2.2 超几何分布 学案（含答案）
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2.2 超几何分布
课时目标1.通过实例，理解超几何分布，能进行简单应用.2.进一步理解随机变量的概率分布的性质、意义．
超几何分布：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝________________，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝，记为______．
一、填空题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是______．(填序号)
①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数记为X；
②从7男3女共10个学生干部中选出5个优秀学生干部，女生的人数记为X；
③某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X；
④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是第一次摸出黑球的次数．
2．100个乒乓球中，有5个是不合格的，现从中抽取10个，用X表示次品数，则P(X＝2)＝________.(用式子表示)．
3．从每组6人的4个小组中，任意地选取4人去开座谈会，用随机变量η表示选取出来的组长的人数，则恰好有3名组长被选出的概率记作为________．
4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，P(ξ＝4)＝________.(用式子表示)
5．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为______．
6．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则P(ξ≤1)＝________.
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为______．
8．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．
二、解答题
9．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？
10．某医院内科有5名主任医师和15名主治医师，现从中随机地挑选4人组织一个医疗小组．设X是4人中主任医师的人数．
(1)写出X的分布列；
(2)求4人中至少有1名主任医师的概率．(精确到0.001)
能力提升
11．盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的概率分布表．
12．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布表及P(X<2)．
1．在超几何分布中，只要知道N，m和n，就可以根据公式，求出P(X＝r)，从而得到X的分布列．
2．对超几何分布中的字母要理解含义，公式不能死记．
2．2 超几何分布
答案
知识梳理
H(r；n，M，N)
作业设计
1．②
2.
3．H(3；4,4,24)
4.
5.
解析 设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中，N＝50，M＝5，n＝2.于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝.
6.
解析 ∵P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＝.
7．0.8
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝0.8.
8.
解析 能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有×A＝60(种)不同的方法，其概率为P1＝＝；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有×A＝90(种)不同的装法，其概率为P2＝＝，所以所求概率P＝P1＋P2＝.
9．解 设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布H(n,2,50)，根据公式可得至少有一张中奖的概率P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
答 n至少为15.
10．解 (1)由题意可得，随机变量X服从超几何分布H(4,5,20)，所以X的分布列为
P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.
(2)P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－＝1－≈0.718.
答 4人中至少有1名主任医师的概率为0.718.
11．解 设所取的3个球中有Y个旧球，
则Y属于超几何分布，Y可取0,1,2,3，
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝.
又X＝3＋(3－Y)＝6－Y，X可取3,4,5,6，
故P(X＝3)＝P(Y＝3)，P(X＝4)＝P(Y＝2)，
P(X＝5)＝P(Y＝1)，P(X＝6)＝P(Y＝0)．
X的概率分布表为
X
3
4
5
6
P
12．解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，
所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
从而随机变量X的分布表为
X
0
1
2
3
P
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)
＝＋＝.
课时目标1.通过实例，理解超几何分布，能进行简单应用.2.进一步理解随机变量的概率分布的性质、意义．
超几何分布：一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝________________，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝，记为______．
一、填空题
1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是______．(填序号)
①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数记为X；
②从7男3女共10个学生干部中选出5个优秀学生干部，女生的人数记为X；
③某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X；
④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X是第一次摸出黑球的次数．
2．100个乒乓球中，有5个是不合格的，现从中抽取10个，用X表示次品数，则P(X＝2)＝________.(用式子表示)．
3．从每组6人的4个小组中，任意地选取4人去开座谈会，用随机变量η表示选取出来的组长的人数，则恰好有3名组长被选出的概率记作为________．
4．在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示10个村庄中交通不太方便的村庄数，P(ξ＝4)＝________.(用式子表示)
5．一批产品共50件，其中5件次品，45件合格品，从这批产品中任意抽2件，则出现次品的概率为______．
6．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取两个，其中白球的个数记为ξ，则P(ξ≤1)＝________.
7．从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生人数不超过1人的概率为______．
8．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．
二、解答题
9．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？
10．某医院内科有5名主任医师和15名主治医师，现从中随机地挑选4人组织一个医疗小组．设X是4人中主任医师的人数．
(1)写出X的分布列；
(2)求4人中至少有1名主任医师的概率．(精确到0.001)
能力提升
11．盒中装有一打(12个)乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的概率分布表．
12．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布表及P(X<2)．
1．在超几何分布中，只要知道N，m和n，就可以根据公式，求出P(X＝r)，从而得到X的分布列．
2．对超几何分布中的字母要理解含义，公式不能死记．
2．2 超几何分布
答案
知识梳理
H(r；n，M，N)
作业设计
1．②
2.
3．H(3；4,4,24)
4.
5.
解析 设抽到的次品数为X，则X服从超几何分布，其中，N＝50，M＝5，n＝2.于是出现次品的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝＋＝.
6.
解析 ∵P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
∴P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝＝.
7．0.8
解析 设所选女生数为随机变量X，X服从超几何分布，
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝＝0.8.
8.
解析 能获奖有以下两种情况：①5袋食品中三种卡片数分别为1,1,3，此时共有×A＝60(种)不同的方法，其概率为P1＝＝；②5袋食品中三种卡片数分别为2,2,1，共有×A＝90(种)不同的装法，其概率为P2＝＝，所以所求概率P＝P1＋P2＝.
9．解 设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”，则X服从超几何分布H(n,2,50)，根据公式可得至少有一张中奖的概率P(X≥1)＝＋>0.5，解得n≥15.
答 n至少为15.
10．解 (1)由题意可得，随机变量X服从超几何分布H(4,5,20)，所以X的分布列为
P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.
(2)P(X≥1)＝1－P(X<1)＝1－P(X＝0)＝1－＝1－≈0.718.
答 4人中至少有1名主任医师的概率为0.718.
11．解 设所取的3个球中有Y个旧球，
则Y属于超几何分布，Y可取0,1,2,3，
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝.
又X＝3＋(3－Y)＝6－Y，X可取3,4,5,6，
故P(X＝3)＝P(Y＝3)，P(X＝4)＝P(Y＝2)，
P(X＝5)＝P(Y＝1)，P(X＝6)＝P(Y＝0)．
X的概率分布表为
X
3
4
5
6
P
12．解 由题意分析可知，随机变量X服从超几何分布，其中N＝8，M＝3，n＝3，
所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝.
从而随机变量X的分布表为
X
0
1
2
3
P
所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)
＝＋＝.