1.2 排 列 学案（含答案）
图片预览
内容文字预览
1.2 排 列
课时目标1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数.4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．
1．排列
(1)定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)相同排列：
若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，且元素的____________也相同．
2．排列数
(1)定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
(2)排列数公式：
A＝________________＝；特别地，A＝n·(n－1)·…·3·2·1＝n！(m，n∈N
，且m≤n)，0！＝1.
一、填空题
1．下列问题属于排列问题的是________．(填序号)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人参加某一项活动；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有______种．
3．A、B、C三地之间有直达的火车，则需要准备的车票种数是________．
4．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是________．
5．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是________．
6．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有__________种．
7．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．
8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．
二、解答题
9．用0、1、2、3、4五个数字：
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(4)老师不站中间，女生不站两端．
能力提升
11．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________．
12．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的方程又有多少个？
1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．
2．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
1．2 排 列
答案
知识梳理
1．(1)一定的顺序 (2)元素 排列顺序
2．(1)所有排列的个数 A
(2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
作业设计
1．①④
2．360
解析 选派方案种数为6选4的排列数，即A＝360.
3．6
4．120
5．12
解析 分两步排课：体育有两种排法；其他科目有A种排法，∴共有2×A＝12(种)排课方案．
6．72
解析 先排另外3人，有A种排法，甲、乙插空，有A种排法．
∴不同的排法共有A·A＝6×12＝72(种)．
7．1
800
解析 先排个位、百位、万位数字有A种，另两位有A种排法，∴共有A·A＝1
800(个)．
8．960
解析 排5名志愿者有A种不同排法，由于2位老人相邻但不排在两端，所以在这5名志愿者的4个空档中插入2位老人(捆绑为1个元素)有A·A种排法．所以共有A·A·A＝960(种)不同的排法．
9．解 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2
500(个)．
(2)方法一 先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，故共有A·A＝96(个)．
方法二 先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种方法，其余全排有A种方法，故有2A·A＝8(种)方法．
②不取0，则只能取3，从1或4中任取一个，再取2，然后进行全排列为2A＝12(种)方法，所以共有8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
10．解 (1)2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5人全排列，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1
440(种)．
(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．
(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：
①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A·A·A种站法；
②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法，
所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A＝960＋1
152＝2
112(种)．
11．36
解析 如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×AA＝24(种)；如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，排法有3×AA＝12(种)，故可组成符合要求的五位数的个数为24＋12＝36.
12．解 要确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，分2步完成：
第1步：确定a，只能从1,3,5,7中取一个，有A种取法；
第2步：确定b，c，可从剩下的4个数字中任取2个，有A种取法．
由分步计数原理，知可组成A·A＝48(个)不同的一元二次方程．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)要有实数根必须满足b2－4ac≥0，分2类：
第1类：当c＝0时，a，b可以从1,3,5,7中任取2个数字，有A种取法；
第2类：当c≠0时，由b2－4ac≥0知，b只能取5或7，当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种取法；当b取7时，a，c可取1,3这两个数或1,5这两个数，有2A种取法．因此c≠0时，有A＋2A(种)取法．
由分类计数原理，有实数根的一元二次方程有A＋A＋2A＝18(个)．
课时目标1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数.4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．
1．排列
(1)定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)相同排列：
若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，且元素的____________也相同．
2．排列数
(1)定义：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号________表示．
(2)排列数公式：
A＝________________＝；特别地，A＝n·(n－1)·…·3·2·1＝n！(m，n∈N
，且m≤n)，0！＝1.
一、填空题
1．下列问题属于排列问题的是________．(填序号)
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人参加某一项活动；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．
2．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有______种．
3．A、B、C三地之间有直达的火车，则需要准备的车票种数是________．
4．5名同学排成一排照相，不同排法的种数是________．
5．某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是________．
6．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有__________种．
7．从1～9的9个数字中任取5个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．
8．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．
二、解答题
9．用0、1、2、3、4五个数字：
(1)可组成多少个五位数；
(2)可组成多少个无重复数字的五位数；
(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．
10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？
(1)两名女生必须相邻而站；
(2)4名男生互不相邻；
(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；
(4)老师不站中间，女生不站两端．
能力提升
11．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是________．
12．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实数根的方程又有多少个？
1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．
2．处理元素“相邻”“不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑”，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
1．2 排 列
答案
知识梳理
1．(1)一定的顺序 (2)元素 排列顺序
2．(1)所有排列的个数 A
(2)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
作业设计
1．①④
2．360
解析 选派方案种数为6选4的排列数，即A＝360.
3．6
4．120
5．12
解析 分两步排课：体育有两种排法；其他科目有A种排法，∴共有2×A＝12(种)排课方案．
6．72
解析 先排另外3人，有A种排法，甲、乙插空，有A种排法．
∴不同的排法共有A·A＝6×12＝72(种)．
7．1
800
解析 先排个位、百位、万位数字有A种，另两位有A种排法，∴共有A·A＝1
800(个)．
8．960
解析 排5名志愿者有A种不同排法，由于2位老人相邻但不排在两端，所以在这5名志愿者的4个空档中插入2位老人(捆绑为1个元素)有A·A种排法．所以共有A·A·A＝960(种)不同的排法．
9．解 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2
500(个)．
(2)方法一 先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A种填法，其余四个位置四个数字共有A种，故共有A·A＝96(个)．
方法二 先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A种方法，其余四个数字全排有A种方法，故共有A·A＝96(个)．
(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：
①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位有A种方法，其余全排有A种方法，故有2A·A＝8(种)方法．
②不取0，则只能取3，从1或4中任取一个，再取2，然后进行全排列为2A＝12(种)方法，所以共有8＋12＝20(个)．
(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A，故共有A·A·A＝36(个)．
10．解 (1)2名女生站在一起有站法A种，视为一个元素与其余5人全排列，有A种排法，所以有不同站法A·A＝1
440(种)．
(2)先站老师和女生，有站法A种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法有A种，所以共有不同站法A·A＝144(种)．
(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·＝420(种)．
(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：
①老师站在两端之一，另一端由男生站，有A·A·A种站法；
②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外4个位置之一，有A·A·A种站法，
所以共有不同站法A·A·A＋A·A·A＝960＋1
152＝2
112(种)．
11．36
解析 如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×AA＝24(种)；如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，排法有3×AA＝12(种)，故可组成符合要求的五位数的个数为24＋12＝36.
12．解 要确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，分2步完成：
第1步：确定a，只能从1,3,5,7中取一个，有A种取法；
第2步：确定b，c，可从剩下的4个数字中任取2个，有A种取法．
由分步计数原理，知可组成A·A＝48(个)不同的一元二次方程．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)要有实数根必须满足b2－4ac≥0，分2类：
第1类：当c＝0时，a，b可以从1,3,5,7中任取2个数字，有A种取法；
第2类：当c≠0时，由b2－4ac≥0知，b只能取5或7，当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有A种取法；当b取7时，a，c可取1,3这两个数或1,5这两个数，有2A种取法．因此c≠0时，有A＋2A(种)取法．
由分类计数原理，有实数根的一元二次方程有A＋A＋2A＝18(个)．