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【北师大版九年级数学（下）单元测试卷】
第三章：圆
一.选择题：（共30分）
1．（本题3分）圆心角为，半径为6的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．3π
解：∵圆心角，半径，弧长公式，
∴ ．
故选D．
2．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．平分一条弦的直径必然垂直这条弦
C．在圆中直角所对的弦是直径
D．任意一个三角形有且只有一个外接圆
解：A、不共线的三点确定一个圆，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弦（不是直径）的直径必然垂直这条弦，故本选项错误，不符合题意；
C、在圆中90度的圆周角所对的弦是直径，故本选项错误，不符合题意；
D、任意一个三角形有且只有一个外接圆，故本选项正确，符合题意；
故选：D
3．（本题3分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、该汽车轮毂图案可看作是正五边形与圆，所以该图案绕中心旋转后不能与原来的图案重合，故不符合题意；
B、该汽车轮毂图案可看作是正六边形与圆，所以该图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，故符合题意；
C、该汽车轮毂图案可看作是正十边形与圆，所以该图案绕中心旋转后不能与原来的图案重合，故不符合题意；
D、该汽车轮毂图案可看作是正十边形与圆，所以该图案绕中心旋转后不能与原来的图案重合，故不符合题意；
故选：B．
4．（本题3分）如图，为半圆O的直径，C，D为半圆上的点，和交于点E．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
5．（本题3分）扇形甲的圆心角是，扇形乙的圆心角是，这两个扇形的面积（ ）
A．甲扇形的面积大 B．乙扇形的面积大 C．无法比较
解：设扇形甲半径为，扇形乙半径为．
∵扇形面积公式，
∴，．
∵与未知，
∴无法确定与的大小关系，
故选：C．
6．（本题3分）如图，在中，，为半径，点C在优弧上，，则（ ）
A． B． C． D．
解：，
．
故选：B．
7．（本题3分）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
解：由翻折的性质可知，，
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
∴扇形的弧长．
故选：B．
8．（本题3分）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②相等的弧所对的弦相等；
③相等的弦所对的弧相等；
④半径相等的两个半圆是等弧，
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①相等的圆心角所对的弧相等，必须在同圆或等圆中才成立，否则不一定成立，故①错误；
②相等的弧所对的弦相等，等弧定义隐含同圆或等圆，故②正确；
③相等的弦所对的弧相等，该说法错误，在同圆或等圆中，一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），这两条弧通常不相等（除非弦为直径），因此相等的弦所对的弧不一定相等，故③错误；
④半径相等的两个半圆，弧长相等且均为半圆，故是等弧，故④正确，
∴正确的有②和④，共2个，
故选：B．
9．（本题3分）如图，△ABC的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵△ABC的内切圆与分别相切于点，
∴，，，
设，，，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选：．
10．（本题3分）如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴．
故选：D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为 ．
解：如图所示，连接，
∴设，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴的半径长为5，
故答案为：5 ．
12．（本题3分）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为 ．
解：如图，延长交于点E，连接，
则
为的直径
、
故答案为：8．
13．（本题3分）若圆的半径为4，则的圆心角所对的弧长为 ．
解：∵圆的半径为4，圆心角为，
∴弧长为．
故答案为：．
14．（本题3分）如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则 °．
解：作出弧所对的圆周角，
∵，,
∴，
∵沿着弦折叠，
∴，
故答案为：115．
15．（本题3分）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ．
解：∵分别和相切于点A、B，
∴，
∵过C作的切线分别交于点D、E，
∴，
∴，
∴的周长为30．
故答案为：30．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，中，，，点A在以为直径的上．
(1)求度数；
(2)求证：是的切线．
（1）解：为的直径，
，即是直角三角形，
，
；
（2）证明：如图，连接，
，，
，
，
，
，即，
又是半径，
是的切线．
17．（本题7分）如图，在△ABC中，以△ABC的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如（1）中图，连接，
∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，即的半径为．
18．（本题8分）如图，△ABC内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
（1）证明：连接
是的直径，
，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
即，
，
又，
，
的半径为．
19．（本题8分）如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且．
(1)证明：；
(2)若的半径为2，，求的长．
（1）证明：，，
．
又，
．
．
．
（2）解：的半径为2，
．
由（1）可得，
又，
．
或．
，
．
20．（本题8分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，．
(1)证明：；
(2)当，时，求的半径．
（1）解：在中，是直径，是弦，
（2）解：由(1)可知
连接，
设半径r，则
在中，
，
解得
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关联弦【概念理解】．如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦．【特例研究】通过观察和测量，发现．证明：如图1，过点O分别作，则．∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴．【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现．证明：……
任务：
(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．
(2)将“……”处证明过程补充完整．
(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹）
1）证明：过点O分别作，则．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：如图1，过点O作，，连接，
则，．
∵平分，，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图2，即为所求（作法不唯一）．
由作图可知：，
∴均为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴与为圆外顶点关联弦．
22．（本题9分）如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4．量角器最外缘的读数是从点M开始（即点M的读数为0），现有射线绕点C从方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线与量角器的半圆弧有交点，记交点为E．
(1)当射线与的外接圆相切时，为______；
(2)如图2，当射线经过的外心时，求E处的读数及线段扫过的面积；
(3)连接，当时，求的度数．
（1）解：当射线与的外接圆相切时，连接，如图，
∵射线与的外接圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转α的度数为．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴△ABC的外接圆就是量角器所在的圆，
当过的外心时（即过点O），
∵，
∴，
∴，
即E处的读数为60；
在中，∵，
∴，
∴，
过点C作于点F，如图，
∵，
∴，
∴扫过的面积为
；
（3）解：当时，如图，
由（2）得的外接圆就是量角器所在的圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
即α的度数为．
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第三章：圆
一.选择题：（共30分）
1．（本题3分）圆心角为，半径为6的扇形弧长为（ ）
A． B． C． D．3π
2．（本题3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．平分一条弦的直径必然垂直这条弦
C．在圆中直角所对的弦是直径
D．任意一个三角形有且只有一个外接圆
3．（本题3分）如图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转后能与原来的图案重合的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，为半圆O的直径，C，D为半圆上的点，和交于点E．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）扇形甲的圆心角是，扇形乙的圆心角是，这两个扇形的面积（ ）
A．甲扇形的面积大 B．乙扇形的面积大 C．无法比较
6．（本题3分）如图，在中，，为半径，点C在优弧上，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）下列说法：
①相等的圆心角所对的弧相等；
②相等的弧所对的弦相等；
③相等的弦所对的弧相等；
④半径相等的两个半圆是等弧，
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（本题3分）如图，△ABC的内切圆与分别相切于点，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，四边形内接于，连接AC．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为 ．
12．（本题3分）如图，半径为5的中，弦、所对的圆心角分别为和，若，与互补，则弦的长为 ．
13．（本题3分）若圆的半径为4，则的圆心角所对的弧长为 ．
14．（本题3分）如图，将沿着弦折叠，点C，D分别在优弧和劣弧上，若，则 °．
15．（本题3分）如图，是外一点，分别和相切于点A、B，点是弧上任意一点，过点作的切线分别交于点D、E，若，则的周长为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，中，，，点A在以为直径的上．
(1)求度数；
(2)求证：是的切线．
17．（本题7分）如图，在△ABC中，以△ABC的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
18．（本题8分）如图，△ABC内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．
19．（本题8分）如图，已知是的直径，D是上一点，连接、，点C为延长线上一点，连接．且．
(1)证明：；
(2)若的半径为2，，求的长．
20．（本题8分）如图，在中，是直径，是弦，于点E，连接，．
(1)证明：；
(2)当，时，求的半径．
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务．
关联弦【概念理解】．如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦．【特例研究】通过观察和测量，发现．证明：如图1，过点O分别作，则．∵平分，∴．∵，∴ ① ∵，∴，∴ ② ，∴．【概念、特性拓展】如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现．证明：……
任务：
(1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______．
(2)将“……”处证明过程补充完整．
(3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹）
22．（本题9分）如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4．量角器最外缘的读数是从点M开始（即点M的读数为0），现有射线绕点C从方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线与量角器的半圆弧有交点，记交点为E．
(1)当射线与的外接圆相切时，为______；
(2)如图2，当射线经过的外心时，求E处的读数及线段扫过的面积；
(3)连接，当时，求的度数．
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