2.6 正态分布 学案（含答案）

2.6　正态分布
课时目标1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．
1．正态密度曲线
函数P(x)＝________________________的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
2．正态密度曲线图象的性质特征
(1)当x<μ时，曲线______；当x>μ时，曲线______；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为________；
(2)正态曲线关于直线________对称；
(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________；
(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为________．
3．正态分布
若X是一个随机变量，对___________________________________________________
________________________________________________________________________，
我们就称随机变量X服从参数μ和σ2的正态分布，简记为____________．
4．3σ原则
服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________之间的值，简称为3σ原则．
具体地，随机变量X取值
落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%.
落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%.
落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.
5．标准正态分布
在函数P(x)＝e－，x∈R中，μ是随机变量X的________，σ2就是随机变量X的________，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．
我们将正态分布________称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．
一、填空题
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝·e－，则这个正态总体的平均数与标准差分别是________，________.
2．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于________．
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，则P(ξ>4)＝________.
4．已知某地区成年男子的身高X～N(170,72)(单位：cm)，则该地区约有99.7%的男子身高在以170
cm为中心的区间________内．
5．下面给出了关于正态曲线的4种叙述，其中正确的是________．(填序号)
①曲线在x轴上方且与x轴不相交；
②当x>μ时，曲线下降；当x<μ时，曲线上升；
③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；
④曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点．
6.
如图所示是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的______、______、______.
7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，已知ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．
8．工人生产的零件的半径ξ在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)．在正常情况下，取出1
000个这样的零件，半径不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个范围的零件约有________个．
二、解答题
9．如图是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．
10．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90，100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2
000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
能力提升
11．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90分之间的学生占多少？
1．要求正态分布的概率密度函数式，关键是理解正态分布密度曲线的概念及解析式中各字母参数的意义．
2．解正态分布的概率计算问题，一定要灵活把握3σ原则，将所求问题向P(μ－σ<ξ<μ＋σ)，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应概率．同时要充分利用曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这一特殊性质．
2．6　正态分布
答案
知识梳理
1.e－，x∈R
2．(1)上升　下降　渐近线　(2)x＝μ　(3)扁平　尖陡　(4)1
3．任给区间(a，b]，P(a4．(μ－3σ，μ＋3σ)
5．均值　方差　N(0,1)
作业设计
1．10　2
解析　f(x)可以改写成f(x)＝e－，对照可知μ＝10，σ＝2.
2．0.1
解析　∵X～N(0，σ2)，∴μ＝0，又P(－2≤X≤0)＝0.4，∴P(X>2)＝(1－0.4×2)＝0.1.
3.
解析　由正态分布图象可知，μ＝4是该图象的对称轴，
∴P(ξ<4)＝P(ξ>4)＝.
4．(149,191)
5．①②④
6．①　②　③
解析　在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
7．0.8
解析　正态曲线关于x＝1对称，∴ξ在(1,2)内取值的概率也为0.4.
8．3
解析　半径属于(μ－3σ，μ＋3σ)的零件个数约有0.997×1
000＝997，
∴不属于这个范围的零件个数约有3个．
9．解　从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以
μ＝20，
＝，解得σ＝.
于是概率密度函数的解析式是
φμ，σ(x)＝e－，x∈R.
总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.
10．解　∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.683，所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.683.一共有2
000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有
2
000×0.683＝1
366(人)．
11.
解析　由于随机变量X～N(μ，σ2)，其概率密度函数关于x＝μ对称，故P(x≤μ)＝.
12．解　(1)设学生的得分情况为随机变量X，
X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10.
分析成绩在60～80之间的学生所的比为P(70－10所以成绩不及格的学生的比为：×(1－0.683)＝0.158
5，即成绩不及格的学生占15.85%.
(2)成绩在80～90之间的学生的比为
[P(70－2×10＝(0.954－0.683)＝0.135
5.
即成绩在80～90之间的学生占13.55%.