湘教版数学八年级下册 1.2.2 平行四边形的判定 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·苏州期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·巴中期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角线相等
D．等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合
3．（2024八下·南岸期中）如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·方城期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
5．（2024八下·罗定期末）在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·临夏期中）如图，在和中，，，若，则 ．
7．（2025八下·贵州期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ．
8．（2024八下·桂阳期中）如图，四边形中，，，则 ．
9．（2023八下·金安期末）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形．
10．（2025八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
11．（2025八下·湘乡市期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
二、能力提升
12．（2024八下·东昌府期中）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
13． 如图， 两张对边平行的纸条交叉叠放在一起， 重合部分构成一个四边形 ， 在其中一张纸条的转动过程中， 下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形 周长不变 B．
C．四边形 面积不变 D．
14．（2024八下·南皮期末）李大伯给客户加工一个平行四边形的零件ABCD，他要检查这个零件是否合格，用下列方法不能检查的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
15．（2024八下·麒麟期中） 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
16．（2024八下·江岸期中） 如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
18．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
19．（2024八下·郫都期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 ．
20．（2024八下·上虞期末）如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为 ．
21．（2025八上·攸县期中）如图，在平行四边形的边上分别取一个点E，F，使得，连接．求证：四边形是平行四边形．
22．（2025八下·杭州期中）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的周长．
三、拓展创新
23．（2025八下·永定期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，没有边相等不能判断两个三角形全等，
∴此选项不符合题意；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
∴此选项不符合题意；
C、平行四边形对角线不一定相等，
∴此选项不符合题意；
D、等腰三角形“三线合一”性质：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据全等三角形的判定可判断求解；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形；
C、平行四边形对角线不一定相等，如菱形；
D、根据等腰三角形的三线合一可判断求解．
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A：∠1=∠2可得出AD∥BC，结合已知不能得出 四边形为平行四边形， 所以A不符合题意；
B：连接BD，在三角形ABD和三角形CDB中，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，也不能得出 四边形为平行四边形，所以B不符合题意；
C：AB∥CD，结合已知，可得出一组对边平行且相等，能判定得四边形为平行四边形，所以C符合题意；
D：根据条件无法判断得四边形为平行四边形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据题中所给条件，结合各个选项的条件，分别分析能不能判断四边形为平行四边形，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：B．
【分析】由作图可得，，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、∵，∴四边形为平行四边形；A不符合题意；
、∵，∴四边形为平行四边形；B不符合题意；
、由，，判定四边形为平行四边形，C符合题意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；D不符合题意；
故答案为：．
【分析】平行四边形的判定①一组对边平行且相等；②两且对边分别平行或相等；③对角线分别平分，利用性质对各个选项进行判断即可．
6．【答案】10
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】
∴AB∥CD
又∵AB=CD
∴ABCD是平行四边形
∴BD=AC=10
故答案为：10．
【分析】
本题考查平行四边形的判断与性质。根据一组对边平行且相等的四边是是平行四边形，可知ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等得到BD=AC=10
7．【答案】3个
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：3个．
【分析】分别以较长直角边为对角线、较短直角边为对角线及以斜边为对角线，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼图即可得出答案.
8．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则两邻角互补．
9．【答案】（答案不唯一）．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
10．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵E，F分别是，的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】因为四边形是平行四边形，所以，再由E，F分别是，的中点，可得，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，进而证得．
11．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而可证明，进而根据全等三角形对应角相等的性质即可得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，，结合，可得，最后根据平行四边形的判定即可得证结论．
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
12．【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、，，
又，四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
、，AB//CD，不能判断四边形是平行四边形，等腰梯形也满足这两个条件，故选项B符合题意；
、，，
又，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
、，，
，，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意．
故答案为：．
【分析】利用平行线的判定定理可得AD//BC，继而可判断选项ACD；举出反例，可判断选项B，即可解答.
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在其中一张纸条的转动过程中，总有AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
转动过程中平行四边形的边长会发生改变，故选项A不一定成立，不符合题意；
转动过程中可能有AD=CD，但不是总成立，故选项B不一定成立，不符合题意；
当以AB为底，AB，CD之间的距离作为高时，转动过程，AB的长会发生改变，故面积会发生改变，选项C不一定成立，不符合题意
故答案为：D.
【分析】判断四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质旋转产生的变化判断各选项即可.
14．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
C、利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
D、利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理即证.
15．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：由题意得：AP=t，CQ=2.5t，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=6cm，AD=BC=10cm，PD∥BQ
要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ
当0＜t≤4，PD=10-t，BQ=10-2.5t
即10-t=10-2.5t
解得：t=0（不符合题意，舍去）
当4＜t≤8时，PD=10-t，BQ=2.5t-10
即10-t=2.5t-10
解得：t=；
当8＜t≤10时，PD=10-t，CQ=2.5t-10，BQ=30-2.5t
由PD=BQ得：10-t=30-2.5t
解得：t=(不符合题意，舍去)
综上：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，t=
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和解一元一次方程，熟知分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题关键.由四边形ABCD是平行四边形可知：PD∥BQ，再由平行四边形判定可知：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ，根据点P与点Q的运动情况可分：0＜t≤4，4＜t≤8，8＜t≤10三种情况计算t的值，即可得出答案.
16．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵KQ∥AC，
∴∠BKQ=∠C=∠B，
∴KQ=BQ，
∵KH∥AB，KQ∥AC，
∴四边形AQKH是平行四边形，
∴KH=AQ，
∴KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC.
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠BKQ=∠B，再根据“在同一个三角形中，等角对等边”可得KQ=BQ，然后证明四边形AQKH是平行四边形得KH=AQ，进而根据线段的和差、等量代换就可得KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC．
17．【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
18．【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
19．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，在中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB，用勾股定理求得BG的值，根据线段的和差求得FG的值，在Rt△BFG中，根据勾股定理可求得的长度，在△BD发中，根据三角形任意两边之和大于第三边可求解．
20．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解，延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案为：
【分析】延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，证明四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质可得BC的长为6，再由勾股定理得，即可利用三角形面积公式求△ABC的面积．
21．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由已知条件推出且，最后根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形．
22．【答案】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质结合平行四边形的性质可证明，则，再由即可证明；
（2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
23．【答案】（1）；；或
（2）解：，∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
【分析】
（1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案；
（2）由，若点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，只需，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明，故以Q点位置分为两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可．
（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
（2）解：，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.2.2 平行四边形的判定 第一课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·苏州期中）根据下列四边形中所标的数据，一定能判定为平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、，四边形不是平行四边形，不符合题意；
B、只有一组对边平行不能确定四边形是平行四边形，不符合题意；
C、一组对边平行且相等，是平行四边形，符合题意；
D、不能判断出任何一组对边是平行的，所以四边形不一定是平行四边形，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八下·巴中期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．平行四边形对角线相等
D．等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，没有边相等不能判断两个三角形全等，
∴此选项不符合题意；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
∴此选项不符合题意；
C、平行四边形对角线不一定相等，
∴此选项不符合题意；
D、等腰三角形“三线合一”性质：等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据全等三角形的判定可判断求解；
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形；
C、平行四边形对角线不一定相等，如菱形；
D、根据等腰三角形的三线合一可判断求解．
3．（2024八下·南岸期中）如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A：∠1=∠2可得出AD∥BC，结合已知不能得出 四边形为平行四边形， 所以A不符合题意；
B：连接BD，在三角形ABD和三角形CDB中，满足两边和其中一边的对角对应相等，不能判定两三角形全等，也不能得出 四边形为平行四边形，所以B不符合题意；
C：AB∥CD，结合已知，可得出一组对边平行且相等，能判定得四边形为平行四边形，所以C符合题意；
D：根据条件无法判断得四边形为平行四边形，所以D不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据题中所给条件，结合各个选项的条件，分别分析能不能判断四边形为平行四边形，即可得出答案。
4．（2023八下·方城期末）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接，则四边形是平行四边形．其依据是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由作图可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∴依据为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故选：B．
【分析】由作图可得，，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可．
5．（2024八下·罗定期末）在中，点，分别是，上的点，且，点是延长线上一点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、∵，∴四边形为平行四边形；A不符合题意；
、∵，∴四边形为平行四边形；B不符合题意；
、由，，判定四边形为平行四边形，C符合题意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；D不符合题意；
故答案为：．
【分析】平行四边形的判定①一组对边平行且相等；②两且对边分别平行或相等；③对角线分别平分，利用性质对各个选项进行判断即可．
6．（2025八上·临夏期中）如图，在和中，，，若，则 ．
【答案】10
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】
∴AB∥CD
又∵AB=CD
∴ABCD是平行四边形
∴BD=AC=10
故答案为：10．
【分析】
本题考查平行四边形的判断与性质。根据一组对边平行且相等的四边是是平行四边形，可知ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等得到BD=AC=10
7．（2025八下·贵州期中）用两块全等的含角的直角三角板拼成形状不同的四边形，其中平行四边形的个数是 ．
【答案】3个
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
故答案为：3个．
【分析】分别以较长直角边为对角线、较短直角边为对角线及以斜边为对角线，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行拼图即可得出答案.
8．（2024八下·桂阳期中）如图，四边形中，，，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则两邻角互补．
9．（2023八下·金安期末）如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形．
【答案】（答案不唯一）．
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：添加条件为：，理由如下：
∵，，
∴四边形为平行四边形，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据平行四边形判定定理即可求出答案.
10．（2025八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵E，F分别是，的中点，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】因为四边形是平行四边形，所以，再由E，F分别是，的中点，可得，从而由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形是平行四边形，进而证得．
11．（2025八下·湘乡市期中）如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，从而可证明，进而根据全等三角形对应角相等的性质即可得证结论；
（2）根据平行四边形的性质得，，结合，可得，最后根据平行四边形的判定即可得证结论．
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
二、能力提升
12．（2024八下·东昌府期中）如图，是四边形的边延长线上的一点，且，则下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：、，，
又，四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
、，AB//CD，不能判断四边形是平行四边形，等腰梯形也满足这两个条件，故选项B符合题意；
、，，
又，四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
、，，
，，，四边形是平行四边形，故选项D不符合题意．
故答案为：．
【分析】利用平行线的判定定理可得AD//BC，继而可判断选项ACD；举出反例，可判断选项B，即可解答.
13． 如图， 两张对边平行的纸条交叉叠放在一起， 重合部分构成一个四边形 ， 在其中一张纸条的转动过程中， 下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形 周长不变 B．
C．四边形 面积不变 D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：在其中一张纸条的转动过程中，总有AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD.
转动过程中平行四边形的边长会发生改变，故选项A不一定成立，不符合题意；
转动过程中可能有AD=CD，但不是总成立，故选项B不一定成立，不符合题意；
当以AB为底，AB，CD之间的距离作为高时，转动过程，AB的长会发生改变，故面积会发生改变，选项C不一定成立，不符合题意
故答案为：D.
【分析】判断四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质旋转产生的变化判断各选项即可.
14．（2024八下·南皮期末）李大伯给客户加工一个平行四边形的零件ABCD，他要检查这个零件是否合格，用下列方法不能检查的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
C、利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
D、利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理即证.
15．（2024八下·麒麟期中） 如图，在平行四边形中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
解：由题意得：AP=t，CQ=2.5t，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD=6cm，AD=BC=10cm，PD∥BQ
要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ
当0＜t≤4，PD=10-t，BQ=10-2.5t
即10-t=10-2.5t
解得：t=0（不符合题意，舍去）
当4＜t≤8时，PD=10-t，BQ=2.5t-10
即10-t=2.5t-10
解得：t=；
当8＜t≤10时，PD=10-t，CQ=2.5t-10，BQ=30-2.5t
由PD=BQ得：10-t=30-2.5t
解得：t=(不符合题意，舍去)
综上：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，t=
故答案为：B
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质和解一元一次方程，熟知分三种情况列出关于t的一元一次方程是解题关键.由四边形ABCD是平行四边形可知：PD∥BQ，再由平行四边形判定可知：要使四边形P、D、Q、B是平行四边形，只能PD=BQ，根据点P与点Q的运动情况可分：0＜t≤4，4＜t≤8，8＜t≤10三种情况计算t的值，即可得出答案.
16．（2024八下·江岸期中） 如图，等腰中，，点是底边上的一动点（不与点重合），过点分别作的平行线，交于点，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵KQ∥AC，
∴∠BKQ=∠C=∠B，
∴KQ=BQ，
∵KH∥AB，KQ∥AC，
∴四边形AQKH是平行四边形，
∴KH=AQ，
∴KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC.
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质及平行线的性质证明∠BKQ=∠B，再根据“在同一个三角形中，等角对等边”可得KQ=BQ，然后证明四边形AQKH是平行四边形得KH=AQ，进而根据线段的和差、等量代换就可得KH+KQ=AQ+BQ=AB=AC．
17．（2022八下·上林期末）在四边形ABCD中，，，若，则 .
【答案】140°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∵∠A=40°，
∴∠B=140°.
故答案为：140°.
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，根据平行线的性质可得∠A+∠B=180°，然后结合∠A的度数就可求出∠B的度数.
18．如图，在□ABCD中，过对角线 BD上一点 P 作EF∥AB，GH∥AD，与各边的交点分别为E，F，G，H.若 ABCD的面积为 40，四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，则四边形 AGPE 的面积为 .
【答案】7
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为40，
∴S△ABD=S平行四边形ABCD=×40=20，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥AB，GH∥AD，
∴EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，
∴四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，
∵四边形BGPF的面积为 5，四边形 PEDH 的面积为21，
∴S△BGD=S平行四边形BGPF=，S△PED=S平行四边形PEDH=，
∴S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED=20--=7.
故答案为：7.
【分析】利用平行四边形ABCD的面积，可求出△ABD的面积；再利用平行四边形的性质和EF∥AB，GH∥AD，可证得EF∥AB∥CD，AD∥GH∥BC，由此可推出四边形BGPF、四边形 PEDH，四边形AGPE是平行四边形，即可求出△BGD，△PED的面积；然后根据S平行四边形AGPE=S△ABD-S△BGD-S△PED，代入计算求出四边形AGPE的面积.
19．（2024八下·郫都期末）如图，与相交于点，若，，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】如图，沿方向平移得，连接，，作于点，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，在中，由30度角所对的直角边等于斜边的一半可得AG=AB，用勾股定理求得BG的值，根据线段的和差求得FG的值，在Rt△BFG中，根据勾股定理可求得的长度，在△BD发中，根据三角形任意两边之和大于第三边可求解．
20．（2024八下·上虞期末）如图，O是等边内任意一点，，点D，E，F分别在上．若，则等边的面积为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解，延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵OF//AB，OE//AC，
∴OD//BG，OG//DE，∠FGC=∠B=60°=∠C=∠OEG，
∴四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，
∴BG=OD=3，GE=OE=OG=2，
∴GC=GF=GO+OF=2+1=3，
∴BC=BG+GC=6.
∴
∴，
∴，
故答案为：
【分析】延长FO，交BC于点G，过点A作AH⊥BC于点H，证明四边形BGOD是平行四边形，△FGC和△OGE都是等边三角形，利用等边三角形和平行四边形的性质可得BC的长为6，再由勾股定理得，即可利用三角形面积公式求△ABC的面积．
21．（2025八上·攸县期中）如图，在平行四边形的边上分别取一个点E，F，使得，连接．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质得到，再由已知条件推出且，最后根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形．
22．（2025八下·杭州期中）如图，点、是平行四边形对角线上两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的周长．
【答案】（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质结合平行四边形的性质可证明，则，再由即可证明；
（2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可．
（1）证明：平行四边形中，，，
，
又，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，交的延长线于，
在中，，，
，
∴
在中，，
∵平行四边形，
∴，
．
三、拓展创新
23．（2025八下·永定期中）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）线段 ； ； （用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
【答案】（1）；；或
（2）解：，∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
【分析】
（1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案；
（2）由，若点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，只需，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形说明，故以Q点位置分为两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可．
（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上，
∴，，
∴或，
∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动，
∴，
∴；
∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动，
∴，
若点Q与点E重合，则，
解得；
若点P与点D重合，则，
当时，则，
当时，则，
故答案为：；；或；
（2）解：，
∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，
是的中点，
，
分两种情况：
①当Q运动到E和B之间，则得：，
解得：，
②当Q运动到E和C之间，则得：，
解得：，
综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
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