1.5 定积分
1．5.1 曲边梯形的面积
课时目标 通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分概念建立的背景，借助于几何直观体会定积分的基本思想．
1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．
2．计算曲边梯形面积的方法：
把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形可“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值作和，就得到曲边梯形面积的近似值．
3．求曲边梯形面积的流程：
→→→.
一、填空题
1．在求由x＝a，x＝b
(a[f(x)≥0]及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边梯形过程中，下列说法正确的是________．(填序号)
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定．
2．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间的长度Δx＝________.
3．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．
4.
＝________.
5．以速度v＝6t沿直线运动的物体在t＝1到t＝6这段时间内所走的路程为________．
6．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．
7．由直线y＝x＋1与x＝0，x＝2，y＝0所围成的四边形的面积为________．
8．汽车以v＝(3t＋2)
m/s作变速直线运动时，在第1
s到第2
s间的1
s内经过的路程是________．
二、解答题
9．求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S.
10．求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．
能力提升
11．求由直线x＝1，x＝2和y＝0及曲线y＝x3围成的图形的面积．
12．已知一物体做变速直线运动，其瞬时速度是v(t)＝2t(单位：m/s)，求该物体在出发后从t＝1
s到t＝5
s这4
s内所经过的位移．
1．曲边梯形面积的四步曲：分割、以直代曲、作和、逼近．
2．物理上常见的“变力做功”、“变速直线运动的位移”等可转化为求曲边梯形的面积问题．
答
案
知识梳理
3．分割 以直代曲 作和 逼近
作业设计
1．① 2.
3.
解析 在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间，，…，，…，，所以第i个区间为(i＝1,2，…，n)．
4.
5．105
6．1.02
解析 将区间5等分所得的小区间为，，，，，
于是所求平面图形的面积近似等于
＝×＝1.02.
7．4
解析 所围成的四边形为直角梯形，x＝0时，y＝1，x＝2时，y＝3.∴S＝(1＋3)×2＝4.
8．6.5
m
解析 将[1,2]n等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则
Δt＝，v(ξi)＝v(1＋)＝3(1＋)＋2
＝(i－1)＋5.
∴Sn＝[(i－1)＋5]·
＝{[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·
＝·＋5＝(1－)＋5.
当n→∞时，Sn→＋5＝6.5.
9．解 (1)分割
把区间[0,1]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，其长度Δx＝，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(2)以直代曲
用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．
ΔSi＝f·Δx
＝·(i＝1,2，…，n)．
(3)作和
Si＝.
(4)逼近
当n→∞时，ΔSi→1＋＝.
∴S＝.
10．解 (1)分割
将区间[0,1]等分为n个小区间：
，，，…，，…，，
每个小区间的长度为Δx＝－＝.
过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
在区间上，以的函数值2作为高，小区间的长度Δx＝作为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即
ΔSi≈2·.
(3)作和
曲边梯形的面积近似值为
S＝ΔSi≈
2·
＝0·＋·2·＋·2·＋…＋·2·
＝[12＋22＋…＋(n－1)2]
＝.
(4)逼近
当n→∞时，→.
∴S＝.
11．解 (1)分割
把求面积的曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，用分点，，…，把区间[1,2]等分成n个小区间[1，]，[，]，…，[，]，…，[，2]，每个小区间的长度为Δx＝－＝，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.
(2)以直代曲
取各小区间的左端点ξi，用以点ξi的纵坐标(ξi)3为一边，以小区间长Δx＝为其邻边的小矩形面积近似代替第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为：ΔSi≈(ξi)3·Δx＝()3·(i＝1,2,3，…，n)
(3)作和
因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，
即S＝Si≈
()3·
①
(4)逼近
当分点数目愈多，即Δx愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD的面积S.
因此，n→＋∞即Δx→0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积．
∵
()3·＝
(n＋i－1)3
＝
[(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3]
＝[n(n－1)3＋3(n－1)2·＋3(n－1)··(n＋1)·(2n＋1)＋n2(n＋1)2]，
∴当n无限趋向于＋∞时，
()3无限趋近于.即S＝.
12．解 (1)分割：把时间段[1,5]分成n等份，分点依次是：1，1＋，1＋，…，1＋·4,5，
每个小区间的长度Δx＝.
(2)以直代曲：在时间的小区间段，以匀速来代替变速，故在每一小时间段内，
经过的位移ΔSi≈ΔS′i＝v·
＝·，其中i＝1,2，…，n.
(3)作和：所求的位移
S≈Sn＝S′i＝
＝8＋·＝8＋16·
＝8＋16.
(4)逼近
当n→∞时，Sn→8＋16＝24，∴S＝24.
即所求物体所经过的位移是24
m.1.5.3 微积分基本定理
课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．
微积分基本定理
对于被积函数f(x)，如果F′(x)＝f(x)，那么
f(x)dx＝__________，
即 F′(x)dx＝__________.
一、填空题
1．＝________.
2．若 (2x＋k)dx＝2，则k＝________.
3． xsin
αdx＝________.
4．由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围图形的面积为________．
5．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的是________．(填序号)
S＝ [f(x)－g(x)]dx
S＝ (2x
－2x＋8)dx
②
③ ④
6．若 (2xk＋1)dx＝2，则k＝________.
7．定积分 dx的值为________．
8．定积分的值为__________．
二、解答题
9．求下列定积分：
(1) (x2－x)dx；
(2)
.
10.计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面积．
能力提升
11． dx＝________.
12．求c的值，使 (x2＋cx＋c)2dx最小．
1．f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．
2．求定积分一定要结合几何意义．利用图形的面积可以求一些定积分的值．
答
案
知识梳理
F(b)－F(a) F(b)－F(a)
作业设计
1．π＋2
解析 取F(x)＝x＋sin
x，则F′(x)＝1＋cos
x.
∴＝F－F
＝＋sin－＝π＋2.
2．1
解析 取F(x)＝x2＋kx，则F′(x)＝2x＋k，
∴ (2x＋k)dx＝ F′(x)dx＝F(1)－F(0)
＝k＋1＝2，∴k＝1.
3.(b2－a2)sin
α
4．2ln
2
解析 如图，由图可知
S＝，
取F(x)＝ln
x，则F′(x)＝.
∴S＝＝
＝F(2)－F＝ln
2－ln
＝2ln
2.
5．③④
解析 ①应是S＝ [f(x)－g(x)]dx，
②应是S＝ 2dx－ (2x－8)dx，
③和④正确．
6．1
解析 ∵ (2xk＋1)dx＝ 2xkdx＋ dx
＝2 xkdx＋ dx＝＋1＝2，∴＝1，
即k＝1.
7.ln
2
解析 ∵′＝，∴ dx＝ln
2.
8．2(－1)
解析 dx
＝dx＝|cos
x－sin
x|dx
＝
(cos
x－sin
x)dx＋
(sin
x－cos
x)dx
＝2(－1)．
9．解 (1)取F(x)＝x3－x2，
则F′(x)＝x2－x，
从而 (x2－x)dx＝ F′(x)dx＝F(1)－F(0)
＝－＝－.
(2)取F(x)＝x2－cos
x，则F′(x)＝3x＋sin
x，
从而
(3x＋sin
x)dx＝F－F(0)
＝－
＝π2＋1.
10．解 由解得x＝0或x＝3.
如图所示
从而所求图形的面积
S＝ (x＋3)dx－ (x2－2x＋3)dx.
取F1(x)＝x2＋3x，
F2(x)＝x3－x2＋3x，
则F1′(x)＝x＋3，F2′(x)＝x2－2x＋3，
∴S＝ F1′(x)dx－ F2′(x)dx
＝[F1(3)－F1(0)]－[F2(3)－F2(0)]
＝[(×32＋3×3)－(×02＋3×0)]－[(×33－32＋3×3)－0]＝.
∴所求图形的面积为.
11．ln
2
12．解 令y＝ (x2＋cx＋c)2dx
＝ (x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2)dx.
取F(x)＝x5＋cx4＋c2x3＋cx3＋c2x2＋c2x，
则F′(x)＝x4＋2cx3＋c2x2＋2cx2＋2c2x＋c2，
∴y＝ F′(x)dx＝F(1)－F(0)
＝c2＋c＋，
令y′＝c＋＝0，得c＝－，
所以当c＝－时，y最小．1.5.2 定积分
课时目标 1.了解定积分的概念.2.了解定积分的几何意义和性质.3.会用定义求定积分．
1．定积分的概念：一般地，设函数f(x)在区间[a，b]上有意义，将区间[a，b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx
(Δx＝)，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2，…，xn，作和．
Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx.
如果当Δx→0(亦即n→＋∞)时，Sn→S(常数)，那么称常数S为函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记为：
S＝ f(x)dx，
其中，f(x)称为__________，[a，b]称为__________，a称为____________，b称为____________．
2．定积分的几何意义：一般地，定积分的几何意义是，在区间[a，b]上________与________所围图形面积的________．(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积)
一、填空题
1．定积分 3dx＝________.
2．由直线x＝1，x＝2和y＝x＋1围成的图形的面积为________．
3．若＝1，则由x＝0，x＝π，f(x)＝sin
x及x轴围成的图形的面积为________．
4．求由曲线y＝ex，直线x＝2，y＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x为积分变量，则积分上限和积分下限分别为________．
5． (－)dx＝________.
6． dx＝________.
7．设变速直线运动物体的速度为v(t)，则在t1到t2这一时间段内，该物体经过的位移S＝________.
8．如图，阴影部分的面积分别以A1，A2，A3表示，则定积分 f(x)dx＝________.
二、解答题
9．用定义计算： (x＋1)dx.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1) dx； (2) cos
xdx.
能力提升
11．用定积分的定义证明： kdx＝k(b－a)．
12．利用定积分的几何意义求，
其中f(x)＝.
1．利用定积分的定义求定积分，分四步：分割、以直代曲、作和、逼近．
2．利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．
答
案
知识梳理
1．被积函数 积分区间 积分下限 积分上限
2．曲线 x轴 代数和
作业设计
1．3 2.
3．2
解析 根据定积分的几何意义和函数图象的对称性．
4．2,0
解析 解，得.
解，得.
∴积分上限为2，积分下限为0.
5．－2π
解析 (－)dx表示半圆x2＋y2＝4
(y≤0)的面积的相反数．
6．8π
7．
8．A1＋A3－A2
解析 利用定积分的几何意义，在区间[a，b]上，用x轴上方f(x)所围面积减去x轴下方f(x)所围面积．
9．解 f(x)＝x＋1在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]等分成n个小区间，
每个区间的长度为Δx＝，
在[xi－1，xi]＝上取ξi＝xi－1＝1＋
(i＝1,2，…，n)，
∴f(ξi)＝f(xi－1)＝1＋1＋＝2＋，
∴f(ξi)·Δx＝
·
＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋＝2＋－＝－，
∴n→∞时，－→，
∴ (1＋x)dx＝.
10．解 (1)由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，其图象是以原点为圆心，半径为1的圆的部分．
∴ dx＝π·12＝π.
(2)由函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象的对称性(如图)知， cos
xdx＝0.
11．证明 令f(x)＝k，用分点a＝x0将区间[a，b]等分成n个小区间[xi－1，xi]
(i＝1,2，…，n)，在每个小区间上任取一点ξi
(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝k·＝k(b－a)，
∴当n→∞时， kdx＝k(b－a)．
12．解 f(x)dx＋＝ (3x－1)dx＋ (2x－1)dx＋，
∵y＝sin
xcos
x为奇函数，∴＝0.
利用定积分的几何意义，如图，
∴ (3x－1)dx＝－×2＝－8.
(2x－1)dx＝×1＝2.
∴ f(x)dx＋
＝2－8＋0＝－6.
