1.5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
课时目标1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．
1．二项式定理
(a＋b)n＝________________________________________________；
二项展开式的通项：Tr＋1＝________________.
2．二项式系数
______(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．
一、填空题
1．在(x2－)5的二项展开式中，含x4的项的系数是______．
2．(－)10的展开式中含x的正整数指数幂的项数是________．
3．如果(3x2－)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为________．
4．(1＋)6(1＋)10展开式的常数项为________．
5．(ax－)8的展开式中x2的系数是70，则实数a的值为________．
6．(－)6的展开式中，x3的系数为________．
7．已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.
8．(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为______．
二、解答题
9．求230－3除以7的余数．
10．已知(－)n(n∈N
)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10∶1，
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中含x的项．
能力提升
11．若(x－)9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
12．若(＋)n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次幂的项；
(2)展开式中所有x的有理项．
1．通项公式Tr＋1＝Can－rbr(n∈N
，r＝0,1,2，…，n)中含有a，b，n，r，Tr＋1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．
2．注意二项式系数和系数的不同．
1．5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
答案
知识梳理
1．Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N
) Can－rbr
2．C
作业设计
1．10
解析 ∵(x2－)5的二项展开式的通项
Tr＋1＝C(x2)5－r(－)r＝C·(－1)rx10－3r
令10－3r＝4，∴r＝2.
∴x4的系数是C(－1)2＝10.
2．2
解析 Tr＋1＝Cx·(－)r·x－r
＝C(－)r·x.
若是正整数指数幂，则有为正整数，
∴r可以取0,2，∴项数为2.
3．5
解析 因为Tr＋1＝C(3x2)n－r(－2x－3)r＝(－2)r·3n－rCx2n－5r，则2n－5r＝0，即5r＝2n，
所以或.
故所求正整数n的最小值为5.
4．4
246
解析 (1＋)6的展开式有7项，通项为Tr＋1＝C()r＝Cx(r＝0,1,2，…，6)；(1＋)10的展开式有11项，通项为Ts＋1＝C()s＝Cx－(s＝0,1,2，…，10)；(1＋)6(1＋)10的展开式有77项，通项为CxCx－＝CCx，由4r－3s＝0得或或.故常数项为1＋CC＋CC＝4
246.
5．±1
解析 Tr＋1＝C(ax)8－r(－)r＝(－1)ra8－r·Cx8－r·x－，所以(8－r)＋(－)＝2，得r＝4，即有a4C＝70，所以a＝±1.
6．15
解析 设含有x3项为第(r＋1)项，则Tr＋1＝C·()6－r·()r＝C·x6－r·y·(－y)r·x－
＝C·x6－r－·y·(－y)r，
令6－r－＝3，即r＝2，
∴T3＝C·x3··y2＝C·x3，
系数为C＝＝15.
7．1
解析 x8是(1＋kx2)6的展开式的第5项，x8的系数为Ck4＝15k4，由已知，得15k4<120，即k4<8，又k是正整数，故k＝1.
8．－5
解析 (1＋x＋x2)(x－)6
＝(1＋x＋x2)[Cx6(－)0＋Cx5(－)1＋Cx4(－)2＋Cx3(－)3＋Cx2·(－)4＋Cx(－)5＋Cx0·(－)6]＝(1＋x＋x2)·(x6－6x4＋15x2－20＋－＋)，所以常数项为1×(－20)＋x2·＝－5.
9．解 230－3＝(23)10－3＝810－3
＝(7＋1)10－3
＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3
＝7(C79＋C78＋…＋C)－2
＝7(C79＋C78＋…＋C)－7＋5.
∴余数为5.
10．(1)证明 由题意知第5项的系数为C·(－2)4，
第3项的系数为C·(－2)2，
则＝，
解得n＝8，或n＝－3(舍去)．
通项公式Tr＋1＝C()8－r·(－)r
＝C(－2)r·x.
若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即5r＝8，且r∈N，这是不可能的，所以展开式中没有常数项．
(2)解 由(1)知，展开式中含x的项需＝，则r＝1，故展开式中含x的项为
T2＝－16x.
11．1
解析 由Tr＋1＝C·x9－r·(－)r＝(－a)rCx9－2r，令9－2r＝3，则r＝3，即(－a)3C＝－84，
解得a＝1.
12．解 由已知条件得：C＋C·＝2C·，
解得n＝8或n＝1(舍去)．
(1)Tr＋1＝C()8－r()r＝C·2－r·x4－r，
令4－r＝1，得r＝4，
∴含x的一次幂的项为T4＋1＝C·2－4·x＝x.
(2)令4－r∈Z(r≤8)，则只有当r＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：
T1＝x4，T5＝x，T9＝.1.5
二项式定理习题课
课时目标1.进一步熟悉二项式定理，求二项展开式某些项或系数.2.会利用二项式系数的特征、性质解题．
1．二项展开式的通项Tr＋1＝____________.
2．二项展开式中的二项式系数和系数通项Tr＋1中，C叫第r＋1项的二项式系数，而系数是指展开式中某个字母的系数．
3．对一些二项展开式系数和的问题，可采用________法．
一、填空题
1．(2x－1)10的展开式的中间项是________．
2．(＋)10的展开式中的有理项有________项．
3．在(x－1)(x＋1)8的展开式中x5的系数是______．
4．在(1＋x)n(n∈N
)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝________.
5．已知(3x＋1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则展开式的二项式系数的和为________，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝______.
6．在(a＋b＋c)6的展开式中，含a3b2c的项的系数是________．
7．(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5的展开式中x2的系数为________．
8．今天是星期一，如果今天算第一天，那么第810天是星期______．
二、解答题
9．设(3x＋x)n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h.若h＋t＝272，求其二项展开式中x2项的系数．
10．已知(3－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，求：
(1)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中绝对值最大的系数；
(2)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中最大的系数．
能力提升
11．求(1＋x＋)10的展开式中的常数项．
12．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N
)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．
1．二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本．
2．赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法．
3．一些最值问题可利用函数思想来解．
习题课
答案
知识梳理
1．Can－rbr
3．赋值
作业设计
1．－8
064x5
解析 展开式共11项，
中间项T6＝C(2x)5(－1)5＝－8
064x5.
2．2
解析 Tr＋1＝C32，
∴r＝0、r＝6时为有理项．
3．14
解析 原式＝x(x＋1)8－(x＋1)8，
∴x5的系数为C－C＝14.
4．10
5．128 16
384
解析 (3x＋1)7展开式中二项式系数的和为27＝128；令x＝1，则47＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝16
384.
6．60
解析 (a＋b＋c)6＝[(a＋b)＋c]6，含c项为C(a＋b)5c＝C(…＋Ca3b2＋…)c，所以含a3b2c的项的系数是CC＝60.
7．20
解析 各个组成项的x2的系数分别为C，C，C，C，则展开式中x2的系数为20.
8．一
解析 810＝(7＋1)10＝C710＋C79＋…＋C7＋C＝7M＋1(M∈Z)，故810除以7余1，所以第810天是星期一．
9．解 由题意，h＝2n，令x＝1，得t＝4n，又h＋t＝272，
所以4n＋2n＝272，解得2n＝16，所以n＝4.
所以Tr＋1＝C(3x)4－r(x)r＝C34－rx＋，则＋＝2，得r＝4，所以二项展开式中x2项的系数为1.
10．解 (1)设k∈N，且k≤8，则有ak＝C·38－k·(－2)k.
显然，|ak|＝C·38－k·2k，由得
解得所以k＝3.
即9个系数中，绝对值最大的系数为|a3|＝C·35·23＝108
864.
(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.
又从通项公式ak＝C·38－k·(－2)k可以看出，a0，a2，a4，a6，a8均大于0；a1，a3，a5，a7均小于0，因而只需比较a2，a4的大小．
因为a2＝C·36·(－2)2＝81
648，
a4＝C·34·(－2)4＝90
720.
所以，9个系数中，最大的系数为a4＝90
720.
11．解 (1＋x＋)10＝[1＋(x＋)]10，通项为Tr＋1＝C(x＋)r
(r＝0,1,2，…，10)，
而(x＋)r展开的通项公式为Tk＋1＝Cxr－k·()k＝Cxr－3k
(k＝0,1,2，…，r)，
当r－3k＝0时，Tr＋1是常数项．
由r＝3k,0≤r≤10,0≤k≤r，且r，k∈N
，
得r＝0,3,6,9，k＝0,1,2,3，
所以由系数为C·C可得常数项为C＋CC＋CC＋CC＝4
351.
12．解 (1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，所以2C＋4C＝36，即m＋2n＝18.
(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.因为m＋2n＝18，所以m＝18－2n，所以t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16(n2－n＋)，所以当n＝时，t取最小值，但n∈N
，所以n＝5时，t最小即含x2项的系数最小，最小值为272，此时n＝5，m＝8.1.5.2 二项式系数的性质及应用
课时目标1.了解二项式系数的性质并能简单应用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．
(a＋b)n展开式的二项式系数C，C，…，C有如下性质：
(1)C＝________；
(2)____________＝C；
(3)当r<________时，C________时，C(4)C＋C＋…＋C＝________.
一、填空题
1．在(1＋x)2n(n∈N
)的展开式中，系数最大的项是第________项．
2．在(x－)10的展开式中，系数最大的项是第______项．
3．若(1－2x)2
009＝a0＋a1x＋…＋a2
009x2
009(x∈R)，则＋＋…＋的值为________．
4．5310被8除的余数是________．
5．已知n∈N
，则1＋3C＋32C＋…＋3nC＝______.
6．满足C＋C＋C＋…＋C＋C>1
000的最小偶数n为________．
7．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是第________项．
8．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝29－n，则n＝________.
二、解答题
9．在(x－y)11的展开式中，求
(1)通项Tr＋1；
(2)二项式系数最大的项；
(3)项的系数绝对值最大的项；
(4)项的系数最大的项；
(5)项的系数最小的项；
(6)二项式系数的和；
(7)各项系数的和．
10．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.
能力提升
11．(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为______．
12．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．
3．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需要根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．
4．一些整除和近似计算问题可以利用二项展开式解决．
1．5.2 二项式系数的性质及应用
答案
知识梳理
(1)C (2)C＋C (3) (4)2n
作业设计
1．n＋1
解析 因为2n为偶数，且x的系数为1，∴系数最大的项即为二项式系数最大的项且为中间一项，即第(n＋1)项．
2．5、7
解析 根据二项展开式中系数的关系，注意到第6项的系数为－C，实际上最小，所以系数最大的项为第5、7项．
3．－1
解析 本题主要考查赋值法在二项展开式中的应用，令x＝0，得a0＝1.令x＝，
得a0＋＋＋…＋＝0，所以＋＋…＋＝－1.
4．1
解析 5310＝(56－3)10＝5610＋C569×(－3)＋C568×(－3)2＋…＋C56×(－3)9＋(－3)10.
∴5310被8除的余数等于310被8除的余数．
又310＝95＝(8＋1)5＝85＋C84＋…＋C×8＋1.
∴所求余数为1.
5．4n
解析 1＋3C＋32C＋…＋3nC＝C＋C31＋C·32＋…＋C3n＝(1＋3)n＝4n.
6．12
解析 n为偶数时，C＋C＋C＋…＋C＝2n－1，
令2n－1>1
000，得n≥11(n∈N
)．
∴最小偶数n为12.
7．6
解析 由题意，第4项与第8项的系数相等，则其二项式系数也相等，
∴C＝C，由组合数的性质，得n＝10.
∴展开式中二项式系数最大的项为第6项，它也是系数最大的项．
8．4
解析 令x＝1，解a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝2n＋1－2；
令x＝0，得a0＝n，
又an＝1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－2－n－1＝29－n，所以2n＋1＝32，所以n＝4.
9．解 (1)Tr＋1＝(－1)rCx11－ryr.
(2)二项式系数最大的项为中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T7＝Cx5y6.
(5)项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(6)二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.
(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.
10．解 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6，
∵T3＝15×(－0.002)2＝0.00
006<0.001.
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，
∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，
即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.
11．0
解析 展开式的通项公式Tr＋1＝C·28－r·(－)r，则含x4的项的系数为1，令x＝1，得展开式所有项系数和为(2－)8＝1，因此展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.
12．解 令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，
得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1
094.
(3)(①＋②)÷2，
得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1
093.
(4)∵(1－2x)7展开式中，a0、a2、a4、a6都大于零，而a1、a3、a5、a7都小于零，
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)，
∴由(2)、(3)即可得其值为2
187.
