2.1 随机变量及其概率分布 学案（含答案）

第2章　概率
2.1　随机变量及其概率分布
课时目标1.理解随机变量的含义.2.会求简单的随机变量的概率分布.3.通过实例，理解随机变量的概率分布的性质．
1．随机变量：一般地，如果________________，可以用一个________来表示，那么这样的________叫做随机变量，通常用大写拉丁字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示．
2．随机变量的概率分布
(1)分布列
一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且____________，i＝1,2，…，n，①
则称①为随机变量X的____________，简称为X的分布列．
(2)概率分布表
将①用下表形式表示出来
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则上表称为随机变量X的概率分布表．
(3)性质
①________(i＝1,2，…，n)
②p1＋p2＋…＋pn＝________.
3．两点分布
如果随机变量X可能取值只有________，这样的概率分布称为0—1分布或两点分布，记作X～0—1分布或X～两点分布．
一、填空题
1．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机地取出3个，用ξ表示取出的球的最大号码，则{ξ＝6}表示的试验结果是______________________________．
2．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．
3．随机变量X的概率分布表如下，则m＝________.
X
1
2
3
4
P
m
4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)，则P(<ξ<)＝________.
5．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝0)＝________.
6．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则{X>4}表示的试验结果是______________________________________________________．
7．同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量ξ＝1表示结果中有正面向上，ξ＝0表示结果中没有正面向上，则ξ的概率分布表为________．
8．已知随机变量η的概率分布如下表：
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.25
0.1
0.15
0.2
则x＝________；P(η>3)＝________；P(1<η≤4)＝________.
二、解答题
9．先后抛掷一个骰子两次，以下的随机变量可能取哪些值？
(1)两次抛掷出的最大点数；
(2)两次掷出的点数之和；
(3)第一次与第二次掷出的点数差．
10．一个袋中有5个编号为1,2,3,4,5的小球，在其中同时取3个，以X表示取出3个球中的最大号码，求X的概率分布表．
能力提升
11．若随机变量X的概率分布表如下，试求出常数c.
X
0
1
P
9c2－c
3－8c
12．将一颗骰子投两次，求两次掷出的最大点数X的概率分布表．
1．在随机试验中，确定了一个对应关系，使每一个试验结果用一个确定的数字表示，这些数字就随着试验结果的变化而变化，就是随机变量．
2．利用随机变量概率分布的性质可以求出随机变量在某个范围内取值的概率．
3．在两点分布中，只有两个对立结果，求出其中的一个概率，便可求出另一个概率．
第2章　概率
2．1　随机变量及其概率分布
答案
知识梳理
1．随机试验的结果　变量　变量
2．(1)P(X＝xi)＝pi　概率分布列　(3)①pi≥0　②1
3．两个
作业设计
1．从6个球中取出3个，其中有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个
解析　{ξ＝6}表示取出的3个球的最大号码是6，也就是说，从6个球中随机取出3个，有一个是6号球，其余的2个是1,2,3,4,5号球中的任意2个．
2．24
解析　后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24(种)．
3.
解析　由分布列性质得＋m＋＋＝1，
解得m＝.
4.
解析　由<ξ<知ξ＝1,2.
P(ξ＝1)＝.P(ξ＝2)＝.
∴P(<ξ<)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.
5.
解析　设ξ的分布列为
ξ
0
1
P
p
2p
即ξ＝0表示试验失败，ξ＝1表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，
所以由p＋2p＝1，得p＝.所以P(ξ＝0)＝.
6．第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
解析　设第一枚骰子掷出的点数为x，第二枚骰子掷出的点数为y，其中x，y＝1,2,3,4,5,6，依题意得X＝x－y，则－5≤X≤5且X∈Z，所以由{X>4}可得{X＝5}，它表示
x＝6，y＝1.即第一枚骰子掷出6点，第二枚骰子掷出1点．
7.
ξ
0
1
P
8.0.1　0.45　0.45
解析　由分布列的性质得0.2＋x＋0.25＋0.1＋0.15＋0.2＝1，解得x＝0.1；P(η>3)＝P(η＝4)＋P(η＝5)＋P(η＝6)＝0.1＋0.15＋0.2＝0.45；P(1<η≤4)＝P(η＝2)＋P(η＝3)＋P(η＝4)＝0.1＋0.25＋0.1＝0.45.
9．解　(1)用随机变量ξ表示抛掷骰子两次掷出的最大点数，则ξ的取值集合为{1,2,3,4,5,6}．
(2)用随机变量ζ表示抛掷两次掷出的点数之和，则ζ的取值集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3)用随机变量X表示第一次与第二次掷出的点数差，则X的取值集合为{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．
10．解　从袋中取出3个小球的可能情况有：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，(1,2,5)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种情况，所以随机变量X的可能取值为3,4,5.由古典概型可知
P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝.
所以X的概率分布表如下：
X
3
4
5
P
11.解　由随机变量分布列的性质可知
解得c＝.
12．解　随机变量X取值为1,2,3,4,5,6.
则P(X＝1)＝＝；
P(X＝2)＝＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝＝；
P(X＝6)＝＝.
所以两次掷出的最大点数X的概率分布表为
X
1
2
3
4
5
6
P