河南省南阳市2025-2026学年上学期期末高三数学试卷(含解析)

2025年秋期高中三年级期终质量评估
数 学 试 题
注意事项：
考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
保持卷面清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知，则“”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知、是两条不同直线，，，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.（必修二P193例3改编）任何一个复数（其中，为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：。已知复数，则的虚部为
A. B.
C. D.
5. 若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为
A. B.
C. D.
6.（选择性必修一P181A组6改编）从2名男生和4名女生中选取3人担任数学、物理、化学学科课代表，每学科安排1人且至少有1名男生，则不同的选取方法有
A.72 B.96 C.108 D.114
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，°，D为BC上一点，且，，则的最大值是
A. 　　　 B. 　　　　
C.6　　　　　 D.
8. 已知双曲线的右焦点为F，O为坐标原点，直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且，，设C的两条渐近线的夹角为θ，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 进入12月份后，受冷暖空气的共同影响，我市气温起伏较大．现记录了12月上旬（1日—10日）我市的日最高气温如下（单位：℃）：13，8，9，11，12，12，18，16，13，15，则下列说法正确的是
A.12上旬我市日最高气温的极差为10℃
B.12上旬我市日最高气温的平均数为12.7℃
C.2日—10日我市日最高气温持续上升
D.12上旬我市日最高气温的60％分位数为13℃
10. 定义域为R的函数f（x）满足：①，②f（x）的图象过点（1，1），则
A. 　　　　　　
B.f（x）为偶函数
C.f（x）的图象关于点中心对称
D.
11.（选择性必修一P145习题2改编）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个石球，两个石球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为α，则下列结论正确的是
A. 两石球半径之和为定值
B. 当平面α与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值
C. 两石球体积之和的最大值是
D. 平面α截正方体所得截面面积的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 设公差不为零的等差数列的前项和为，且，则。
13. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值是。
14. 已知函数，若，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格。这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时。
（1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？
单位：人
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时
每周的锻炼时间不超过5小时
合计
（2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力。现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为。用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率。
参考公式与数据：，其中。
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16.（15分）已知等比数列的前项和为，且，令，由，构成的阶数阵如图所示：
（1）求的值及的通项公式；
（2）求该数阵中所有项的和。
17.（15分）如图，梯形中，为上一点，，，，且，，将沿着翻折至所在位置，使得平面平面，连接，，得到四棱锥，为的中点。
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得？若存在，求直线与平面的夹角的正弦值；若不存在，请说明理由。
18.（17分）（选择性必修一P76第3题改编）在平面直角坐标系中，点到点的距离比到轴的距离大，记动点的轨迹为曲线。
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线上位于轴两侧的任意两点为，，过点，分别作曲线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求面积的最小值。
19.（17分）已知函数（，），当时，恒成立。
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数，当实数取最小值时，求使得关于的不等式恒成立的最大整数；
（3）已知，证明：。
2025年秋期高中三年级期终质量评估数学试题
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C C D B B D
1.【解析】由得，，即；由，解得或，则，所以，所以.故选：C.
2.【解析】当时，，即充分性成立，当时，，即必要性不成立. 故选：A.
3.【解析】选项A：若，，则，或者，故A选项错误；
选项B：若，，则不一定正确，因为与可能相交，故选项B错误；
选项C：若，，由线面垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知，故C选项正确；
选项D：若，，则不一定正确，因为与可能相交，也可能与异面，选项D不正确.故选：C.
4.【解析】由题意可得，故
，虚部为.故选：C.
5.【解析】由，得，因此函数图象的对称中心为，而，则，，所以的最小值为.故选：D
6.【解析】从6人中选3人，安排担任数学、物理、化学学科课代表，有种选法，其中全部为女生的安排方法有种，则有种安排方法. 故选：B
7.【解析】由，则，
，即，
整理得，，又，
，即，，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.故选：B.
8. 【解析】由题可知，
又渐近线方程为，所以在中，，
，，，易得，
又，即
解得，，又因为点在
渐近线上，所以，解得，又，即，
方法一：即，由可得，
故，故选：D.
方法二：易知直线的方向向量为，直线的方向向量为，可得
，，故，于是，故选：D.
二、选择题
题号 9 10 11
答案 ABD AC ACD
9.【解析】对于选项，12月上旬我市日最高气温的极差为，故正确；
对于，12月上旬我市日最高气温的平均数为，故正确；
对于，7日到8日气温是下降的，所以2日日我市日最高气温不是持续上升，故错误；
对于，气温由低到高排列为8，9，11，12，12，13，13，15，16，18
因为，所以12月上旬我市日最高气温的60%分位数为，故正确.
故选：.
10.【解析】因为，对于，令，，则，又因为的图象过点，所以，所以，解得，故正确；
对于，令，则，由可知，所以，所以，故为奇函数，故错误；
对于，令，则，即的图象关于点中心对称，故正确；
对于，由于且，则有，即，所以，故错误.
故选：.
11.【解析】对于，设两个球的半径分别为和，不妨设，则（当时，球与正方体相内切），根据题意有，
解得，故正确；
对于，当平面与正方体各面都有公共点时，截面为六边形，如
图阴影部分，，同理
可得，故六边形周长为定值，故错误；
对于，由于，从而可得，设两个球体积之和为，
于是，
则，（其中），
所以在上单调递增，所以，时，两球体积之和最大，此时
.故C正确；
对于D，如图，点、、、、、分别为棱、、、、、的中点，则正六边形为平面过正方体中心时截正方体所成图形，由正方体性质可知，此时截面面积最大，其中，所以正
六边形的面积为，当两石
球半径变化时，平面由此位置向（或）趋近时，截面面积变小，
当且仅当，时，截面面积最小，不妨设此时平面截正方体所得正三角形边长为，
则有，解得，故正三角形的面积为
，即平面截正方体所得截面面积的取值范围是，所以D正确.
故选：.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.14 13.9 14.
12.【解析】由题知，，解得.
另解：因为，所以，由等差数列性质知，得.
13.【解析】显然为椭圆的左焦点，令其右焦点为，
圆的圆心，半径，由椭圆的定义得，
则，
当且仅当点在线段上时取等号，而，
当且仅当在线段上时取等号，所以当是线段延长线
与椭圆的交点、是线段反向延长线与圆的交点时，取得最大值。
14.【解析】当时，，，，，
在处的切线方程为，即，令可得，
；当时，，，所以，，
所以在处的切线方程为：，即，令可得
，，两条切线互相垂直，，
，，令，，设，因为
在上单调递增，，即，所以。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.【解析】
（1）根据题意可得补全后的列联表：
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
（2分）
零假设：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，（3分）
则，（6分）
所以根据小概率值的独立性检验，可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过
5小时有关.（7分）
（2）由（1）的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人. 从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生，记为甲；
设事件=“甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件=“甲每周的锻炼时间超过5小时”，=“甲每周的锻炼时间不超过5小时”， （9分）
用列联表中的数据计算频率并替代概率后得，，（10分）
又，，（11分）
所以.（13分）
16. 【解析】
（1）由题，
当时，则；
当时，则，（3分）
可知，且；（5分）
因为数列为等比数列，则，解得，（6分）
此时满足，
所以数列的通项公式为.（8分）
（2）由（1）易知，（10分）
由数阵可知
，（12分）
因为，，（14分）
所以.（15分）
17. 【解析】
（1）证明：在梯形中，，所以四边形是平行四边形，
所以，（1分）
取的中点，连接，，因为是的中点，
所以，，（2分）
又，且为的中点，所以，，
即四边形是平行四边形，
所以，（3分）
又平面，平面，所以平面．（4分）
（2）翻折前，，
翻折后，因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面， （6分）
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，， （8分）
所以，，，，
设，，则，
因为，所以，解得，（10分）
所以，（11分）
所以，（12分）
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则，，（14分）
故直线与平面的夹角的正弦值为．（15分）
18.【解析】
（1）设，由题意可知，，（2分）
当时，，两边平方，化简整理得；（3分）
当时，，两边平方，化简整理得。（5分）
故轨迹的方程为：；或。（6分）
（2）由题及（1）知此时曲线应为，设，，因为，在轴的两侧，所以
直线的斜率一定存在，设，，直线的方程为，
联立，消去并整理得，此时，
由韦达定理得，，解得，，（8分）
设切线，的斜率分别为，，因为，所以，此时，
，所以的方程为，即，
同理得的方程为，（10分）
联立，解得，，即，
令，可得，，
所以
，（12分）
又点到直线的距离为，
则的面积
（当时，等号成立），（14分）
令，设，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以．（16分）
故面积的最小值为．（17分）
19.【解析】
（1）由题设在时恒成立，
等价于在上恒成立，（1分）
令，，则，
令，且，
当，即时，，即，
此时在上单调递增，则，满足题意；（2分）
当，即时，，对称轴，
所以存在，使，在时，，即，
所以在上单调递减，此时，不满足题意；（4分）
综上，的取值范围为．（5分）
（2）由（1）知，所以，则，（6分）
令，易知在上单调递增，
由，知，存在使，即，（7分）
所以时，，，所以在上单调递减，
时，，，所以在上单调递增，
则在处取得极小值，，
又，即，（8分）
故，
由函数在上单调递增，
故在上单调递减，
所以，
又恒成立，即，故，（9分）
所以整数的最大值为.（10分）
（3）当时，右边，左边，左边右边，原不等式成立，（11分）
下面考虑时的情况，
由（1）知当时，，即在上恒成立，
即，（12分）
令，且，（14分）
则，
所以，
则，故，
所以，（16分）
综上，当时，成立.（17分）