湘教版数学八年级下册 1.4 三角形的中位线定理 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·上思期中）如图，在中，DE是的中位线，若DE=3，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2024八下·天河期中）如图，是的中位线，若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025八下·东莞期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
4．（2025八下·义乌月考） 三角形的三条中位线的长分别为，，，则原三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·南宁月考）如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2025八下·罗湖期末） 人字梯及其侧面如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若，则B，C两点的距离为 cm.
7．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ．
8．（2024八下·福清期末）如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则 ．
9．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
10．（2025八下·娄底期中）在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
二、能力提升
11．（2025八上·攸县期中）如图，在中，D是中点，E是中点，则的长等于的（ ）
A．两倍 B．一倍 C．一半 D．无法确定
12．（2024八下·昆明期中）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
13．（2025八下·诸暨期末）如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025八下·杭州期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
15．（2024八下·海原期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．
16．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是 ．
17．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为 ．
18．（2025八下·温州期末）如图，为四边形的对角线，已知．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）分别为的中点，连结．若，求的长．
19．（2025八下·泸县期末）如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
三、拓展创新
20．（2024八下·金牛期末）如图，在中，，，，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，且，
∴，
故选：A．
【分析】
根据三角形中位线的性质直接作答即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得进行求解即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
为△的中位线，
，
即，间的距离是，
故选：A．
【分析】先求出AB为△的中位线，再根据三角形中位线定理计算求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3+4+5）×2=24cm
因此原三角形的周长是24cm。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
本题三角形的三条中位线的长分别为，，，则对应的原三角形的边长分别是6cm、8cm、10cm，最后求和即可，综合列式为（3+4+5）×2=24cm。
5．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边、AC的中点，∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
6．【答案】100
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得AB=AC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=100cm，
故答案为： 100
【分析】根据题意得到AB=AC，再根据中点结合三角形中位线定理得到BC=2DE，代入数值即可求解。
7．【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在平行四边形中，，，
，，
∴，
∵点分别平分线段，
是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可．
8．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵分别为、的中点，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得CF=3，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．【答案】证明：∵，，分别是，，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即由，，分别是，，的中点，可得，，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求证．
10．【答案】证明：∵，点E是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵点D为AC的中点，点E是AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质和等边对等角可证得，继而可得，再由三角形中位线定理证明，即可证明结论．
11．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线求解．
12．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：B．
【分析】
本题考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得：DF＝AB=2.5，再利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得：，最后根据线段的和差运算可知：EF=DE-DF=1.5，由此可得出答案．
13．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是，，上的三个中点，
∴，，，，，，
∴AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，
∴△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE(SSS)，
∴
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线性质和中点定义可得，，，，，，从而可得AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，继而可利用SSS得到△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE，再利用全等三角形的性质可得，即可得出答案．
14．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵四边形中，是中点，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意可知，线段的长度是定值，
∴线段的长度是定值，
∴线段的长不变，
故选：C．
【分析】
由三角形中位线定理知EF始终等于AR的一半．
15．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
16．【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
17．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
18．【答案】（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形。
（2）解：分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据“内错角相等、两直线平行”得到，然后结合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出结论；
（2）首先根据中位线的定义和特点，得出，然后结合（1）的结论以及平行四边形性质即可求出最后结果．
（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD 交于点O，如图所示：
四边形是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得∠BAC=∠DCA，利用SAS证明，可得，，进而可证明，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明结论；
（2）根据平行四边形对角线的性质可得，，进而可证明AE=OE.证明是△AOB的中位线，即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴线段的长为；
（2），理由如下：
连接，如图：
∵把线段绕点E逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取一点H，使，连接，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵把线段绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，此时，如图：
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用垂直的概念可证得∠ADC=∠BDC=90°，利用勾股定理求出CD的长；再证明∠ABC=∠DCB=45°，可推出BD=CD，可得到BD的长，根据AB=AD+BD，可求出AB的长；然后证明△ABE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BE的长.
（2）连接BF，利用旋转的性质可证得DE=FE，∠DEF=∠AEB=90°，可推出∠AED=∠BEF，利用SAS可证得△AED≌△BEF，利用全等三角形的性质可证得∠EAD=∠EBF，AD=BF，据此可证得∠DBF=90°；利用线段中点的定义可证得DF=2BG；利用SAS可证得△DBF≌△CDA，利用全等三角形的对应边相等，可证得DF=AC，据此可证得AC与BG的数量关系.
（3）在上取一点H，使，连接，易证△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC、CH的长，同时可证得∠DBH=45°；再证明∠DBM=∠HBP，可推出△DBM≌△HBP，利用全等三角形的性质可证得DM=PH；当最小时，最小，此时，可证得△PCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PH的长，可得到DM的最小值.
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.4 三角形的中位线定理 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·上思期中）如图，在中，DE是的中位线，若DE=3，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，且，
∴，
故选：A．
【分析】
根据三角形中位线的性质直接作答即可．
2．（2024八下·天河期中）如图，是的中位线，若，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是的中位线，，
∴．
故选：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得进行求解即可．
3．（2025八下·东莞期中）如图，为了测量池塘边、两点之间的距离，在的同侧取一点，连接并延长至点，连接并延长至点，使得，．若测得，则，间的距离为（ ）
A．13 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
为△的中位线，
，
即，间的距离是，
故选：A．
【分析】先求出AB为△的中位线，再根据三角形中位线定理计算求解即可。
4．（2025八下·义乌月考） 三角形的三条中位线的长分别为，，，则原三角形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3+4+5）×2=24cm
因此原三角形的周长是24cm。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
本题三角形的三条中位线的长分别为，，，则对应的原三角形的边长分别是6cm、8cm、10cm，最后求和即可，综合列式为（3+4+5）×2=24cm。
5．（2025八下·南宁月考）如图，点D、E分别是，的中点，，则池塘的宽度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别是边、AC的中点，∴是的中位线，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
6．（2025八下·罗湖期末） 人字梯及其侧面如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若，则B，C两点的距离为 cm.
【答案】100
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得AB=AC，
∵D，E分别是AB，AC的中点，，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=100cm，
故答案为： 100
【分析】根据题意得到AB=AC，再根据中点结合三角形中位线定理得到BC=2DE，代入数值即可求解。
7．（2025八下·浙江期中）如图，在中，，，，点分别平分线段，则的长为 ．
【答案】2
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在平行四边形中，，，
，，
∴，
∵点分别平分线段，
是的中位线，
∴．
故答案为：．
【分析】
先由勾股定理求出AD，再利用三角形中位线定理计算即可．
8．（2024八下·福清期末）如图，在四边形中，，为中点，连接交于点，若为中点，，，则 ．
【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵分别为、的中点，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：6．
【分析】根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得CF=3，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．（2024八下·临洮期末）如图，在中，，，分别是边，，的中点，连接，，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，，分别是，，的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即由，，分别是，，的中点，可得，，根据平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可求证．
10．（2025八下·娄底期中）在中，，点D，E分别是的中点，点F在的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，点E是的中点，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵点D为AC的中点，点E是AB的中点，
∴DE为的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质和等边对等角可证得，继而可得，再由三角形中位线定理证明，即可证明结论．
二、能力提升
11．（2025八上·攸县期中）如图，在中，D是中点，E是中点，则的长等于的（ ）
A．两倍 B．一倍 C．一半 D．无法确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线求解．
12．（2024八下·昆明期中）如图，DE是△ABC的中位线，直角∠AFB的顶点在DE上，AB＝5，BC＝8，则EF的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：B．
【分析】
本题考查直角三角形的性质和三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
根据直角三角形的性质：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得：DF＝AB=2.5，再利用三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可得：，最后根据线段的和差运算可知：EF=DE-DF=1.5，由此可得出答案．
13．（2025八下·诸暨期末）如图，的面积为，点D，E，F分别是，，上的三个中点，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SSS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是，，上的三个中点，
∴，，，，，，
∴AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，
∴△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE(SSS)，
∴
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线性质和中点定义可得，，，，，，从而可得AE=EB=DF，AD=DC=EF，BF=FC=ED，继而可利用SSS得到△AED≌△EBF≌△DFC≌△FDE，再利用全等三角形的性质可得，即可得出答案．
14．（2025八下·杭州期中）如图，四边形中，是中点，、分别是、的中点，当动点在上从向移动时，下列结论成立的是（ ）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．线段的长与点的位置有关
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如图：
∵四边形中，是中点，分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
由题意可知，线段的长度是定值，
∴线段的长度是定值，
∴线段的长不变，
故选：C．
【分析】
由三角形中位线定理知EF始终等于AR的一半．
15．（2024八下·海原期末）如图，在平行四边形中，，点E，F分别是，的中点，则等于 米．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵是平行四边形，
∴，
∵点E，F分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故答案为：2．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD，然后根据三角形中位线定理解答即可．
16．（2024八下·江阴月考）如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是 ．
【答案】41
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长线段交于E．
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
，
又∵M是的边的中点，
∴，
∴的周长是．
故答案为：41．
【分析】延长线段交于E，根据ASA得到，即可得到BN=NE，然后根据中位线定理解答即可．
17．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
18．（2025八下·温州期末）如图，为四边形的对角线，已知．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）分别为的中点，连结．若，求的长．
【答案】（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形。
（2）解：分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）首先根据“内错角相等、两直线平行”得到，然后结合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得出结论；
（2）首先根据中位线的定义和特点，得出，然后结合（1）的结论以及平行四边形性质即可求出最后结果．
（1）证明：，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）分别为的中点，
是的中位线，
．
四边形是平行四边形，
，
．
19．（2025八下·泸县期末）如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接BD 交于点O，如图所示：
四边形是平行四边形，对角线AC和BD相交于点O，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可证得∠BAC=∠DCA，利用SAS证明，可得，，进而可证明，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可证明结论；
（2）根据平行四边形对角线的性质可得，，进而可证明AE=OE.证明是△AOB的中位线，即可求解．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点G、H分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，即，
，
，
点是的中点，
点G是的中点，
是的中位线，
．
三、拓展创新
20．（2024八下·金牛期末）如图，在中，，，，，．
（1）求线段的长；
（2）如图2，连接，把线段绕点逆时针旋转90°到，连接，取线段的中点，连接，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，点是线段上一点，把线段绕点逆时针旋转45°得到，连接，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴线段的长为；
（2），理由如下：
连接，如图：
∵把线段绕点E逆时针旋转到，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在上取一点H，使，连接，如图：
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵把线段绕点B逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，此时，如图：
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用垂直的概念可证得∠ADC=∠BDC=90°，利用勾股定理求出CD的长；再证明∠ABC=∠DCB=45°，可推出BD=CD，可得到BD的长，根据AB=AD+BD，可求出AB的长；然后证明△ABE是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BE的长.
（2）连接BF，利用旋转的性质可证得DE=FE，∠DEF=∠AEB=90°，可推出∠AED=∠BEF，利用SAS可证得△AED≌△BEF，利用全等三角形的性质可证得∠EAD=∠EBF，AD=BF，据此可证得∠DBF=90°；利用线段中点的定义可证得DF=2BG；利用SAS可证得△DBF≌△CDA，利用全等三角形的对应边相等，可证得DF=AC，据此可证得AC与BG的数量关系.
（3）在上取一点H，使，连接，易证△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BC、CH的长，同时可证得∠DBH=45°；再证明∠DBM=∠HBP，可推出△DBM≌△HBP，利用全等三角形的性质可证得DM=PH；当最小时，最小，此时，可证得△PCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PH的长，可得到DM的最小值.
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