2.3.2 事件的独立性
课时目标 理解两个事件相互独立的概念；能进行一些与事件独立有关的概率的计算．
1．事件A、B独立：一般地，若事件A，B满足______________，则称事件A、B独立．
2．事件A、B独立的充要条件是____________．
3．若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝________________.
一、填空题
1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是________．
2．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为，身体关节构造合格的概率为，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是________(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)．
3．甲、乙两人独立答题，甲能解出的概率为p，乙不能解出的概率为q，则两人同时解出此题的概率为______．
4．一袋中装有3个红球和2个白球，另一袋中装有2个红球和1个白球，从每袋中任取一球，则至少取到一个白球的概率是________．
5．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是______．
6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．
7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0＜p＜1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为________．
8．在一条马路上的甲、乙、丙三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是______．
二、解答题
9．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别是100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学得300分的概率；
(2)求这名同学至少得300分的概率．
10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求：
(1)至少有1人面试合格的概率；
(2)没有人签约的概率．
能力提升
11．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
12.
如图，在一段线路中安装5个自动控制开关，在某段时间内各个开关是否能够闭合相互之间没有影响，在某段时间内各个开关能够闭合的概率如下表：
开关
A1
A2
A3
B1
B2
闭合的概率
0.6
0.5
0.8
0.7
0.9
求在这段时间内下列事件发生的概率：
(1)由于B1，B2不闭合而线路不通；
(2)由于A1，A2，A3不闭合而线路不通；
(3)线路正常工作．
1．求相互独立事件同时发生的概率的程序是：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求其积．
2．一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少时，则用公式P(A)＝1－P()计算．
2．3.2 事件的独立性
答案
知识梳理
1．P(A|B)＝P(A)
2．P(AB)＝P(A)P(B)
3．P(A1)P(A2)…P(An)
作业设计
1．0.56
解析 设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，由题意知A、B相互独立，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.
2.
3．p(1－q)
4.
解析 由题易知，全都是红球的概率为×＝，故至少取到一个白球的概率是
1－＝.
5.
解析 ∵P(A)＝，P(B)＝，
∴P()＝，P()＝.
又A、B为相互独立的事件，
∴P(·)＝P()·P()＝×＝.
∴A、B中至少有一件发生的概率为
1－P(·)＝1－＝.
6.
解析 设事件A：“甲解决这道难题”，事件B：“乙解决这道难题”，
∴A，B相互独立．
∴两人都未能解决的概率为
P(
)＝(1－)×(1－)＝.
问题得到解决的概率为
P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P(
)＝1－＝.
7．1－(1－p)n
解析 至少有一位同学通过测试的对立事件为无人通过测试，其概率为(1－p)n.应用对立事件的概率求解知，至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.
8.
解析 记某辆汽车在这条马路上行驶，在甲处不用停车为事件A，在乙处不用停车为事件B，在丙处不用停车为事件C，则由已知得P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，所以所求概率为P(ABC)＝P(A)P(B)·P(C)＝××＝.
9．解 记P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.6.
(1)事件“这名同学得300分”可表示为AC＋BC，所以P(AC＋BC)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)·P()·P(C)＋P()P(B)P(C)＝0.8×(1－0.7)×0.6＋(1－0.8)×0.7×0.6＝0.228.
(2)“这名同学至少得300分”可理解为这名同学得300分或400分，所以该事件可表示为AC＋BC＋ABC，
所以P(AC＋BC＋ABC)＝P(AC＋BC)＋P(ABC)＝0.228＋P(A)P(B)P(C)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.
10．解 用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A、B、C相互独立，
且P(A)＝P(B)＝P(C)＝.
(1)至少有1人面试合格的概率是
1－P(
)＝1－P()P()P()＝1－3＝.
(2)没有人签约的概率为
P(B)＋P(
C)＋P(
)
＝P()P(B)P()＋P()P()P(C)＋P()P()·P()＝3＋3＋3＝.
11.
解析 加工出来的零件的正品率为(1－)×(1－)×(1－)＝，所以次品率为
1－＝.
12．解 (1)记“开关B1闭合”为事件B1，“开关B2闭合”为事件B2，所以所求概率为
1－P(B1B2)＝1－P(B1)·P(B2)＝1－0.7×0.9＝0.37.
(2)设“开关Ai闭合”为事件Ai(i＝1,2,3)，所求概率为
P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝(1－0.6)×(1－0.5)×(1－0.8)＝0.04.
(3)所求概率为P(B1B2)[1－P(123)]＝0.63×(1－0.04)＝0.604
8.2.3 独立性
2．3.1 条件概率
课时目标1.在具体情境下，了解条件概率的概念.2.利用条件概率解一些简单的实际问题．
1．条件概率：一般地，对于两个事件A和B，在________________________下事件A发生的概率，称为______________________________________，记为P(A|B)．
2．公式
P(A|B)＝____________.
一、填空题
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝______.
2．把一枚硬币任意抛掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，事件B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
3．一个袋中装有6个红球和4个白球(这10个球各不相同)，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为________．
4．设A，B是两个事件，且B发生则A必定发生，0
①P(A＋B)＝P(A)；
②P(B|A)＝P(B)；
③P(A|B)＝P(A)；
④P(AB)＝P(B)．
5．某种电子元件用满3
000小时不坏的概率为，用满8
000小时不坏的概率为.现有一只此种电子元件，已经用满3
000小时不坏，还能用满8
000小时的概率是________．
6．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________．
7．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是________．
8．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，第2次也抽到A的概率为________．
二、解答题
9．某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
10．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
能力提升
11．根据历年气象资料统计，某地四月份刮东风的概率是，既刮东风又下雨的概率是.问该地四月份刮东风时下雨的概率是________．
12．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
1．所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率．
2．已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，除按公式外，还可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率．
2．3 独立性
2．3.1 条件概率
答案
知识梳理
1．已知事件B发生的条件 事件B发生的条件下事件A的条件概率
2.
作业设计
1.
解析 P(B|A)＝＝＝.
2.
解析 P(AB)＝，P(A)＝，
∴P(B|A)＝＝.
3.
解析 设第一次摸出红球为事件A，第二次摸出红球为事件B，则P(A)＝，
P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝.
4．①④
5.
解析 记事件A：“用满3
000小时不坏”，P(A)＝；记事件B：“用满8
000小时不坏”，P(B)＝.因为B A，所以P(AB)＝P(B)＝，则P(B|A)＝＝＝×＝.
6.
7.
解析 一个家庭有两个小孩子只有4种可能：{两个都是男孩子}，{第一个是男孩子，第二个是女孩子}，{第一个是女孩子，第二个是男孩子}，{两个都是女孩子}，由题意知，这4个事件是等可能的．设基本事件空间为Ω，事件A表示“其中一个是女孩”，事件B表示“其中一个是男孩”，则Ω为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A为{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B为{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB为{(男，女)，(女，男)}．所以P(B|A)＝＝＝.
8.
9．解 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.
P(A)＝＝＝，P(BA)＝＝，
P(B|A)＝＝.
10．解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30，
根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝12，
于是P(AB)＝＝＝.
(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝＝＝.
方法二 因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝.
11.
解析 记“某地四月份刮东风”为事件A，“某地四月份下雨”为事件B，
则P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.
12．解 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．
则P(B)＝＝，
P()＝1－P(B)＝，
P(A|B)＝＝，
P(A|)＝＝，
从而P(A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝×＋×＝.