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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共24分）
1．（本题3分）如图，在△ABC中，，为中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．1
3．（本题3分）如果等腰三角形的一个内角为，那么等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B． C． D． 或
4．（本题3分）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线．如果，那么点到的距离为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
5．（本题3分）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，△ABC中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若△ABC的面积为10，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（本题3分）如图，在△ABC中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为 ．
10．（本题3分）如图，在△ABC中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，则的面积等于 ．
11．（本题3分）如图，在△ABC中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为 cm．
12．（本题3分）如图，△ABC和关于直线AB对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，则 ．
13．（本题3分）如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论：
①；
②；
③是等边三角形；
④．
其中正确的是 ．（只填写序号）
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在△ABC中，，于．
(1)求证：；
(2)分别交、于、，若，求证：平分．
15．（本题8分）如图，在△ABC和中，，，点在△ABC的边上，．
(1)请判断△ABC和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由；
(2)若，请求出的度数．
16．（本题9分）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上．
(1)连接．若，求的度数；
(2)若，求长度的取值范围．
17．（本题9分）如图，点在梯形的边上，,,,,．
(1)求的度数．
(2)求梯形的面积．
18．（本题9分）如图，已知，．
(1)完成下面证明的过程（在横线上填上适当的内容）；
证明：（已知），
（________________），
________（________________）．
（已知），
________（等量代换），
（________________）．
(2)若，，求的度数．
19．（本题10分）如图，在△ABC中，，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
20．（本题10分）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论．
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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共24分）
1．（本题3分）如图，在△ABC中，，为中点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，D为中点，
∴是的平分线，
∵，
∴．
故选：C．
2．（本题3分）如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则的值不可能是（ ）
A．4 B．3 C．2.5 D．1
解：当时，的值最小，
∵平分，，，
∴，
所以的最小值为，
所以，，不符合题意，符合题意；
故选：．
3．（本题3分）如果等腰三角形的一个内角为，那么等腰三角形底角的度数为（ ）
A． B． C． D． 或
解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为，一个内角为，
∴只能为顶角，
此时底角为．
故选：C．
4．（本题3分）如图，在△ABC中，是△ABC的角平分线．如果，那么点到的距离为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．4
解：如图所示，过点D作于E，
∵为的平分线，，，
∴，
∴点D到的距离为．
故选：B．
5．（本题3分）如图，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：根据三角形外角性质，，
，
．
故选：D．
6．（本题3分）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，，
∴，
∵是△ABC的外角，
∴．故选：D．
7．（本题3分）如图，△ABC中，，直线垂直平分，点是上一点，点是上一点，连接，，若△ABC的面积为10，，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
解：连接，如图
直线垂直平分，
，
当、、共线且时，取得最小值，即的长．
由的面积，，得，解得，
故的最小值为5．
故选：B．
8．（本题3分）如图，在△ABC中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：
∴，
∵，
∴，故①正确；
如图所示，延长至点使得连接，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，故②正确；
∵，
∴，故④正确；
根据现有条件，无法证明，故③错误；
故选：B．
二、填空题（共15分）
9．（本题3分）等腰三角形的一个外角是，则它的底角的度数为 ．
解：∵等腰三角形的一个外角为，
∴其对应的内角为，
若是底角，则两底角之和为，不成立。
∴这个的角只能是顶角，
∴它的底角的度数为，
故答案为：．
10．（本题3分）如图，在△ABC中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，则的面积等于 ．
解：如图，过点作交于点F，
∵是边上的高，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：8．
11．（本题3分）如图，在△ABC中，边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E．已知的长为，则的周长为 cm．
解：∵边的垂直平分线分别交于点M，D，边的垂直平分线分别交于点N，E
∴
∴的周长
故答案为：10.
12．（本题3分）如图，△ABC和关于直线AB对称，和关于直线对称，与相交于点F，若，则 ．
解：∵，
∴，
∵△ABC和关于直线对称，
∴，
∴，
∵△ABC和关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．（本题3分）如图，点C为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边，，相交于点F，交于点M，交于点N，连接．则下列结论：
①；
②；
③是等边三角形；
④．
其中正确的是 ．（只填写序号）
解：①和都是等边三角形，
， ，
，
，
，
，
，
故结论①正确；
②，
，
，
，
，
故结论②正确；
③，
，
，
，
是等边三角形，
故结论③正确；
④假设，
，
是等边三角形，
，
又∵， 这与相矛盾，
∴假设是错误的，
，
故结论④不正确，
综上所述：正确的结论是①②③，
故答案为： ①②③．
三、解答题（共61分）
14．（本题6分）如图，在△ABC中，，于．
(1)求证：；
(2)分别交、于、，若，求证：平分．
（1）证明：，于，
，，
；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴平分．
15．（本题8分）如图，在△ABC和中，，，点在△ABC的边上，．
(1)请判断△ABC和是否全等，若全等，请说明理由；若不全等，不必说明理由；
(2)若，请求出的度数．
（1）解：，理由如下：
如图，设，相交于点，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
在和△ABC中，
，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴的度数为．
16．（本题9分）如图，已知，且点F，B，E，C在同一条直线上．
(1)连接．若，求的度数；
(2)若，求长度的取值范围．
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴
∴．
17．（本题9分）如图，点在梯形的边上，,,,,．
(1)求的度数．
(2)求梯形的面积．
（1）解：∵,，，
∴，
∴
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
是直角三角形，
，
．
（2）由（1）得，
．
，，．
在中，，
，
，
．
18．（本题9分）如图，已知，．
(1)完成下面证明的过程（在横线上填上适当的内容）；
证明：（已知），
（________________），
________（________________）．
（已知），
________（等量代换），
（________________）．
(2)若，，求的度数．
（1）解：证明：（已知），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行；
（2）解：，
，
又，
．
19．（本题10分）如图，在△ABC中，，，，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（本题10分）如图1，，都是等边三角形，点A、B、C在同一直线上，和交于点P．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)如图2，M，N分别是，的中点，试判断的形状，并证明你的结论．
（1）证明：、都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
．
（3）解：是等边三角形，理由为：
，
．
，、分别是、的中点，
，
在和中
，
，，
．
是等边三角形．
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