2.4 二项分布(二)
课时目标1.会建立二项分布模型，解决一些实际问题.2.会解决二项分布、独立重复试验、互斥事件综合应用的问题．
1．n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为________________．
2．互斥事件：若事件A、B互斥，则P(A＋B)＝________，若A、B不互斥，则P(A＋B)＝____________.
一、填空题
1．某产品的次品率为0.1，进行重复抽样检查，选取4个样品，则其中至少有2个次品的概率是________．
2．将一枚硬币连掷5次，随机变量X表示出现正面的次数．令a＝P(X＝1)，b＝P(X＝4)，则a，b的大小关系是________．
3．设随机事件X～B(2，p)，Y～B(3，p)，若P(X≥1)＝，则P(Y＝2)＝________.
4．有3条自来水管向某生活小区供水，每条管道正常供水的概率为0.8.若只要有1条不出故障就能保证该小区正常供水，则该小区正常供水的概率为______．
5．设有8门大炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹，若有不少于2发炮弹命中目标时，目标被击毁．若每门大炮命中目标的概率是0.6，则目标被击毁的概率约为________．(保留三位有效数字)
6．有一批种子，每粒发芽的概率为0.90，则播下5粒种子，其中恰有3粒没发芽的概率为________．
7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“五局三胜制”，即五局中先胜三局者为赢．若每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则比赛以甲三胜一负而结束的概率为________．
8．对某种药物的疗效进行研究，假定药物对某种疾病的治愈率为P0＝0.8，现有10个患此病的病人同时服用此药，其中至少有6个病人被治愈的概率为______．(保留两位小数)
二、解答题
9．某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查(安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是0.6，整改后安检合格的概率是0.9，求：
(1)恰好有三家煤矿必须整改的概率；
(2)至少关闭一家煤矿的概率．(精确到0.01)
10．经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25人以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
求：(1)每天不超过20人排队结算的概率是多少？
(2)一周7天中若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口．请问该商场是否需要增加结算窗口？
能力提升
11．下面关于X～B(n，p)的叙述：①p表示一次试验中事件发生的概率；②n表示独立重复试验的总次数；③n＝1时，二项分布退化为两点分布；④随机变量X的可能取值的个数是n.其中正确的有________．(填序号)
12．已知某大学就业指导中心的电话接通率为，华源公寓634寝室的4名2011届毕业生商定，在下周一向该指导中心咨询一下档案转交问题，若每人只拨打一次电话且4名毕业生打电话是相互独立的，求她们当中至少有3人咨询成功的概率．
1．建立二项分布的模型后，可直接计算随机变量取值的概率．
2．对某些复杂事件，可以转化为n个互斥事件的和，也可以利用对立事件求概率．
2．4 二项分布(二)
答案
知识梳理
1．P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k
2．P(A)＋P(B) P(A)＋P(B)－P(AB)
作业设计
1．0.052
3
解析 设抽到次品的个数为X，则
P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－(1－0.1)4－4×(1－0.1)3×0.1＝0.052
3.
2．a＝b
3.
解析 因为P(X≥1)＝＝1－P(X<1)＝1－(1－p)2，所以p＝，
故P(Y＝2)＝C×()2×＝.
4．0.992
解析 1－0.23＝0.992.
5．0.991
解析 1－0.48－8×0.6×0.47≈0.991.
6．0.008
1
解析 共有5粒种子，恰有3粒没发芽，即为恰有2粒发芽，
故P＝C×0.92×0.13＝0.008
1.
7.
解析 甲三胜一负即前3次中有2次胜1次负，而第4次胜，所以P＝C()2()·＝.
8．0.97
解析 假定病人服用该药物治愈为事件A，没有治愈为事件.由题意，P(A)＝0.8，P()＝0.2.至少有6人治愈可分为10个人中有6人治愈，10人中有7人治愈，10人中有8人治愈，10人中有9人治愈和10人痊愈5种情况．所以P＝P10(6)＋P10(7)＋P10(8)＋P10(9)＋P10(10)＝C×0.86×0.24＋C×0.87×0.23＋C×0.88×0.22＋C×0.89×0.2＋C×0.810≈0.97.
9．解 (1)每家煤矿需整改的概率是1－0.6＝0.4，且每家煤矿是否整改是独立的．所以恰好有三家煤矿必须整改的概率是p1＝C×0.43×0.63≈0.28.
(2)每家煤矿被关闭的概率是0.4×0.1＝0.04，且每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是p2＝1－(1－0.04)6≈0.22.
10．解 设每天排队结算的人数为X，则
(1)P(X≤20)＝0.1＋0.15＋0.25＋0.25＝0.75，即每天不超过20人排队结算的概率为0.75.
(2)该商场每天出现超过15人的概率为P(X>15)＝0.25＋0.2＋0.05＝0.5，
设7天中出现这一事件的天数为Y，则
P(Y≥3)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)－P(Y＝2)＝1－C×0.57－C×0.57－C×0.57＝，
因为>0.75，所以该商场需要增加结算窗口．
11．①②③
12．解 设X表示咨询成功的人数，则X～B，
则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)
＝C3×＋C4＝.2.4 二项分布(一)
课时目标
理解n次独立重复试验的模型(伯努利试验)及其意义；理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
1．n次独立重复试验：一般地，由n次试验构成，且每次试验相互____________，每次试验的结果__________________，即A与，每次试验中P(A)＝p>0.这样的试验称为n次独立重复试验，也称为__________．
2．二项分布
若随机变量X的分布列为P(X＝
k)＝____________，其中0
一、填空题
1．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝________.
2．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率为1%，现把这种零件每6个装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是________．(用式子表示)
3．将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面朝上的概率等于出现(k＋1)次正面朝上的概率，那么k的值为________．
4．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是，，.现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率为______．
5．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是________．
6．已知每次试验成功的概率为p(07．已知一个射手每次击中目标的概率为p＝，他在4次射击中，命中两次的概率为________，刚好在第二、第三两次击中目标的概率为________．
8．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________．(用数字作答)
二、解答题
9．某射击运动员射击1次，击中目标的概率为.他连续射击5次，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响．
(1)求在这5次射击中，恰好击中目标2次的概率；
(2)求在这5次射击中，至少击中目标2次的概率．
10．某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)．
(1)求至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.
能力提升
11．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为________．
12．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响，求移栽的4株大树中：
(1)至少有1株成活的概率；
(2)两种大树各成活1株的概率．
1．应用n次独立重复试验的概率公式，一定要审清是多少次试验中发生k次事件．
2．利用二项分布来解决实际问题的关键是建立二项分布模型，解决这类问题时要看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布．
2．4 二项分布(一)
答案
知识梳理
1．独立完成 仅有两种对立的状态 伯努利试验
2．Cpkqn－k n，p
作业设计
1.
解析 前两次测得次品，第三次测得正品，所以P(ξ＝3)＝()2×＝.
2.(1－)5
解析 6次独立试验恰好发生一次的概率为C··(1－)5.
3．2
解析 记事件A为“正面朝上”，A发生的次数ξ～B(5，)，
由题设知C×()5＝C×()5，所以k＋k＋1＝5，k＝2.
4.
解析 记“甲投篮1次投进”为事件A1，“乙投篮1次投进”为事件A2，“丙投篮1次投进”为事件A3，“3人都没有投进”为事件A.
则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A)＝P(123)＝P(1)P(2)P(3)＝[1－P(A1)]·[1－P(A2)][1－P(A3)]＝
(1－)(1－)(1－)＝，故3人都没有投进的概率为.
5.
解析 由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，∴P(ξ＝2)＝C()2()3＝.
6．Cpr(1－p)n－r
解析 重复进行试验直至第n次才能得r(1≤r≤n)次成功，则前(n－1)次有(r－1)次成功，并且第n次也成功，所以所求的概率为Cpr(1－p)n－r.
7.
解析 刚好命中两次的概率为
C()2(1－)2＝6××＝；
在第二、第三两次击中目标的概率为
()2·(1－)2＝.
8．0.947
7
解析 由独立重复试验的概率计算公式得
P＝C·0.93·(1－0.9)1＋C·0.94＝0.947
7.
9．解 设在这5次射击中，击中目标的次数为X，
则X～B(5，)，因此，有
(1)“在这5次射击中，恰好击中目标2次”的概率为
P(X＝2)＝C×()2×()3＝.
(2)“在这5次射击中，至少击中目标2次”的概率为
P＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×()5－C××()4＝.
10．解 (1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则
P(A)＝C()3()3＋C()4()2＋C()5·()＋C()6()0＝；
(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3，
事件B：至少4人同时上网，其概率为：
P(B)＝C()4()2＋C()5()＋C()6·()0＝>0.3，
事件C：至少5人同时上网，其概率为：
P(C)＝C()5()＋C()6()0＝<0.3.
所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
11.
解析 设事件A：“一个实习生加工一等品”，
事件B：“另一个实习生加工一等品”，由于A、B相互独立，
则恰有一个一等品的概率P＝P(A·)＋P(·B)
＝P(A)·P()＋P()·P(B)
＝×＋×＝.
12．解 设Ak表示第k株甲种大树成活，k＝1,2.
Bl表示第l株乙种大树成活，l＝1,2，
则A1，A2，B1，B2相互独立且P(A1)＝P(A2)＝，
P(B1)＝P(B2)＝.
(1)至少有1株成活的概率为1－P(···)
＝1－P()·P()·P()·P()
＝1－2×2＝.
(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为
P＝C××·C××
＝×＝＝.