第1章 计数原理
1.1 两个基本计数原理(一)
课时目标1.通过实例，在理解的基础上掌握两个基本计数原理.2.会利用两个原理解决一些简单的实际问题．
1．两个基本计数原理
分类计数原理
分步计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有__________________种不同的方法
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有__________________种不同的方法
2.两个原理都是完成一件事方法的种数，其中分类计数原理针对的是________问题，分步计数原理针对的是________问题．
一、填空题
1．从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有________种．
2．有一排5个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、可亮绿灯、可不亮灯，则共可以出的不同信号有________种．
3．二年级(1)班有学生56人，其中男生38人，从中选取1名男生和1名女生作代表参加学校组织的社会调查团，则选取代表的方法种数为________．
4．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2，…，9}且P?Q，把满足上述条件的一对有序整数(x，y)作为一个点，则这样的点的个数是________．
5．有4名高中毕业生报考大学，有3所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这4名高中毕业生报名的方案数为________．
6．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．
7．在由0,1,3,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数共有________个．
8．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为________．
二、解答题
9．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同的选法？
10．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的比2
000大的四位偶数？
能力提升
11．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是________．
12．书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有6本不同的语文书，第三层有5本不同的英语书．
(1)从这些书中任取1本，有多少种不同的取法？
(2)从这些书中任取1本数学书，1本语文书，1本英语书共3本书的不同的取法有多少种？
(3)从这些书中任取3本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？
用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，可以“先分类后分步”或“先分步后分类”．
第1章 计数原理
1．1 两个基本计数原理(一)
答案
知识梳理
1．N＝m1＋m2＋…＋mn N＝m1×m2×…×mn
2．分类 分步
作业设计
1．19
解析 从甲地到乙地有两类方案：甲地直达乙地，甲地经丙地到乙地，共有4＋3×5＝19(种)方法．
2．243
解析 一个窗有3种可能情况(红、绿、不亮)，每个窗出现一种情况的方法种数为3×3×3×3×3＝35(种)，即为表示的不同信号．
3．684
解析 男生为38人，女生为18人，第1步从男生38人中任选1人，有38种不同的选法；第二步从女生18人中任选1人，有18种不同的选法．只有上述两步完成后，才能完成从男生中和女生中各选1名代表这件事，根据分步乘法计数原理共有38×18＝684(种)选取代表的方法．
4．14
解析 当x＝2时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点；
当x＝y时，y可取3,4,5,6,7,8,9，共7个点．
∴这样的点共有7＋7＝14(个)．
5．81
解析 4名高中毕业生报考3所大学，可分4步，每步有3种选择，则这4名高中毕业生报名的方案数为3×3×3×3＝81.
6．16
解析 按题意分成两类：
第一类：甲企业有1人发言，有2种情况，另两个发言人出自其余4家企业，有6种情况，由分步乘法计数原理知有2×6＝12(种)情况；
第二类：3人全来自其余4家企业，有4种情况．
综上可知，共有N＝12＋4＝16(种)情况．
7．10
解析 先考虑个位和千位上的数，个位数字是0的有3×2×1＝6(个)，个位数字是5的有2×2×1＝4(个)，所以共有10个．
8.
120
解析 如右图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选，则不同染色方法共有5×4×3×2＝120(种)．
9．解 依题意得既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，6人只会英语，2人只会日语．
第一类：从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时选会日语的有2＋1＝3(种)方法．
由分步乘法计数原理可得N1＝6×3＝18(种)．
第二类：从既会英语又会日语的1人中选有1种方法，此时选会日语的有2种方法．
由分步乘法计数原理可得N2＝1×2＝2(种)．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＝18＋2＝20(种)．
10．解 完成这件事有三类方法：
第一类是用0做结尾的比2
000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48(个)；
第二类是用2做结尾的比2
000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；
第三类是用4做结尾的比2
000大的4位偶数，其步骤同第二类，可得有36个．
对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2
000大的四位偶数有48＋36＋36＝120(个)．
11．15
625
解析 每位同学可自由选择5个讲座中的其中1个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有56＝15
625种不同选法．
12．解 (1)因为共有17本书，从这些书中任取1本，共有17种取法．
(2)分三步：第一步，从6本不同的数学书中取1本，有6种取法；第二步，从6本不同的语文书中取1本，有6种取法；第三步：从5本不同的英语书中取1本，有5种取法．由分步乘法计数原理知，取法总数为N＝6×6×5＝180(种)．
(3)实际上是从17本书中任取3本放在三个不同的位置上，完成这个工作分三个步骤，
第一步：从17本不同的书中取1本，放在第一个位置，有17种方法；
第二步：从剩余16本不同的书中取1本，放在第二个位置，有16种方法；
第三步：从剩余15本不同的书中取1本，放在第三个位置，有15种方法；
由分步乘法计数原理知，排法总数为N＝17×16×15＝4
080(种)．1.1 两个基本计数原理(二)
课时目标1.进一步理解两个计数原理.2.掌握解决计数实际问题的基本思想．
1．分类计数原理计算公式：N＝m1＋m2＋…＋mn.
分步计数原理计算公式：N＝m1×m2×…×mn.
2．分类计数原理针对的是分类问题，每一种方法都能达到________________；分步计数原理针对的是______问题，各个步骤____________才算完成这件事．
一、填空题
1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成________个无重复数字的三位数．
2．人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”，则无重复数字的4位吉祥数(首位不能是零)共有______个．
3．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有________个．
4．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，从书架上任取1本书，有______种不同的取法；从书架的第1,2,3层各取1本书，有________种不同的取法．
5．某班举行联欢会，原定的6个节目已排出节目单，演出前又增加了3个节目，若将这3个节目插入原节目单中，则有________种不同的排法．
6．有红、黄、蓝不同颜色的旗各三面，每次升一面、两面或三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成________种不同的旗语信号．
7．从0,1,2,3,4,5,6七个数字中，任意取出三个不同的数字，作为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数，可得________个不同的二次函数．
8．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有________种不同的选法．要买上衣、裤子各一件，共有________种不同的选法．
二、解答题
9.
将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入右图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
10．已知直线ax＋by＋c＝0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数．
能力提升
11．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
12．现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班．共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？
1．解计数应用题，要先搞清分类和分步．分类时要不重不漏．
2．计数问题对特殊元素或特殊位置要优先考虑；对分类较多的，可使用间接法．
1．1 两个基本计数原理(二)
答案
知识梳理
2．完成这件事的目的 分步 依次完成
作业设计
1．60
解析 有三个数字需要选取再组成三位数，分三步，共有5×4×3＝60(个)．
2．448
解析 据分步计数原理，共有8×8×7＝448(个)．
3．36
解析 按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别为1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个．则根据分类计数原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
4．9 24
解析 4＋3＋2＝9；4×3×2＝24.
5．504
解析 原有6个节目，依次插入3个节目，则有7×8×9＝504(种)．
6．39
解析 悬挂一面旗共可以组成3种旗语信号；
悬挂二面旗共可以组成3×3＝9(种)旗语信号；
悬挂三面旗共可以组成3×3×3＝27(种)旗语信号，
由分类计数原理，共有3＋9＋27＝39(种)旗语信号．
7．180
解析 6×6×5＝180.
8．33 270
解析 买上衣，有15种选法；买裤子，有18种选法．买1件上衣或1条裤子有15＋18＝33(种)选法．买一件上衣和一条裤子，有15×18＝270(种)选法．
9．解
给区域标记号A、B、C、D、E(如图所示)，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．因此应先分类后分步．
(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)．
(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)．
故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．
10．解 设倾斜角为θ，由θ为锐角，得tan
θ＝－>0，即a、b异号．
(1)若c＝0，a、b各有3种取法，排除2个重复(3x－3y＝0,2x－2y＝0，x－y＝0)．故有3×3－2＝7(条)．
(2)若c≠0，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4＝36(条)，从而符合要求的直线共有7＋36＝43(条)．
11．解 方法一 由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人)，这个数目不大，化为填数问题之后，可用枚举法进行具体的填写：
再按照题目要求检验，最终易知有9种分配方法．
方法二 记四人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到，故有3种分配方式；以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：
第一类：甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式；
第二类：甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的)．对每一种情况，丙、丁收到卡片的方式只有一种．
因此，根据分步计数原理，不同的分配方式数为3×(1＋2)＝9.
12．解 分5步进行：
第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法；
第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法；
第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法；
第四步：同前；
第五步：同前．
由分步计数原理可得不同的排法有5×4×4×4×4＝1
280(种)．
