河南省百师联盟2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷(含解析)

2026届高三年级1月联考
数 学 试 题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，，则集合 中的元素个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
3.在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是
A. B.5
C.10 D.
4.下列说法正确的是
A.过圆 上一点 的切线方程为
B.集合 的充要条件是
C.函数 的最小值是4
D.平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线
5.在 中，内角 ，， 所对的边分别是 ，，。若 ，且 ，则 面积的最大值为
A. B.
C. D.
6.函数 的部分图象如图所示， 是正三角形，其中 ， 两点为图象与 轴的交点， 为图象的最高点，且 ，则
A. B.
C. D.
7.已知 ， 是椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆 上的一点，点 在 轴上，满足 。若 ，则椭圆 的离心率为
A. B.
C. D.
8.已知函数 。若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知正项等比数列 的公比为 ，前 项的积为 ，若 ，，则下列说法正确的有
A.
B.
C.
D.当 最小时，
10.已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有
A.存在 使得圆 关于直线 对称
B.圆心到直线 的距离最小值为
C.当 时，直线 与圆 相切
D.存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为
11.已知 为椭圆 的左焦点，直线 与椭圆 交于 ， 两点， 轴，垂足为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，则下列结论正确的有
A.直线 的斜率为
B. 为直角
C. 面积的最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知函数 则 。
13. 在平行六面体 中，，。若 ，，，则 。
14. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，。若双曲线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，直线 轴与双曲线 的右支交于点 ，则 的最小值为 。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知平面内三点 ，，。
（1）若直线 经过点 且与线段 有交点，求直线 的斜率的取值范围；
（2）若直线 经过点 ，且与 ， 轴的正半轴分别交于 ， 两点，求 的最小值及此时 的方程。
16.（15分）如图，在三棱锥 中，，， 两两垂直，，。
（1）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（2）求二面角 的正切值。
17.（15分）已知一动圆的圆心为 ，该动圆与圆 外切，同时与圆 内切。
（1）求该动圆圆心 的轨迹方程；
（2）设圆心 的轨迹为曲线 。点 在曲线 上（异于顶点），，，，直线 交 轴于点 ，若 的面积是 的面积的两倍。求 的值。
18.（17分）已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）当 时，函数 有两个零点 ，，求证：.
19.（17分）我们把形如 的数学对象称作一个 矩阵. 定义矩阵乘法：. 已知矩阵 .
（1）若矩阵 ，计算 和 .
（2）若矩阵 ，其中 ，，， 都是正整数，且满足 和 ，证明：.
（3）现定义：，其中 ， 且 ，利用以上定义.
写出数列 与 间的递推关系式；记 ， 为方程 的两个根，利用数列 和 ，求数列 ， 的通项公式.
2026届高三年级1月联考
数学参考答案及评分意见
1.C 【解析】因为集合，，所以，即集合中的元素个数为。故选。
2.B 【解析】由题意得，解得，即实数的取值范围是，故选。
3.D 【解析】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为。由对称性可知，，，则的周长等于。故选。
4.A 【解析】对于，圆的圆心为点，，切线与直线垂直，当直线和切线的斜率都存在时，，所以切线的斜率，则切线方程为，化简得。当直线的斜率不存在时，，，切线方程为，满足。当直线的斜率为时，，，切线方程为，满足。综上，过圆上一点的切线方程为，故正确。对于，当时，集合；当时，恒成立，所以，解得，所以集合的充要条件是。故错误。对于，令，，则函数即函数，由对勾函数的性质，知函数在上单调递减，所以当时，函数取得最小值，即函数的最小值是，故错误。对于，当定点在定直线上时，点的轨迹是过定点的定直线的垂线，不是抛物线，故错误。故选。
5.C 【解析】，。由及正弦定理，得，化简得，由余弦定理得，，。又，，当且仅当时，等号成立，。，即面积的最大值为。故选。
6.B 【解析】过点作轴于点（图略），则由题意得。因为是正三角形，所以。设函数的最小正周期为，则。因为，所以，所以。因为，所以，，所以，，，所以，，解得，。因为，所以，所以，则，所以。故选。
7.C 【解析】∵点在椭圆上，∴。由题意知，直线平分，∴，∴，∴，。在中，由余弦定理得。∵，∴。化简得，∴椭圆的离心率，故选。
8.A 【解析】函数，，则（当且仅当时，等号成立），所以在上恒成立，所以函数是增函数。因为，所以是奇函数。
因为在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立。令，则在上恒成立。
令，则，且函数等价于。
因为，解得，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以函数的最小值为，即的最小值为，所以，即实数的取值范围是。
故选。
9.BC 【解析】由题意和正项等比数列的性质，得，，解得，故错误。∵，∴，∴，解得，故正确。，故正确。∵，，∴当或时，，当时，。∴当时，，当时，，当时，，∴当最小时，或，故错误。故选。
10.BCD 【解析】由题意得，圆的圆心为，半径。若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即，关于的方程没有实数解，所以不存在使得圆关于直线对称，故错误。圆心到直线的距离，当且仅当时，等号成立，故正确。当时，直线的方程为。
因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故正确。因为，所以当圆上有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为，即，所以，解得，故正确。故选。
11.AD 【解析】由椭圆和直线的对称性，设，点在轴上方，椭圆的右焦点为，如图。设，则，，，故直线的斜率，故正确。设，直线的斜率为，直线的斜率为，则，因为点和点在椭圆上，所以
①，②。① - ②得，又，所以，所以，即，所以直线与不垂直，即不是直角，故错误。联立椭圆的方程与直线的方程，解得，则，，所以的面积，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值是。同理，当时，面积的最大值也是。故错误。如图，连接。椭圆的左、右焦点分别为，，由椭圆的定义得。又因为点，关于坐标原点对称，所以，所以。设，，，，则，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故正确。故选。
12. 【解析】方法一： 当时，，。 当时，，，， 当时，是以为首项，为公比的等比数列，，，。
方法二： 当时，，。
当时，，，。
13. 【解析】，，，，，。，，，，，，代入上式，解得。
，，，即。
14. 【解析】由题意得，，设，（，），则双曲线在点，处的切线方程分别为，。设，则，，所以点
A，B都在直线上.因为点在直线AB上，所以，即，直线l的方程为，即.由题意知，直线l的倾斜角不为0，则直线l的方程可设为，所以，即.联立直线l和双曲线C的方程，化简得.恒成立，由，得，则.设，则，，所以，所以，所以当时，取得最小值，最小值为.
另解：同上，得，.在双曲线C中，，，所以离心率，点P在双曲线C的右准线上.由双曲线的定义及题意，得，，所以，当且仅当M为双曲线C的右顶点时，等号成立.
15.解：（1）因为，，，
所以直线<，AC的斜率分别为，. ……………………………………… 4分
因为直线< 经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足，
即，即直线l 的斜率的取值范围是. …………………………………………………… 6分
（2）由题意，得直线l 的斜率存在，设为，则.
因为直线< 过点，所以直线l 的方程为.
令，解得；令，解得，则，. …………………… 8分
所以
， …………………………………………………… 10分
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12. …………………… 11分
此时直线< 的方程为. ……………………………………………………………… 13分
16.解：方法一：（1）设点O到平面ABC的距离为d.
因为，，，平面BOC，平面BOC，
所以平面BOC.
因为 ，所以 ，， 都是直角三角形， 是三棱锥 的高。
因为 ，，
所以 ，，，
所以 S ABC=12×32×(13)2-3222=3172。 4分
由等体积法，，所以 。
所以直线 OB 与平面 ABC 所成角的正弦值为 dOB=617172=31717。 7分
（2）过点 作 于点 ，连接 （图略）。
由（1）知，OA⊥ 平面 BOC，又因为 BC 平面 BOC，OD 平面 BOC，所以 OA⊥BC，OA⊥OD。 9分
因为 OD∩OA=A，OD 平面 AOD，OA 平面 AOD，所以 BC⊥ 平面 AOD。 10分
因为 AD 平面 AOD，所以 BC⊥AD，所以 ∠ODA 是二面角 O-BC-A 的平面角。 12分
在 中，由等面积法及（1）中数据，得 ，
所以在 Rt AOD 中，tan∠ODA=OAOD=361313=132。 15分
方法二：（1）因为 ，， 两两垂直，所以以点 为坐标原点，，， 所在的直线分别为 ，， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系。 1分
因为 OA=OC=3，OB=2，所以 O(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0,3)。 3分
设平面 的法向量为 ，则
因为 ，，所以
令 z=2，则 x=3，y=2，所以 m=(3,2,2)。 7分
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，。
因为 OB→=(2,0,0)，所以 sinθ=|OB→·m||OB→||m|=62×17=31717。 9分
（2）由（1）知，平面 ABC 的一个法向量为 m=(3,2,2)。 10分
OA→=(0,0,3) 是平面 OBC 的一个法向量。 11分
由题可知，二面角的平面角是锐角，
所以，。 13分
因为，
所以，即二面角的正切值是。 15分
17.解：（1）设动圆的半径为。
由题意，圆与圆的标准方程分别为和，
，半径，，半径。 2分
由题意得，，，
由椭圆的定义，得圆心的轨迹是焦点在轴上，长轴长为，焦距为的椭圆。 4分
在椭圆中，，，，
圆心的轨迹方程为。 6分
（2）由（1）知，曲线即椭圆。
由题意，点，是椭圆的左、右顶点。
由题意知，直线的斜率一定存在，设为，则，且，直线的方程为，
。 7分
设，
由消去，整理得。
由题意得，。 9分
点到直线的距离，，
。 12分
，
，化简得，
解得或。 14分
当时，，则；
当时，，则。
综上，|A1P|的值为952或3132。 15分
18.（1）解：函数，其定义域为，
f'(x)=-2ax3+1x=x2-2ax3。 1分
当a≤0时，f'(x)>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增； 2分
当时，令，解得，当时，，当时，，
∴f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增。 4分
综上所述，当时，在上单调递增；
当a>0时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增。 5分
（2）解：由题意g(x)=f(x)-lnxx=ax2，∴e-ax2lnx-g(x)≥0即e-ax2lnx-ax2≥0。 6分
∵x∈[e,+∞)，∴不等式可化为xlnx≥ax2eax2，即elnxlnx≥ax2eax2。 7分
设，则当时，；当时，；当时，。
，当时，，在上单调递增。
，，，在上恒成立，
即a≤x2lnx在[e,+∞)上恒成立。 9分
设，，则，
在上单调递增，，
∴a≤e2，即实数a的取值范围是(-∞,e2]。 11分
（3）证明：由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增。
函数有两个零点，，不妨设，则。
要证，只要证，，，只要证。
又∵f(x2)=f(x1)，∴只要证f(x1)>f(4-x1)。 13分
设，，
则。
当时，，，，
∴F'(x)<0，∴F(x)单调递减，∴F(x)≥F(2)=0。 15分
，即，
∴x1+x2>4。 17分
19.（1）解：，，
由矩阵乘法的定义，得 ；
B A=(0110) (2111)=(1121) 4分
（2） 证明：，
由矩阵乘法的定义，得 ；
B A=(abcd) (2111)=(2a+ba+b2c+dc+d) 7分
∵A·B=B·A，∴{2a+c=2a+b,2b+d=a+b,a+c=2c+d,b+d=c+d, 化简得 {b=c,a=b+d 8分
∵ad-bc=1，∴(b+d)d-bc=1，即 d2+bd-b2=1 9分
（3） 解：，，
∴ak+1=2ak+bk ①，bk+1=ak+bk ② 10分
① ②，得 。
12分
∵λ12+λ1-1=0，∴1+λ12+λ1=λ1，∴ak+1+λ1bk+1=(2+λ1)(ak+λ1bk) 13分
，
∴a1+λ1b1=2+λ1=3-52，∴ 数列 {ak+λ1bk} 是首项和公比均为 3-52 的等比数列 14分
同理，数列 是首项和公比均为 的等比数列。
∴ak+1-52bk=3-52k，ak+-1+52bk=3+52k 15分
解得 ak=5+5103+52k+5-5103-52k，bk=553+52k-3-52k 17分