2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)
课时目标1.理解随机变量的方差和标准差的概念.2.会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．
1．离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…，n)，则________________________(其中pi≥0，i＝1,2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)称为离散型随机变量X的方差，记为____________．
2．标准差
随机变量X的方差V(X)的____________称为X的标准差，即σ＝.
3．随机变量的方差和标准差都反映了________________________________________．
一、填空题
1．若抛掷一枚受损硬币，正面向上的概率为，反面向上的概率为，随机变量X＝0，X＝1分别表示反面向上，正面向上，则V(X)＝________.
2．若随机变量X的概率分布如下表所示，则X的标准差为________．
X
1
2
3
P
3.甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，概率分布如下表，则________(填“甲”或“乙”)的射击水平比较稳定．
环数
10
9
8
甲的概率
0.2
0.6
0.2
乙的概率
0.4
0.2
0.4
4.某运动员投篮命中率p＝0.6，则投篮一次命中次数X的均值为________，方差为________．
5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，共取3次，并且每次取出不再放回．若以ξ表示取出次品的个数，ξ的期望值E(ξ)和方差V(ξ)分别为______，________.
6．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数ξ
0
1
2
3
概率P
0.8
0.06
0.04
0.1
质量好的机床为________机床．
7．假设100个产品中有10个次品，设任取5个产品中次品的个数为X，则X的方差为________．
8．一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下颜色，若为红色则停止，若为白色则继续抽取．设停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P(X≤)＝________，E(X)＝________，V(X)＝________.
二、解答题
9．有甲、乙两名学生，经统计，他们解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示，试分析两名学生的答题成绩水平．
甲
分数X甲
80
90
100
概率
0.2
0.6
0.2
乙
分数X乙
80
90
100
概率
0.4
0.2
0.4
10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，求其中含红球个数的标准差．
能力提升
11．已知袋中有编号1,2,3,4,5的5个小球，从中任取3个小球，以X表示取出的3个小球中的最小编号，则V(X)＝________.
12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用V(aX＋b)＝a2V(X)求解．
2．利用方差和标准差可以判断一些数据的稳定性．
2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(一)
答案
知识梳理
1．(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn V(X)或σ2
2．算术平方根
3．随机变量的取值偏离于均值的平均程度
作业设计
1.
解析 E(X)＝1×＋0×＝，
∴V(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＝＋＝＝.
2.
3．甲
解析 E(X甲)＝10×0.2＋9×0.6＋8×0.2＝9，
∴V(X甲)＝(10－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(8－9)2×0.2＝0.4.
又E(X乙)＝10×0.4＋9×0.2＋8×0.4＝9，
∴V(X乙)＝(10－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(8－9)2×0.4＝0.8.
故甲的射击水平比较稳定．
4．0.6 0.24
解析 投篮一次时命中次数X服从两点分布：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
∴V(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
5.
解 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
故ξ的概率分布是
ξ
0
1
2
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝，
V(ξ)＝2×＋2×＋2×＝.
6．A
解析 E(ξA)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E(ξB)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1
＝0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差．
V(ξA)＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04＝0.6064，
V(ξB)＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1＝0.9264.
因为V(ξA)7.
8.
解析 X＝k表示前k个为白球，第k＋1个恰为红球，所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝k)＝(k＝1,2，…，5)，所以X的概率分布表为
X
0
1
2
3
4
5
P
所以P(X≤)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝，
E(X)＝，E(X2)＝，
V(X)＝E(X2)－(E(X))2＝.
9．解 根据题设所给的概率分布表数据，可得两人的均值为
E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90；E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90；
方差为
V(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40；
V(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.
由上面数据可知E(X甲)＝E(X乙)，V(X甲)10．解 设其中含红球个数为X，则X的可能取值为0,1，2，则
P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝.
故X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
X的方差为V(X)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＝，
标准差为σ＝＝＝.
11.
解析 X的可能取值是1,2,3，则X的分布列为
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝，从而V(X)＝1×＋4×＋9×－＝.
12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A，B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2，
则P(A)＝P1＝0.6，P(B)＝P2，
P(A∪B)＝1－P()＝1－(1－P1)·(1－P2)＝P1＋P2－P1P2＝0.92.
∴0.6＋P2－0.6P2＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(ξ＝0)＝P()·P()＝0.4×0.2＝0.08，
P(ξ＝1)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
ξ的概率分布为：
ξ
0
1
2
P
0.08
0.44
0.48
E(ξ)＝0×0.08＋1×0.44＋2×0.48
＝0.44＋0.96＝1.4，
V(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.2.5 随机变量的均值和方差
2．5.1 离散型随机变量的均值
课时目标1.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量的均值(数学期望)的概念和意义.2.能计算简单离散型随机变量的均值(数学期望)，并能解决一些实际问题．
1．离散型随机变量X的均值或数学期望
若离散型随机变量X的概率分布列为P(X＝xi)＝pi，则称________________________为离散型随机变量X的均值(或数学期望)，记为E(X)或μ.
2．特殊分布的数学期望
(1)若随机变量X～0－1分布，则E(X)＝________；
(2)若随机变量X～H(n，M，N)，则E(X)＝；
(3)若随机变量X～B(n，p)，则E(X)＝________.
一、填空题
1．设随机变量ξ的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为________．
2．已知随机变量X的概率分布表是：
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
，E(X)＝7.5，则a＝________.
3．已知随机变量ξ的概率分布表为
ξ
0
1
2
P
则η＝2ξ＋3，则E(η)＝________.
4．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是________．
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则ξ的数学期望为______．
6．随机变量ξ的概率分布由下表给出：
ξ
7
8
9
10
P
0.3
0.35
0.2
0.15
则随机变量ξ的均值是________．
7．某射手射击所得环数ξ的概率分布表如下：
ξ
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________．
8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60
000元，若出海后天气变坏，则将损失80
000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10
000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________(填“出海”或“不出海”)．
二、解答题
9．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和X的数学期望；
(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．
10．袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机地取出4只球．设取到1只红球得2分，取到1只黑球得1分，试求得分X的分布列和均值．
能力提升
11．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1
000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．
12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．
1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．
2．三种特殊分布的数学期望可直接结合公式计算．
2．5 随机变量的均值和方差
2．5.1 离散型随机变量的均值
答案
知识梳理
1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn
2．(1)p (3)np
作业设计
1．2.5
解析 E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×
＝×10＝2.5.
2．7
解析 ∵E(X)＝4×0.3＋0.1×a＋9b＋2＝7.5，
0．3＋0.1＋b＋0.2＝1，
∴a＝7，b＝0.4.
3.
解析 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝，
又∵η＝2ξ＋3，
∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2×＋3＝.
4.
解析 由题意知ξ～B(2，)，∴E(ξ)＝2×＝.
5．1
解析 方法一 ξ可能取的值为0,1,2，P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，所以ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
P
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.
方法二 ξ～H(3,2,6)，E(ξ)＝＝1.
6．8.2
解析 E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.
7．0.4
解析 ∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7×(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.
8．出海
解析 设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为
ξ
60
000
－80
000
P
0.6
0.4
所以获利期望E(ξ)＝36
000－32
000＝4
000>－10
000，所以应出海．
9．解 (1)由概率分布的性质有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2.
∴X的概率分布表为
X
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴E(X)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月内每个月均被投诉1次”．
则由事件的独立性得
P(A1)＝CP(X＝2)P(X＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，
P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09.
∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.
故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.
10．解 直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色分布情况：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分．
故P(X＝5)＝＝；
P(X＝6)＝＝；
P(X＝7)＝＝；
P(X＝8)＝＝.
所以均值E(X)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.
11．200
解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1
000，0.1)，∴E(ξ)＝1
000×0.1＝100，故需补种的期望为
E(X)＝2·E(ξ)＝200.
12．解 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，
(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝4)＝＝，
P(ξ＝9)＝.
故ξ的概率分布表为
ξ
0
1
4
9
P
所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.2.5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)
课时目标1.进一步理解方差的概念，解决一些应用题.2.掌握几种特殊随机变量的方差．
1．特殊随机变量的方差
(1)若随机变量X～0－1分布，则V(X)＝________.
(2)若随机变量X～H(n，M，N)，则V(X)＝.
(3)当X～B(n，p)时，V(X)＝________.
2．若X是任意一个随机变量，且Y＝aX＋b，其中a、b为常数，
则Y也是随机变量，且E(Y)＝________，V(Y)＝________.
一、填空题
1．若X～B(n，p)，E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则P(X＝1)＝________.(用式子表示)
2．某射手每次射击命中目标的概率为，若现在连续射击3次，则击中次数X的方差为________．
3．某射手击中目标的概率为p，则他射击一次击中目标的次数X的期望是________，标准差是________．
4．已知随机变量ξ的方差V(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则V(η)＝________.
5．甲、乙两人同时解一道数学题，每人解出此题的概率均为0.3.设X表示解出此题的人数，则E(X)＝________，V(X)＝________.
6．假定300名同学中有20名女同学，从中抽取了3人进行体检，抽到女同学的个数为X，则V(X)大约为________．
7．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为________．
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
二、解答题
9．同寝室的四位同学分别写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X，求：
(1)随机变量X的概率分布表；
(2)X的数学期望和方差．
10．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时的误差分别为X，Y(单位：s)，其概率分布表如下表，试比较两种品牌手表的质量．
X
－1
0
1
P
0.1
0.8
0.1
Y
－2
－1
0
1
2
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
能力提升
11．已知离散型随机变量X的概率分布如下表：
X
－1
0
1
2
P
a
b
c
若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝______，b＝________.
12．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1
200
1
400
1
600
1
800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1
000
1
400
1
800
2
200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇差异情况，你愿意选择哪家单位？
1．对特殊随机变量的方差，可直接利用公式计算．
2．可以利用期望和方差对一些实际问题作出判断．
2．5.2 离散型随机变量的方差与标准差(二)
答案
知识梳理
1．(1)p(1－p) (3)np(1－p)
2．aE(X)＋b a2Y(X)
作业设计
1．C×0.4×0.65
解析 由已知得
∴n＝6，p＝0.4.
∴P(X＝1)＝C×0.4×0.65.
2.
解析 X～(3，)，∴V(X)＝3××＝.
3．p
4．16
5．0.6 0.42
6．0.123
解析 X～H(3,20,300)，则
V(X)＝≈0.123.
7．10,0.8
解析 因为ξ～B(n，p)，
所以解得
8. 5
解析 V(X)＝100p(1－p)＝100[]2
≤100×2＝25，故标准差≤5，
当且仅当p＝1－p，即p＝时，等号成立．
9．解 (1)随机变量X的可能取值为0,1,2,4，则P(X＝4)＝＝；P(X＝2)＝；
P(X＝1)＝；P(X＝0)＝.
因此X的概率分布表为
X
0
1
2
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1，
V(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＋(4－1)2×＝1.
10．解 E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0(s)；
E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0(s)，
所以E(X)＝E(Y)，所以由期望值难以判断质量的好坏．
又因为V(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2(s2)
V(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2(s2)，
所以V(X)11.
解析 由题意知，解得
12．解 根据月工资的概率分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1
200×0.4＋1
400×0.3＋1
600×0.2＋1
800×0.1＝1
400，V(X1)＝(1
200－1
400)2×0.4＋(1
400－1
400)2×0.3＋(1
600－1
400)2×0.2＋(1
800－1
400)2×0.1＝40
000；E(X2)＝1
000×0.4＋1
400×0.3＋1
800×0.2＋2
200×0.1＝1
400，V(X2)＝(1
000－1
400)2×0.4＋(1
400－1
400)2×0.3＋(1
800－1
400)2×0.2＋(2
200－1
400)2×0.1＝160
000，因为E(X1)＝E(X2)，V(X1)
