三角函数大题专项训练

三角函数大题专项训练
1.（2010湖南文数）16.
（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期。
(II)
求函数的最大值及取最大值时x的集合。
2.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知
(I)求sinC的值；
(Ⅱ)当a=2，
2sinA=sinC时，求b及c的长．
3.中，为边上的一点，，，，求．
4.在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.
5.在中，分别为内角的对边，且
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
6.在△ABC中，a,
b,
c分别为内角A,
B,
C的对边，且
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求的最大值.
7.中，为边上的一点，，，，求。
8.已知函数。
(1)
当m=0时，求在区间上的取值范围；
(2)
当时，，求m的值。
9.的面积是30，内角所对边长分别为，。
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值。
10.设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc
.
(Ⅰ)
求sinA的值；
(Ⅱ)求的值.
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值。
12.设函数。
求的值域；
记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。
13.已知函数（）的最小正周期为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在区间上的最小值.
14.已知函数
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值
15.已知函数。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的最大值和最小值。
16.（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式；
○2由推导两角和的正弦公式.
（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC.
17.在ABC中，。
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若=-，求sin的值。
18.已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；21世纪教育网
（Ⅱ）若，求的值。
19.已知函数．
（Ⅰ）求函数的最大值；
求函数的零点的集合。
20.。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
参考答案
1.
2.
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。
（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π
所以sinC=.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得
c=4
由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得
cosC=±
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
b2±b-12=0
解得
b=或2
所以
b=
b=
c=4
或
c=4
3.
3.由cos∠ADC=＞0，知B＜.
由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而
sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得
，所以=.
4.解
在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos=,
ADC=120°,
ADB=60°
在△ABD中，AD=10,
B=45°,
ADB=60°，
由正弦定理得,
AB=
5.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
又，得
因为，
故
所以是等腰的钝角三角形。
6.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即
由余弦定理得
故
，A=120°
……6分21世纪教育网
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。
7.由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。
8.解：（1）当m=0时，
，由已知，得
从而得：的值域为
（2）
化简得：
当，得：，，
代入上式，m=-2.
9.解：由，得.
又，∴.
（Ⅰ）.
（Ⅱ），
∴.
10.
11.
12.
13.
14.解：（Ⅰ）=
（Ⅱ）
因为,所以，当时取最大值2；当时，去最小值-1。
15.解：（I）
（II）
=
=,
因为，
所以，当时，取最大值6；当时，取最小值
16.解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)
P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2
展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα
sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]
＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c
则S＝bcsinA＝
＝bccosA＝3＞0
∴A∈(0,
),cosA＝3sinA
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝
由题意，cosB＝,得sinB＝
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－
17.（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为，从而B-C=0.
所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C=和（Ⅰ）得A=-2B,故cos2B=-cos（-2B）=-cosA=.
又0<2B<,于是sin2B==.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=，cos4B=.
所以HYPERLINK
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18.（1）解：由，得
所以函数的最小正周期为
因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又21世纪教育网
，所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知
又因为，所以
由，得
从而
所以
19.
20.【解析】如图，由（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
21.[解析]
本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时，-最大。
故所求的是m。