2.3 数学归纳法 学案（含答案）
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2.3 数学归纳法
课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．
1．数学归纳法公理
对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明．
2．证明步骤
对于某些与正整数有关的数学命题，如果
(1)当n____________________________结论正确．
(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
一、填空题
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N
)，在验证n＝1时，等号左边的项是__________．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取______．
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多了____项．
4．设f(n)＝＋＋＋…＋
(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝______________.
5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．
6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上____________________________．
7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1
(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是________________________．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an
(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．
二、解答题
9．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N
)，并用数学归纳法证明你的结论．
10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
能力提升
11．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N
都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之．
12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N
，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N
)，
证明：对任意的n∈N
，不等式··…·>成立．
1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．
2．在证明n＝k＋1时的命题中，怎样变形使之出现n＝k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n＝k＋1时式子结构或几何量的改变．
答
案
知识梳理
1．与正整数有关
2．(1)取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时
(2)n＝k
(k∈N
，且k≥n0) n＝k＋1
作业设计
1．1＋a＋a2
解析 当n＝1时，an＋1＝a2.
∴等号左边的项是1＋a＋a2.
2．5
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.
3．2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
4.－
5．2(2k＋1)
6．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
7．没有用到归纳假设，不是数学归纳法
8．Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
9．证明 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2
(n∈N
)成立．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
②假设n＝k时(k≥3且k∈N
)时，不等式成立，
即2k＋2>k2，那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证2k2－2≥(k＋1)2，
即证k2－2k－3≥0，
即证(k＋1)(k－3)≥0.
又∵k＋1>0，k－3≥0，
∴(k＋1)(k－3)≥0.
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N
,2n＋2>n2.
10．解 (1)a2＝＝＝，
a3＝＝＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：①当n＝1时，结论显然成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时结论成立．
根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，
即an＝.
11．解 ∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，
f(3)＝360＝10×36，
∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．
证明：n＝1,2时，由上得证，假设n＝k(k∈N
，k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，
则n＝k＋1时，
f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k
＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k
＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)．
∴f(k＋1)能被36整除．
因此，对任意n∈N
，f(n)都能被36整除．
又∵f(1)不能被大于36的数整除，
∴所求最大的m值等于36.
12．(1)解 由题意：Sn＝bn＋r，
当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)证明 当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，
因此bn＝2n(n∈N
)，
所证不等式为··…·>.
①当n＝1时，左式＝，右式＝.
左式>右式，所以结论成立，
②假设n＝k(k∈N
)时结论成立，
即··…·>，
则当n＝k＋1时，
··…·
>·＝.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式＝
≥成立，
故≥成立，
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N
时，不等式··…·>成立．
课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.3.掌握数学归纳法的实质及与归纳，猜想的关系.4.能运用数学归纳法解决实际问题．
1．数学归纳法公理
对于某些________________的数学命题，可以用数学归纳法证明．
2．证明步骤
对于某些与正整数有关的数学命题，如果
(1)当n____________________________结论正确．
(2)假设当__________________时结论正确，证明当__________时结论也正确．
那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．
一、填空题
1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N
)，在验证n＝1时，等号左边的项是__________．
2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取______．
3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N
)，证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多了____项．
4．设f(n)＝＋＋＋…＋
(n∈N
)，那么f(n＋1)－f(n)＝______________.
5．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，从“n＝k到n＝k＋1”左端需增乘的代数式为__________．
6．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n2＝时，则n＝k＋1时的左端应在n＝k时的左端加上____________________________．
7．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1
(n∈N
)的过程如下：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1.所以当n＝k＋1时等式也成立．由此可知对于任何n∈N
，等式都成立．上述证明的错误是________________________．
8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an
(n∈N
)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________________．
二、解答题
9．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N
)，并用数学归纳法证明你的结论．
10．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．
能力提升
11．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在正整数m，使得对任意n∈N
都能使m整除f(n)，则最大的m的值为多少？并证明之．
12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N
，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N
)，
证明：对任意的n∈N
，不等式··…·>成立．
1．数学归纳法在证明与正整数n有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．
2．在证明n＝k＋1时的命题中，怎样变形使之出现n＝k时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n＝k＋1时式子结构或几何量的改变．
答
案
知识梳理
1．与正整数有关
2．(1)取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时
(2)n＝k
(k∈N
，且k≥n0) n＝k＋1
作业设计
1．1＋a＋a2
解析 当n＝1时，an＋1＝a2.
∴等号左边的项是1＋a＋a2.
2．5
解析 当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5.
3．2k
解析 观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋＋…＋，
而f(2k＋1)＝1＋＋…＋＋＋＋…＋.
因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．
4.－
5．2(2k＋1)
6．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2
7．没有用到归纳假设，不是数学归纳法
8．Sn＝
解析 S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝.
9．证明 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2>n2
(n∈N
)成立．
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边>右边，所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．
②假设n＝k时(k≥3且k∈N
)时，不等式成立，
即2k＋2>k2，那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证2k2－2≥(k＋1)2，
即证k2－2k－3≥0，
即证(k＋1)(k－3)≥0.
又∵k＋1>0，k－3≥0，
∴(k＋1)(k－3)≥0.
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N
,2n＋2>n2.
10．解 (1)a2＝＝＝，
a3＝＝＝.
(2)猜想an＝，下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：①当n＝1时，结论显然成立．
②假设当n＝k(k∈N
)时，结论成立，即ak＝，
那么ak＋1＝＝
＝＝.
也就是说，当n＝k＋1时结论成立．
根据①②可知，结论对任意正整数n都成立，
即an＝.
11．解 ∵f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，
f(3)＝360＝10×36，
∴f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除．
证明：n＝1,2时，由上得证，假设n＝k(k∈N
，k≥2)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，
则n＝k＋1时，
f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k
＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k
＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2(k≥2)．
∴f(k＋1)能被36整除．
因此，对任意n∈N
，f(n)都能被36整除．
又∵f(1)不能被大于36的数整除，
∴所求最大的m值等于36.
12．(1)解 由题意：Sn＝bn＋r，
当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，
由于b>0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)证明 当b＝2时，由(1)知an＝2n－1，
因此bn＝2n(n∈N
)，
所证不等式为··…·>.
①当n＝1时，左式＝，右式＝.
左式>右式，所以结论成立，
②假设n＝k(k∈N
)时结论成立，
即··…·>，
则当n＝k＋1时，
··…·
>·＝.
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证≥，
即证≥，
由基本不等式＝
≥成立，
故≥成立，
所以当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N
时，不等式··…·>成立．