2025-2026学年八年级上册北师大版数学期末测试卷（含答案）

2025-2026学年八年级上册数学期末测试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，）
1．若点的坐标是，点的坐标是，则与满足（ ）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．轴 D．轴
2．下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3.下列计算，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．经过一点一定有一条直线与已知直线平行
B．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
C．三角形的三条高交于一点
D．在三角形的三个外角中至少有两个钝角
5．如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点在y轴负半轴上，且与原点距离为3，则的算术平方根是（ ）
A．1 B． C． D．
7．已知，那么的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　）
A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9
10．如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．使代数式有意义的x的取值范围是 ．
12．如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形，若正方形面积，，则正方形面积 ．
13．将直线向左平移4个单位后所得图象对应的函数表达式为 ．
14．如图，在中，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为 ．

15．如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当为等腰三角形时，t的取值为 ．
解答题（本题共8小题，共72分。）
16．（满分8 分）计算：
(1) (2)
17．（满分8 分）已知，求下列代数式的值
(1)；
(2)．
18．（满分8 分）为了加强安全教育，某校组织七、八年级开展以“急救安全注意事项”为主题知识竞赛．现从该校A、B两班参赛学生中各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A班10名学生的竞赛成绩是：6，7，7，8，9，9，9，9，10，
A、B两班抽取学生竞赛成绩统计表
班级 平均数 中位数 众数
A班 9 b
B班 a 10
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______；
(2)若将平均数、中位数、众数依次按、、的权重计算A、B两班的成绩，请通过计算说明哪个班的成绩高？
19．（满分8 分）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点分别是，，
(1)画出 ABC关于轴对称的，并写出点的坐标．
(2) ABC的面积为__________．
(3)在轴上画一点，使得的值最小（保留作图痕迹，不写过程）．
20．（满分8 分）如图，在 ABC中，延长，在射线的延长线上截取．
任务1：实践与操作：
①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与 ABC全等（不写作法，保留作图痕迹）．
②你作的与 ABC全等的依据是 　　 、、、．
任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分．
①试猜想 　　 ．
②请你求出的度数．
21．（满分8 分）某中学组织师生共人去参观博物院．阅读下列对话：
李老师：“客运公司有座和座两种型号的客车可供租用，且租用辆座客车和辆座客车到河南省博物院，一天的租金共计元．”
小明说：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了辆座和辆座的客车到河南省博物院，一天的租金共计元．”
(1)客运公司座和座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（利用二元一次方程组求解）
(2)若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位；且每辆客车恰好坐满，若使用最省钱的租车方式，则租车费用为 元．
22．（满分10 分）综合与实践
【问题】在圆柱表面，蚂蚁怎么爬行路径最短 （计算过程中的取3）
素材1 如图1，圆柱形纸盒的高为12厘米，底面直径为6厘米，在圆柱下底圆周上的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面圆周上与A点对应的B点处的食物.
（1）若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行的最短路径记为“路线一”，此时最短路程是厘米.将圆柱沿着将侧面展开得到图2，请在图2中画出蚂蚁爬行的最短路径（此路径记为“路线二”），此时最短路程是_______厘米；比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线______（用“一”或“二”填空）
素材2 如图3所示的实践活动器材包括：底面直径为6厘米，高为10厘米的木质圆柱、橡皮筋、细线（借助细线来反映爬行的路线）、直尺，通过调节橡皮筋的位置达到改变圆柱的高度的目的，（1）中两种路线路程的长度如下表所示（单位：厘米）：
圆柱高度 沿路线一路程x 沿路线二路程y 比较x与y的大小
5 11 10.3
4 10 9.85
3 a 9.49 b
（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小关系是_________；
（3）经历上述探究后，请你思考：若圆柱的半径为r，圆柱的高为h.在r不变的情况下，当圆柱半径为r与圆柱的高度h存在怎样的数量关系时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等
23．（满分10 分）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点C使得，且，则称点为m的“等垂点”．例如：在，，三点中，因为，且，所以点C为1的“等垂点”．
(1)①点，，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
②如图1，若点，，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
(2)如图2，若一次函数上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
(3)若在直线上存在无数个5的“等垂点”，且直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，点M在线段上，点在内，，，连接，设，直接写出面积关于a的表达式．
参考答案
一、选择题
1．A
解：点的坐标是，点的坐标是，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
这两个点关于轴对称，
故选：．
2．C
解：、是有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意；
、是无理数，符合题意；
、是有理数，不符合题意；
故选：．
3．C
解： 与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
、 ，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、与不是同类二次根式，无法合并，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
4．D
解：A选项错误.平行公理指出：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在直线上，则无法作平行线，故A不成立.
B选项错误．只有当两条直线平行时，被第三条直线所截的同旁内角才互补.若两直线不平行，同旁内角不满足互补关系，故B缺少前提条件．
C选项错误．三角形的三条高所在的直线交于一点（垂心），但高作为线段，在钝角三角形中三条高线段不会在形内相交，故C表述不严谨，应为三条高所在直线交于一点．
D选项正确．三角形至少有两个内角为锐角，其对应的外角为钝角，因此三个外角中至少有两个钝角，故D为真命题．
故选：D．
5．B
解：由图可得，点A处所表示的数到0的距离为，
∴图中标注在点A处所表示的数为．
故选：B．
6．A
解：∵点在y轴负半轴上，与原点距离为3，
∴，，
∴，
∴，
∴的算术平方根是，
故选：A．
7.A
解：∵
∴
∴
∴
故选：A
8．A
解：∵甲同学的射击成绩为，
∴甲同学的射击成绩平均数为，
∴甲同学的方差为，
∵乙同学的射击成绩为，
∴乙同学的射击成绩平均数为，
∴乙同学的射击成绩方差为，
∴，
∴，
故选．
9．D
解：原式＝
∵乘积项中不含x2和x项，
∴
解得：m＝-3，n＝9．
故选D．
10．D
解：由一次函数的图象可得：，，
∴，
∴函数的图象经过一、二、三象限，如图：
，
故选：D．
二、填空题
11．
根据题意得，
∴．
故答案为：．
12．11
如图，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：11．
13．
解：由题意知，图象平移后的函数表达式为，
故答案为：．
14．24
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：24．
15．5或或
解：在中，，
；
①当时，如图1，；
②当时，如图2，，；
③当时，如图3，，，，
在中，，
所以，
解得：，
综上所述：当为等腰三角形时，或或．
故答案为：5或或．
三、解答题
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）解：∵，
∴．
（2）解：∵，
∴．
18．（1）解：班成绩的中位数，A班成绩的众数，
故答案为：，9；
（2）解：依题意，
A班的成绩为：（分），
B班的成绩为：（分），
，
班的成绩高．
19．（1）解：所作如图所示：
由坐标系可知：；
（2）解：由坐标系可知：；
故答案为5.5；
（3）解：所作点P如图所示．
20．解：任务一：
①如图1中，即为所求；
②依据是：，
故答案为：；
任务2：
①猜想：．
故答案为：90；
②，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
．
21．（1）解：设座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元，
根据题意得：，
解得：，
答：座客车每辆每天的租金为元，座客车每辆每天的租金为元；
（2）解：设租辆座客车，辆座客车，
根据题意得：，
，
，都是非负整数，
，，，
租金为，
当时，（元；
当时，（元；
当时，（元；
有三种方案，其中座客车租8辆时最省钱，为元，
故答案为：．
22．（1）图2中画出蚂蚁爬行的最短路径为：
展开后，半圆长为，
此时最短路程是厘米，
∵
比较可知：蚂蚁爬行的最短路径是路线二，
故答案为：，二；
（2）解：，
∵，
∴表格中b表示的大小关系是，
故答案为：，；
（3）解：根据题意可得h+2r=，
即h2+4hr+4r2=h2+9r2，
∴r= h，
故当r= h时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．
23．（1）解：①∵点，
∴，
∵，
∴，
∴，
则是2的“等垂点”，
故答案为：是．
②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E，
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示：
∵点，，且点是4的“等垂点”，
∴，，，，
同理得：，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：或．
（2）解：设
当时，如图，过作轴于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即或，
∵点在上，
∴或，
解得或(舍)，
∴．
当时，如图，过作轴于点，
同理可得或，
∵点在上，
∴或，
解得(舍)或，
∴．
综上所述：或．
（3）解：∵直线上存在无数个5的“等垂点”，
∴直线与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴直线解析式为，
如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴．