]′＝3(a－bx)2·(a－bx)′＝－3b(a－bx)2.
4．钝角
解析 ∵f′(x)＝ex(sin x＋cos x)
＝2exsin，
∴f′(4)＝tan θ＝2e4sin<0，∴θ为钝角．
5．e2
解析 y′＝e，曲线在点(4，e2)处的切线斜率为e2，所以切线方程为：y－e2＝e2(x－4)．
令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，
所以与坐标轴所围三角形的面积
S△＝×2×e2＝e2.
6．－
解析 y′＝′＝[(1＋5x)－3]′
＝5×(－3)(1＋5x)－4＝－15(1＋5x)－4
＝－.
7．2
解析 ∵f′(x)＝，
∴f′(x)＝.
∴f′(1)＝，又f′(1)＝2.
∴＝2，解得a＝2.
8．64(8x－2 010)7
解析 y′＝[(2 010－8x)8]′
＝8(2 010－8x)7·(2 010－8x)′
＝－64(2 010－8x)7
＝64(8x－2 010)7.
9．解 (1)设y＝u8，u＝1＋2x2，
∴y′＝(u8)′(1＋2x2)′＝8u7·4x＝8(1＋2x2)7·4x＝32x(1＋2x2)7.
(2)设y＝u－，u＝1－x2，
则y′＝(u－)′(1－x2)′＝·(－2x)＝x(1－x2)－.
(3)y′＝(sin 2x－cos 2x)′＝(sin 2x)′－(cos 2x)′
＝2cos 2x＋2sin 2x＝2sin.
(4)设y＝cos u，u＝x2，
则y′＝(cos u)′·(x2)′＝(－sin u)·2x
＝(－sin x2)·2x＝－2xsin x2.
10．解 (1)设y＝eu，u＝sin x，则
y′＝(eu)′(sin x)′＝eu·cos x＝esin x·cos x.
(2)设y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′＝(log2u)′·(2x2＋3x＋1)′
＝·(4x＋3)
＝·(4x＋3)
＝.
11.
解析 ∵f(x)＝cos(x＋φ)，
∴f′(x)＝－sin(x＋φ)．
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)
＝2sin.
∵f(x)＋f′(x)为奇函数，∴f(0)＋f′(0)＝0.
∴2sin＝0.∴φ＋＝kπ，k∈Z.
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
12．解 y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sin x)′＝24sin2xcos x，
∴曲线在点P处的切线的斜率
k＝f′＝24sin2·cos ＝3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3，
即6x－2y－π＋2＝0.
