4.7 相似三角形(1) 数学练习题 （无答案）初中数学北师大版九年级上册

相似三角形(三)
模 块 一 “ 斜A” 与“斜8”
知 识 集 锦
★“斜A”模型
如图1,若∠ABC=∠AED, 则有△ABC∽△AED,可 得 ,AB·AD=AE·AC
如图2,若∠ABC=∠ACD, 则有△ABC∽△ACD,可得 · ,AB·AD=AC
如图3,若∠ABC=∠ AED, 则有△ABC∽△AED, 可 得 ,AB·AD=AE·AC
图1 图2 图3
★“斜8”模型
如图，若∠A=∠D, 则有△ACEC△DBE, 可得
,AE·BE=CE·DE
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【例1】
1. 如图，点D 、E分别在△ABC的边AB、AC上，且∠B=∠AED,若 DE=3,AE=4,BC=9, 则AB的长
2. 如图，在△ABC中，点D 是 AB边上的一点，若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,BD 长为
3. 如图，点D 为△ABC外一点，AD与BC 边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4, 要使△BDE ∽△ACE, 且点B,D 的对应点为A,C, 那么线段CE 的长等于 .
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4.如图，已知AB/ICD,AD、BC 相交于点E, 点 F 在 ED 上，且∠CBF=∠D.
(1)求证： FB =FE·FA;
( 2 ) 若BF=3,EF=2, 求△ABE 与△BEF 的面积之比 .
【例2】
1. 如图，△ABC 是等边三角形，点D、E 分别在 BC、AC 上 ， 且BD=CE,BE、AD 相 交 于点F. 连 接DE, 求证：①BD =AD·DF;②AF·AD=AE·AC;③BF·BE=BD·BC.
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2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AF⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F. 求证：
3.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°,BD 是△ABC 的一条角平分线，过点A 作AE⊥BC
交BC于点E, 交BD于点F. 若 , △AFD 的面积为18 √2,则BE=.
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=9 0°,BD 是△ABC 的一条角平分线，E 为 BD 中点，连接
AE, 若 BD=2, 则CD=
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【例3】
1. 如图，四边形ABCD中 ，AC 与 BD 交于点O, 若∠1=∠2,求证：∠3=∠4.
2. 如图，在△ABC 中 ，AB=AC=6,∠A=2∠BDC,BD 交 AC 边于点 E, 且 AE=4, 则 BE·DE=
3. 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90,AC=2√3,CB=6,D 为AC 中 点 ，E 为 BC 上 一 点， 连接AE、BD 交于点F, 若∠AFD=30°, 则CE 的长为
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4. 在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°,∠BAC=∠BED=α, 点D 在线段AC 上.
(
C
) (
A
)
图(1) 图(2) 图(3)
(1)【特例证明】如图(1),当α=30°时， ED⊥AB, 证明： AE⊥AC;
(2)【类比探究】如图(2),当α≠30°,点D 是线段AC 上任一点时，证明：
①△BDF∽△E4F;
②AE⊥AC;
(3)【拓展运用】如图(3),当α=45 °时，,AE=12, 求BC 长 .
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模 块 二 射 影 定 理
知 识 集 锦
★射彩定理
射影定理，又称“欧几里德定理”:在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的 比例中项，每一条直角边，又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
例，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CDLAB 于 D, 由射影定理可知：
①CD =AD·BD;
②AC =AD·AB;BC =BD·BA; 在射影模型中，还有如下一些结论：
①△ACD∽△CBD△ABC
②
③AC·BC=CD·AB
【例4】
1.如图所示，AD 为 Rt△BAC 斜边上的高，下列说法：①BA =BD·D C;②AD =BD ·DC;
③AC =CD·CB;④AB·DC=AD·AC;⑤AB·DC'=AC·BD 正 确 的 _
(
C
)
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2. 如图，AD 为 RI△BAC斜边上的高，已知BD=9,AC=20, 求以下边长的长度：①AB;②AD;③CD;
(
C
)
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,D 是AB 上一点，连接CD, 若∠ACD=2∠B,
则 的值是( )
(
A
)
A. B.
4. 如 图 ，Rt△ABC 中，∠ACB=90°,AB=12, 点E 为 AC 中点.点D 在 AC 右侧，DE⊥AC,
且∠DAE=∠BAC, 射 线 BE 交 AD 于 点F, 若△ DEF 为等腰三角形，则线段 EF 的长
为
B
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【例5】
1. 如图，在△ABC 中 ，AD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点F, 求证：∠AFE- ∠ABC.
2. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相 交 于 点 0 , ∠CAB=∠ACB, 过 点B 作BE⊥AB 交 AC 于点E.
(1)求证： AC⊥BD;
( 2 ) 若AB=5,AC=8, 求OE 的长.
3. 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°,DF⊥AC 于 E, 且与AB的延长线相交 于点F, 与 BC 交于点G, 求证： AD =AB ·AF.
(
C
)
4. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与 BD 相交于点O;CD/IOE, 直线CE 是线段OD 的垂 直平分线， CE 分别交OD,AD 于 点F,G, 连接DE.
(1)判断四边形CDEO 的形状，并说明理由；
(2)证明： CO =CG ·FC;
( 3 ) 当CD=4 时，求四边形CDEO 的面积及线段EG 的长 .