1.4 计数应用题(一)
课时目标1.利用计数原理，解决一些简单的实际问题.2.理解解计数应用题的常用思想方法．
解计数应用题，要按照元素的性质进行________，按事情发生的过程进行________；对排列组合的混和问题，一般可采用“先选后排”的思路．
一、填空题
1．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子都不许放入第1号瓶内，那么不同的放法共有__________种．(用式子表示)
2．某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内一共有________种不同的安排方法．(用式子表示)
3．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法．
4．三个人坐在八个座位上，若每个人的两边都要有空位，则不同的坐法总数为________种．
5．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法共有________种．
6．现从8名学生干部中选2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男同学有______人，女同学有______人．
7．从5名男生和3名女生中任选3男2女分别参加不同的学科兴趣小组，则有________种不同的安排．
8．从数集{－1,0,1,2,3}中任取3个数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________条与x轴正、负半轴都有交点的不同的抛物线．
二、解答题
9．A，B，C，D，E五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A，B两种商品必须排在一起，而C，D两种商品不能排在一起，问：一共有多少种不同的排法？
10．2名男生和3名女生共5名同学站成一排，若男生甲不站两端，3名女生中有且只有2名女生相邻，问：一共有多少种不同排法？
能力提升
11．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有多少个？(用数字作答)
12．四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库中是安全的．现打算用编号①，②，③，④的仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同的放法有多少种？
1．解计数应用题，要针对特殊的元素或位置进行分类或分步．
2．几类特殊问题：相邻问题用“捆绑法”，不相邻问题用“插空法”．
1．4 计数应用题(一)
答案
知识梳理
分类 分步
作业设计
1．CA
解析 第一步：从去掉甲、乙的8种种子选1种放入第1号瓶子内；第二步：再从剩下的9种种子中选5种放入剩余的5个瓶子中，∴共有放法C×A种．
2．CA
解析 先安排人数较多的学校，共有C种方法；在剩余的17天中任选七天安排其余学校，A种，
∴共有CA种不同的安排方法．
3．1
260
解析 CCC＝1
260(种)．
4．24
解析 可使用插空法，余下的五个座位形成6个空，从中间的四个空中任选3个排3个人即可，有A＝24(种)坐法．
5．120
6．3 5
解析 设男同学n名，则CCA＝90.
∴n＝3.
7．3
600
解析 C×C×A＝3
600.
8．18
9．解 A，B两种商品捆绑在一起，看成一个商品，与E形成三个空档，将C，D插入，有A种，C，D内部排列有A种，A，B排列有A种，所以共有AAA＝24.
10．解 从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A，(A共有CA＝6(种)不同排法)，剩下一名女生记作B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：
第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6AA＝24(种)排法；
第二类：“捆绑”A和男生乙在两端，则中间女生B和男生甲只有一种排法，此时共有6A＝12(种)排法；
第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A和男生甲也只有一种排法，此时共有6A＝12(种)排法．
由分类计数原理，知共有24＋12＋12＝48(种)．
11．解 个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有CAC＋AC＝90(种)；个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：CAC＋CCAC＝234(种)，所以共有90＋234＝324(个)．
12.
解 如图所示，PA只能与BC或CD所代表的化工产品放在一起，若PA与BC放在一起，则一定有PD与AB，PC与AD，PB与CD分别放在4个仓库里，则有A＝24(种)不同的放法．同理PA与CD时，也有24种不同的放法，由分类计数原理知共有24＋24＝48(种)不同的放法．1.4 计数应用题(二)
课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．
1．排列数公式：A＝________________；
组合数公式：C＝＝________________.
2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．
一、填空题
1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则有______种取法；从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则有________种取法．
2．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．
3．用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成________个没有重复数字的四位数，可以组成________个没有重复数字的四位奇数．
4．假设200件产品中有3件次品，现从中任取5件，则其中至少有2件次品的抽法有__________种．(用式子表示)
5．有A，B，C，D，E共5人并排站在一起，如果A，B必须相邻，并在B在A的右边，那么不同的排法有______种．
6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)
7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．
8．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．
二、解答题
9．从6名运动员中选出4人参加4×100
m的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？
10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：
(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；
(2)两个唱歌节目不相邻；
(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．
能力提升
11．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？
1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．
2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．
1．4 计数应用题(二)
答案
知识梳理
1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
作业设计
1．21 35
解析 从7个白球中取2个，再取1个黑球有C×1＝21(种)方法；从7个白球中取3个，有C＝35(种)方法．
2．240
解析 先选从事翻译工作的有C种方法，再从剩余5人中选3人分别从事其他工作，有A种方法．
∴共有方案C×A＝4×5×4×3＝240种．
3．120 72
4．CC＋CC
5．24
解析 将B放A的右边且作为一个元素与C、D、E全排即可，共有A＝24(种)排法．
6．AA
解析 采用插空法，先排8名学生，共有A种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A种排法，
∴共有排法：A×A种．
7．126
解析 分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C×A＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C×C×A＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．
8．30
解析 方法一 可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)选法．
方法二 总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，故有30种选法．
9．解 分两类：若乙跑第一棒，共有A＝60(种)；
若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C种，此时跑第四棒的选择有C种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A种，所以有CCA＝192(种)．
所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．
10．解 (1)先排唱歌节目有A种排法，再排其他节目有A种排法，所以共有A·A＝1440(种)排法．
(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A种插入方法，所以共有A·A＝30
240(种)排法．
(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A种排法，由分步计数原理，符合要求的排法有：A·A·A＝2
880(种)．
11．解 方法一 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有＝A＝72(种)排法．
方法二 共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有AC＝72(种)排法．
