1.3 组 合
课时目标1.理解组合的概念，理解排列数A与组合数C之间的联系.2.理解并掌握组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．
1．组合
一般地，从n个________元素中________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数与组合数公式
组合数定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示法
________
组合数公式
乘积形式
C＝________________
阶乘形式
C＝________________
性质
C＝____________；C＝________＋________
备注
①n，m∈N
且m≤n②规定C＝1
3.排列与组合
(1)两者都是从n个不同元素中取出m个元素(m≤n)；
(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．
一、填空题
1．从5人中选3人参加座谈会，则不同的选法有______种．
2．已知平面内A、B、C、D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为______．
3．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，则不同的选法有______种．
4．房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为______．
5．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值4日，乙不值6日，则不同的安排方法共有______种．
6．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．
7．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．
8．若对 x∈A，有∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合，则集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．
二、解答题
9．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？
(1)没有次品；
(2)恰有2件是次品；
(3)至少有2件是次品．
10．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外2名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？
能力提升
11．将5位志愿者分成三组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．
12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷又会划右舷，现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？
解答组合应用题的总体思路
1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类计数原理．
2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步计数原理．
3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序”，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．
4．辩证地看待“元素”与“位置”．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置”，问题解决得简捷，有时“位置选元素”，效果会更好．
1．3 组 合
答案
知识梳理
1．不同 取出m(m≤n)个元素并成一组
2．所有组合的个数 C C C C
3．(2)有关 无关
作业设计
1．10
解析 所求为5选3的组合数C＝10(种)．
2．4
3．63
解析 每个被选的人都无角色差异，是组合问题．
分2步完成：
第1步，选女工，有C种选法；
第2步，选男工，有C种选法；
故有C·C＝63(种)不同选法．
4．31
解析 因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．
开1个灯有C种方法，开2个灯有C种方法，……5个灯全开有C种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C＋C＋…＋C＝31(种)．
5．42
解析 若甲在6日值班，在除乙外的4人中任选1人在6日值班有C种选法，然后4日、5日有CC种安排方法，共有CCC＝24(种)安排方法；
若甲在5日值班，乙在4日值班，余下的4人有CCC＝12(种)安排方法；
若甲、乙都在5日值班，则共有CC＝6(种)安排方法．
所以总共有24＋12＋6＝42(种)安排方法．
6．600
解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有C·A＝240(种)选法；②甲、丙同不去，乙去，有C·A＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有A＝120(种)选法，所以共有600(种)不同的选派方案．
7．432
解析 分3类：第1类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C·C·C·C·A种；
第2类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C·C·A种；
第3类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C·C·A种．
故满足题意的所有不同的排法共有C·C·C·C·A＋C·C·A＋C·C·A＝432(种)．
8．15
解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3，共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C＋C＋C＋C＝15.
9．解 (1)没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，
共有C＝64446024(种)．
(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有CC＝442
320(种)．
(3)至少有2件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：
第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有CC种．
第二类，从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有CC种．
按分类计数原理有CC＋CC＝446
976(种)．
10．解 设A，B代表2名老师傅．
A，B都不在内的选派方法有C·C＝5(种)；
A，B都在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝10(种)；
A，B都在内且当车工的选派方法有C·C·C＝30(种)；
A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有C·A·C·C＝80(种)；
A，B有一人在内且当钳工的选派方法有C·C·C＝20(种)；
A，B有一人在内且当车工的选派方法有C·C·C＝40(种)；
所以共有5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．
11．90
解析 分成3组有＝15(种)分法．
分赴世博会三个场馆有A＝6(种)方法，
∴共有15×6＝90(种)．
12．解 设集合A＝{只会划左舷的3个人}，B＝{只会划右舷的4个人}，C＝{既会划左舷又会划右舷的5个人}．
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人．
第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B∪C中选3人，即有C种选法．因是分步问题，所以有C·C种选法．第②类，划左舷的人在A中选2人，有C种选法，在C中选1人，有C种选法，划右舷的在B∪C中剩下的8个人中选3人，有C种选法．因是分步问题，所以有C·C·C种选法．类似地，第③类，有C·C·C种选法，第④类有C·C·C种选法．
所以一共有C·C＋C·C·C＋C·C·C＋C·C·C＝84＋840＋1
050＋200＝2
174(种)选法．1.3
组合习题课
课时目标1.理解排列、组合的概念，加深公式的理解应用.2.利用排列、组合解决一些简单的实际问题．
1．排列数公式(用阶乘表示)：A＝________；
组合数公式：C＝________.
2．全排列：n个不同元素____________的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
在排列数公式中，当m＝n时，即有A＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1，A称为n的阶乘．
3．组合数的性质：①C＝________；②C＝________________.
一、填空题
1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名参加某一天的一项活动，其中一名参加上午的活动，另一名参加下午的活动，则有________种不同的方法．
2．从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到________个不同的三位数．
3．化简：C＋C＋C＝________.
4．已知A＝7A，那么n＝________.
5．某医院有内科医生10人，外科医生6人，现欲从中抽调3名内科医生，2名外科医生组成医疗小分队奔赴抗洪第一线，一共有________种不同的选法．
6．式子C＋C＝________.
7．4名男生和6名女生组成至少有1名男生参加的三人社会实践活动小组，则有______种不同的组成方法．
8．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几个人自行决定，共有________种不同的去法．
二、解答题
9．化简：(1)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋10×10！；
(2)＋＋＋…＋.
10．(1)解方程：Cx2－x16＝C；
(2)解不等式：C>C＋C.
能力提升
11．求证：＋＝.
12．由1、2、3、4、5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12
345，第2项是12
354，直到末项(第120项)是54
321.问：
(1)43
251是第几项？
(2)第93项是怎样的一个五位数？
1．要理解记忆排列数、组合数公式，并能利用公式证明，求解一些等式、不等式．
2．对排列、组合的实际问题，要先分析问题的实质，根据特殊要求进行分类，根据事件发生过程进行分步，注意元素的顺序问题．
习题课
答案
知识梳理
1.
2．全部取出
3．①C ②C＋C
作业设计
1．6
2．24
解析 A＝24.
3．C
4．7
解析 ＝
即n(n－1)＝7(n－4)(n－5)，解得n＝7.
5．1
800
解析 C×C＝1
800.
6．11
解析 由得7≤m≤8.当m＝7时，C＋C＝11；当m＝8时，C＋C＝11.
7．100
解析 方法一 小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C，CC，
CC，所以，一共有C＋CC＋CC＝100(种)方法．
方法二 利用间接法，共有C－C＝100(种)．
8．63
解析 方法一 去的人数有1,2,3,4,5,6共六类情况，则共有C＋C＋C＋C＋C＋C＝63(种)．
方法二 6个人每人都有“去”和“不去”两种状态，要去掉一种都不去的情形，则共有2×2×2×2×2×2－1＝63(种)．
9．解 由(n＋1)！＝(n＋1)n！＝n×n！＋n！，
得(n＋1)！－n！＝n×n！.
故(1)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋10×10！＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋…＋(11！－10！)＝11！－1！.
(2)原式＝1！－＋－＋－＋…＋－＝1－.
10．解 (1)∵Cx2－x16＝C，
∴x2－x＝5x－5
①
或x2－x＋5x－5＝16，
②
解①得x＝1或x＝5，
解②得x＝3或x＝－7.
经检验可知，原方程的解是x＝1或x＝3.
(2)原不等式可化为C>C＋C，
即C>C，∴>，
∴30>(m－4)(m－5)，即m2－9m－10<0，
∴－1又∵m≥7且m∈N
，
∴m＝7或8或9.
11．证明 ＋＝＋
＝
＝
＝＝
＝.
12．解 (1)由题意知，共有五位数A＝120(个)．
比43
251大的数有下列几类：
①万位数是5的有A＝24(个)；
②万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)；
③万位数是4，千位数是3，百位数是5的有A＝2(个)；
∴比43
251大的的数共有A＋A＋A＝32(个)，
∴43
251是第120－32＝88(项)．
(2)从(1)知万位数是5的有A＝24(个)，万位数是4，千位数是5的有A＝6(个)．
但比第93项大的数有120－93＝27(个)，第93项即倒数第28项，而万位数是4，千位数是5的6个数是45
321、45
312、45
231、45
213、45
132、45
123，由此可见第93项是45
213.
