数列的综合应用
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文档简介
数列的综合应用
【教学目标】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学重难点】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来
解决.
4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】
知识要点梳理
知识点一：求数列通项公式的一般求法
1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。
（3）项若正负相间，注意用或表示。
3．累加法：
利用恒等式求通项公式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。
4．累乘法：
利用恒等式求通项公式的方法；形如的递推数列求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：
（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比
数列；
（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得
，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列
的通项。
6．数列通项与的关系法：
如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题
在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.
1.复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.
2.分期付款
采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.
在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.
规律方法指导
求数列通项公式的常用方法总结：
1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。
3．累加法：
已知（可求和），求通项公式常用此法。
4．累乘法：
已知，求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。
6．数列通项与的关系法：
已知、的关系式，利用，将条件转化为仅含或的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
7．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。
类型一：观察法求数列的通项公式
1．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）2，11，101，1001，10001，…；
（3）3，0，3，0，3，…；
解析：
（1）各项正负相间，可用表示；
各项分母是2―1，22―1，23―1，……，
∴数列的一个通项公式为。
（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1，
∴数列的一个通项公式。
（3）因为1，0，1，0，……的通项为，
∴3，0，3，0，……的通项公式为。
总结升华：
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。
（3）项若正负相间，注意用或表示。
举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（1），，，，…。
（2）8，88，888，8888，88888，…
【答案】
（1），，，
∴数列的通项公式为。
（2）将数列改写为
∴.
类型二：累加法求数列的通项公式
2．求分别满足下列条件的数列的通项公式.
（1），；
（2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.
解析：
（1）∵，∴数列是等差数列，且首项为，公差为
∴.
（2）∵，
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
总结升华：
1.
在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.
2．当数列的递推公式是，可以利用累加的方法求数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】数列中，，求通项公式.
【答案】
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
【变式2】数列中，，求通项公式.
【答案】
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
类型三：累乘法求数列的通项公式
3．求分别满足下列条件的数列的通项公式.
（1），；
（2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解.
解析：
（1）∵，∴数列是等比数列，且首项为，公比为
∴.
（2）∵，
当时，，，，…
，
将上面个式子相乘得到：
，
∴（），
当时，符合上式
故.
总结升华：
1．在数列中，若为常数，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关
于的式子，则数列不是等比数列.
2．当数列的递推公式是，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】数列中，，求通项公式.
【答案】
时，，
当时，符合上式
∴
【变式2】已知数列中，，（n∈N+），求通项公式.
【答案】
由得，∴
，
∴，
∴当时，
当时，符合上式
∴
类型四：转化法求通项公式
4．数列中，,，求.
思路点拨：对两边同除以得，得为等差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴
，
∴.
总结升华：对递推公式可变形为（为非零常数）的一类数列，两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通项.
举一反三：
【变式1】数列中，,，求.
【答案】∵，∴，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴，
∴.
【变式2】在数列中，a1=1，，求。
【答案】由得。
∴是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴。
5．已知数列中,
()，求的通项公式.
思路点拨：把整理成，得数列为等比数列。
解析：
方法一：待定系数法
∵()，
∴,
∴,
令，则，
∴是首项为且公比为的等比数列，
∴,
∴
方法二：迭代法
=……
。
方法三：阶差法
①
②，
②-①得:
∴成等比数列且公比为，首项，
∴,
∴当时
.
当时，符合上式
∴
总结升华：
（1）递推公式为（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为线性递推数列。
当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d≠0时它是等差数列；当c≠0，d=0时它是等比数列。
（2）一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,均可用以下
几种方法求通项公式。
①待定系数法：
设得，利用已知得即，从而将数列
转化为求等比数列的通项。
②迭代法
③阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列——等比数列的
问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想
和转化思想。
举一反三：
【变式1】已知数列中，，求
【答案】
，
∴，
令，则
∴是首项为公比为的等比数列
∴，
∴
【变式2】已知数列中，，求
【答案】
令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故.
【变式3】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.
【答案】
∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴。
类型五：与的关系式的综合运用
6．数列满足，，
（1）用表示
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求和的表达式.
思路点拨：由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.
解析：
（1）∵，∴
当时，即
当时
,
，
所以.
（2）证明：∵,∴，显然,
（常数），
所以数列是等比数列，首项为，公比.
（3)
由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为，
∴，即，
∴,
方法一：
方法二：
∵数列的前n项和：
，
即，
∴.
方法三：
∵，∴，
∴.
总结升华：
①与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n≥2时
，将条件转化为仅含或的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，
则应统一，否则，分段表示。
②把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项
公式求出递推数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】如果数列的前n项和为，那么数列的通项公式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
∵，
∴n≥2时，
∴，即
∴是等比数列且a1=6
∴。
【变式2】已知数列中，，是数列的前n项的和，且，求。
【答案】将变形为。
将（n≥2）代入并化简，得。
由已知可求得S1=a1=1。
∴是等差数列，公差为1，首项为1。
∴。
∵，∴，∴。
∴n≥2时，。
而n=1时，a1=1也适合上式。
∴的通项公式。
【变式3】已知数列，，
（1）设，证明是等比数列并求；
（2)
设,证明是等差数列并求.
（3）求数列的通项公式.
【答案】
（1）∵,
当时，，，
当时，
∴
∵，
∴，即(),
∴数列是等比数列，首项为,公比为.
∴.
（2）由(1)知:
,∴.
∴,即，
∴，即,
∴数列为首项,公差为的等差数列.
∴.
（3）由（2）知：，所以
【变式4】在数列中，，若存在常数，使得对任意的正整数，均有成立.
（1）求的值；
（2）求证是等差数列.
【答案】
（1）由已知得，∴，
又∵，∴，得或.
若，则当时，，即，得，
这与已知矛盾，∴，∴
当时，得，
∵，∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
解得，即.
所以，
即.
又因为（常数），
所以数列成等差数列.
求和：
【教学目标】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识分析解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题。
【教学重难点】：
1、掌握常见的求数列通项的一般方法；
2、用数列知识解决带有实际意义的或生活、工作中遇到的数学问题
3、灵活应用等差数列、等比数列的定义，把非等差或等比数列的问题，转化成等差或等比数列问题来
解决.
4、用数列知识对数列应用题进行正确的建模。
【教学过程】
知识要点梳理
知识点一：求数列通项公式的一般求法
1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，归纳找出通项公式。
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。
（3）项若正负相间，注意用或表示。
3．累加法：
利用恒等式求通项公式的方法；形如（为可求和的等差或者等比数列）的递推数列求通项公式常用此法。
4．累乘法：
利用恒等式求通项公式的方法；形如的递推数列求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形，将非等差（等比)数列转化为与等差数列或等比数列有关的数列形式，从而求得通项公式的方法。常用转化途径：
（1）把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，看新数列是否为等差或者等比
数列；
（2）一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定
系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得
，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列
的通项。
6．数列通项与的关系法：
如果已知条件是关于、的关系式，可利用，将条件转化为仅含或的关系式再根据关系式想法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
知识点二：数列应用题
在我们生活中经常遇到利息、分期付款和优化等实际问题.
1.复利的概念：
银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.
2.分期付款
采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：
(1)规定多少时间内付清全部款额；
(2)在规定时间内分几期付款，选择什么还款方式；
(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算.
在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较，优化选择方案.
规律方法指导
求数列通项公式的常用方法总结：
1．公式法：
①若数列是等差数列或等比数列，可利用等差数列或等比数列的通项公式求.
②若已知数列的前n项和公式，则。
2．观察法：
观察数列特征，找出各项共同的构成规律，用不完全归纳法求通项公式。
3．累加法：
已知（可求和），求通项公式常用此法。
4．累乘法：
已知，求通项公式常用此法。
5．转化法：
通过对递推关系式进行适当变形构造，得到一个新数列为等差数列或等比数列。一般地，对递推式为，（为常数，）的数列,均可用待定系数法转化为一个新的等比数列来求通项公式。具体步骤：设得，利用已知得即，从而将数列转化为求等比数列的通项。
6．数列通项与的关系法：
已知、的关系式，利用，将条件转化为仅含或的递推关系式，再根据关系式选用以上方法求通项公式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，则应统一，否则，分段表示。
7．先猜后证法：
根据已知条件求出前几项，猜出通项，再用数学归纳法证明。
类型一：观察法求数列的通项公式
1．写出下面各数列的一个通项公式：
（1）1，，，，，…；
（2）2，11，101，1001，10001，…；
（3）3，0，3，0，3，…；
解析：
（1）各项正负相间，可用表示；
各项分母是2―1，22―1，23―1，……，
∴数列的一个通项公式为。
（2）各项为100+1，101+1，102+1，103+1，
∴数列的一个通项公式。
（3）因为1，0，1，0，……的通项为，
∴3，0，3，0，……的通项公式为。
总结升华：
（1）根据所给数列的前几项求其通项时，常用观察分析法，先找相同的部分，再找出不同部分与序号
n之间的关系。
（2）熟记以下数列的前几项：，，，，，，。
（3）项若正负相间，注意用或表示。
举一反三：
【变式】写出下面各数列的一个通项公式：
（1），，，，…。
（2）8，88，888，8888，88888，…
【答案】
（1），，，
∴数列的通项公式为。
（2）将数列改写为
∴.
类型二：累加法求数列的通项公式
2．求分别满足下列条件的数列的通项公式.
（1），；
（2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等差数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等差数列，但可以利用等差数列的通项公式的推导过程中的方法（叠加法）求解.
解析：
（1）∵，∴数列是等差数列，且首项为，公差为
∴.
（2）∵，
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
总结升华：
1.
在数列中，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列.
2．当数列的递推公式是，可以利用累加的方法求数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】数列中，，求通项公式.
【答案】
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
【变式2】数列中，，求通项公式.
【答案】
当时，
，
，
，
将上面个式子相加得到：
∴（），
当时，符合上式
故.
类型三：累乘法求数列的通项公式
3．求分别满足下列条件的数列的通项公式.
（1），；
（2），.
思路点拨：分析（1）题的结构，可以判断数列是等比数列，因此可以利用通项公式求解，（2）题的结构与（1）题相似，虽然不是等比数列，但可以利用等比数列的通项公式的推导过程中的方法（累乘法）求解.
解析：
（1）∵，∴数列是等比数列，且首项为，公比为
∴.
（2）∵，
当时，，，，…
，
将上面个式子相乘得到：
，
∴（），
当时，符合上式
故.
总结升华：
1．在数列中，若为常数，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关
于的式子，则数列不是等比数列.
2．当数列的递推公式是，可以利用累乘的方法求数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】数列中，，求通项公式.
【答案】
时，，
当时，符合上式
∴
【变式2】已知数列中，，（n∈N+），求通项公式.
【答案】
由得，∴
，
∴，
∴当时，
当时，符合上式
∴
类型四：转化法求通项公式
4．数列中，,，求.
思路点拨：对两边同除以得，得为等差数列。把求数列的通项公式转化为求等差数列的通项公式。
解析：∵，∴两边同除以得，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴
，
∴.
总结升华：对递推公式可变形为（为非零常数）的一类数列，两边同时除以，得，即把数列的每一项都取倒数，构成一个新的数列，而恰是等差数列，其通项易求，先求的通项，再求的通项.
举一反三：
【变式1】数列中，,，求.
【答案】∵，∴，
∴成等差数列，公差为，首项，
∴，
∴.
【变式2】在数列中，a1=1，，求。
【答案】由得。
∴是首项为1，公差为的等差数列，
∴，
∴。
5．已知数列中,
()，求的通项公式.
思路点拨：把整理成，得数列为等比数列。
解析：
方法一：待定系数法
∵()，
∴,
∴,
令，则，
∴是首项为且公比为的等比数列，
∴,
∴
方法二：迭代法
=……
。
方法三：阶差法
①
②，
②-①得:
∴成等比数列且公比为，首项，
∴,
∴当时
.
当时，符合上式
∴
总结升华：
（1）递推公式为（为常数）的数列是一类常见的递推数列，称之为线性递推数列。
当c=1，d=0时它是常数列；当c=1，d≠0时它是等差数列；当c≠0，d=0时它是等比数列。
（2）一般地，对已知数列的项满足，（为常数，）,均可用以下
几种方法求通项公式。
①待定系数法：
设得，利用已知得即，从而将数列
转化为求等比数列的通项。
②迭代法
③阶差法。实质是通过通项换元引入一个辅助数列，将问题转化为一个基本数列——等比数列的
问题，通过对辅助数列求和而得到原数列的通项公式，这一方法充分体现了数学中的换元思想
和转化思想。
举一反三：
【变式1】已知数列中，，求
【答案】
，
∴，
令，则
∴是首项为公比为的等比数列
∴，
∴
【变式2】已知数列中，，求
【答案】
令，则，
∴，即
∴，
∴为等比数列，且首项为，公比，
∴，
故.
【变式3】已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.
【答案】
∵，∴
设，则，即，
∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，
∴，∴.
∴。
类型五：与的关系式的综合运用
6．数列满足，，
（1）用表示
（2）证明：数列是等比数列；
（3）求和的表达式.
思路点拨：由推出和，要证明是等比数列，只需利用定义证明是常数，这需要探求与的关系，再由等比数列的前n项和反过来求或直接利用关系式求.
解析：
（1）∵，∴
当时，即
当时
,
，
所以.
（2）证明：∵,∴，显然,
（常数），
所以数列是等比数列，首项为，公比.
（3)
由（2）知：是以2为公比的等比数列，首项为，
∴，即，
∴,
方法一：
方法二：
∵数列的前n项和：
，
即，
∴.
方法三：
∵，∴，
∴.
总结升华：
①与的关系式的综合运用，如果已知条件是关于、的关系式，可利用n≥2时
，将条件转化为仅含或的关系式。注意分n=1和n≥2两种情况讨论，若能统一，
则应统一，否则，分段表示。
②把数列的递推公式进行适当的变形，使之出现熟悉的等差数列或者是等比数列，从而利用已知的通项
公式求出递推数列的通项公式.
举一反三：
【变式1】如果数列的前n项和为，那么数列的通项公式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
∵，
∴n≥2时，
∴，即
∴是等比数列且a1=6
∴。
【变式2】已知数列中，，是数列的前n项的和，且，求。
【答案】将变形为。
将（n≥2）代入并化简，得。
由已知可求得S1=a1=1。
∴是等差数列，公差为1，首项为1。
∴。
∵，∴，∴。
∴n≥2时，。
而n=1时，a1=1也适合上式。
∴的通项公式。
【变式3】已知数列，，
（1）设，证明是等比数列并求；
（2)
设,证明是等差数列并求.
（3）求数列的通项公式.
【答案】
（1）∵,
当时，，，
当时，
∴
∵，
∴，即(),
∴数列是等比数列，首项为,公比为.
∴.
（2）由(1)知:
,∴.
∴,即，
∴，即,
∴数列为首项,公差为的等差数列.
∴.
（3）由（2）知：，所以
【变式4】在数列中，，若存在常数，使得对任意的正整数，均有成立.
（1）求的值；
（2）求证是等差数列.
【答案】
（1）由已知得，∴，
又∵，∴，得或.
若，则当时，，即，得，
这与已知矛盾，∴，∴
当时，得，
∵，∴，∴.
（2）由（1）知，
∴，
解得，即.
所以，
即.
又因为（常数），
所以数列成等差数列.
求和：