湘教版数学八年级下册 1.5.1 矩形的性质 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八下·中山期末）下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
2．（2025八下·惠阳期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．有三个角为直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形；
D．矩形的对角线相等且互相平分．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“有三个角为直角的四边形是矩形”是真命题，则此项不符题意；
B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，则此项不符题意；
C、“对角线相等的平行四边形是矩形”，则原命题是假命题，此项符合题意；
D、“矩形的对角线相等且互相平分”是真命题，则此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定与性质、平行四边形的判定逐项判断即可得．
3．（2024八下·镇海区期末）已知矩形 的两条对角线 相交于点 ， 则下列结论不一定正确的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD，OA=OB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
因此：A，B，D正确，C错误
故选C.
【分析】
依据矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分，可以判定A，B，D的正确性，对角线相等不是矩形的性质，因此C是错误的.
4．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ）
A．10 B．8 C． D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
5．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵
∴为等边三角形．
∴．
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．（2024八下·防城港期末）如图，已知矩形中，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】先利用矩形性质及等量代换可得，再证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，最后利用角的运算求出即可.
7．（2025八下·东莞月考）如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由矩形的四个内角都是直角得∠ABC=90°，根据含30度角的直角三角形的性质得AC=2AB=4，再利用勾股定理求出BC的长即可．
8．（2024八下·莆田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
9．（2024八下·忠县期中）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．
【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
11．（2024八下·诸暨期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数．
【答案】解：∵矩形，
∴，
∵∠ABE=40°，
∴，
∵，
∴，
∴∠DEC=180°－∠AEB－∠BEC=180°－50°－65°=65°，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据矩形的性质得，求得∠AEB和∠BEC的度数，利用平角的性质可得∠DEC的度数，再利用三角形两锐角互余的性质即可求得∠ECD的度数.
12．（2024八下·陆丰期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
【答案】解：∵∴
∵四边形是矩形，
∴
∴是等边三角形
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】
首先根据给定的条件，利用矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，可以得到OA=OB=4。结合已知的∠AOD=120°，可以推导出∠AOB=60°。进而得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可以得到AB=OA=OB=4。
二、能力提升
13．（2025八下·岳阳期中）顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
设点，，，分别是四边形各边的中点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到，再利用三角形中位线定理得到，从而可得，由此可得答案．
14．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，AB=4，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，即可得，设，则，再在中利用勾股定理解答即可求解.
15．（2024八下·南昌期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
；
故选：C．
【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。
因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到，进而可证是等边三角形，所以，因此有，在中，根据勾股定理有．
16．（2023八下·丛台月考）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
17．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
18．（2025八下·岳阳期中）如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵点是矩形的对角线的中点，为的中点．
∴，，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求得，进而求得，根据中位线的性质求得，勾股定理求得，即可求解．
19．（2024八下·黔东南期末）在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵是四边形是矩形，，
∴，，
∵将沿折叠，使点落在点处，
∴，，
∴当，即点三点共线时，的值最小，如下图：
此时点在对角线上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质得，，从而得当，即点三点共线时，的值最小，此时点在对角线上，进而利用勾股定理求得，最后求出的值即可．
20．（2024八下·武威期中）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质可得．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
21．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出，利用等腰三角形的性质，可证得结论.
（2）设，则，．在中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．
（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形．
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为．
三、拓展创新
22．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
23．（2024八下·宁波期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
（3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，
，互相平分，
，
，
，
点为中点，
；
（2）解：，
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作于点，
矩形，，
，
∴，
∴，是等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论；
（2）先根据三角形中位线定理可得，，再结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论；
（3）先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积．
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.5.1 矩形的性质 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2023八下·中山期末）下列选项中，矩形一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角
2．（2025八下·惠阳期中）下列命题是假命题的是（ ）
A．有三个角为直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形；
D．矩形的对角线相等且互相平分．
3．（2024八下·镇海区期末）已知矩形 的两条对角线 相交于点 ， 则下列结论不一定正确的是 ( )
A． B． C． D．
4．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（ ）
A．10 B．8 C． D．5
5．（2024八下·曲靖期末）如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（ ）
A． B． C．6 D．
6．（2024八下·防城港期末）如图，已知矩形中，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025八下·东莞月考）如图，矩形中，对角线相交于点，若，，则的长度为 ．
8．（2024八下·莆田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
9．（2024八下·忠县期中）如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
10．（2024八下·岳阳期中）如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ．
11．（2024八下·诸暨期中）如图，在矩形中，是边上的一点，且，，求的度数．
12．（2024八下·陆丰期中）如图，矩形的对角线，相交于点O，，．求边的长．
二、能力提升
13．（2025八下·岳阳期中）顺次连结任意四边形四边中点，所得的图形是一个矩形，则四边形一定是 （ ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
14．（2025八下·泸县期末）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
15．（2024八下·南昌期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，垂直平分于点E，则的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
16．（2023八下·丛台月考）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．（2024八下·罗定月考）如图，矩形的对角线与相交于点O，，，则的长是 ．
18．（2025八下·岳阳期中）如图，点是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为 ．
19．（2024八下·黔东南期末）在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ．
20．（2024八下·武威期中）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
21．（2025八下·渌口月考）如图，在矩形中，，．将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求线段的长．
三、拓展创新
22．（2024八下·岳阳期中）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
请你选择一位同学的说法，并进行证明．
23．（2024八下·宁波期末）如图1，在中，对角线与相交于点O，，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，，，交于点 M．
（1）求证：．
（2）求证：四边形为平行四边形．
（3）如图2，当为矩形时，若，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，在A符合题意；
B、C、D均为菱形所具有的性质，
故答案为：A.
【分析】根据矩形对角线相等的性质，逐项分析即可.
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、“有三个角为直角的四边形是矩形”是真命题，则此项不符题意；
B、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，则此项不符题意；
C、“对角线相等的平行四边形是矩形”，则原命题是假命题，此项符合题意；
D、“矩形的对角线相等且互相平分”是真命题，则此项不符题意；
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定与性质、平行四边形的判定逐项判断即可得．
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD，OA=OB，∠A=∠B=∠C=∠D=90°
因此：A，B，D正确，C错误
故选C.
【分析】
依据矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分，可以判定A，B，D的正确性，对角线相等不是矩形的性质，因此C是错误的.
4．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∵
∴为等边三角形．
∴．
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
故答案为：C.
【分析】先利用矩形性质及等量代换可得，再证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，最后利用角的运算求出即可.
7．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由矩形的四个内角都是直角得∠ABC=90°，根据含30度角的直角三角形的性质得AC=2AB=4，再利用勾股定理求出BC的长即可．
8．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】20
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∵O是矩形的对角线的中点，
∴，
∵M是的中点，
∴是的中位线，，
∴，
∴四边形的周长为：，
故答案为：20．
【分析】
由矩形的性质可知OB是斜边AC上的中线，OM是的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形的周长可求 ．
11．【答案】解：∵矩形，
∴，
∵∠ABE=40°，
∴，
∵，
∴，
∴∠DEC=180°－∠AEB－∠BEC=180°－50°－65°=65°，
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据矩形的性质得，求得∠AEB和∠BEC的度数，利用平角的性质可得∠DEC的度数，再利用三角形两锐角互余的性质即可求得∠ECD的度数.
12．【答案】解：∵∴
∵四边形是矩形，
∴
∴是等边三角形
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】
首先根据给定的条件，利用矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，可以得到OA=OB=4。结合已知的∠AOD=120°，可以推导出∠AOB=60°。进而得出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可以得到AB=OA=OB=4。
13．【答案】D
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
设点，，，分别是四边形各边的中点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴原四边形一定是对角线互相垂直的四边形．
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得到，再利用三角形中位线定理得到，从而可得，由此可得答案．
14．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，AB=4，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得，即可得，设，则，再在中利用勾股定理解答即可求解.
15．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
，
∴，
；
故选：C．
【分析】此题主要对矩形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识进行考查。
因为四边形ABCD为矩形，所以角平分线互相平分且相等，可得到，进而可证是等边三角形，所以，因此有，在中，根据勾股定理有．
16．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
17．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用矩形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACB的度数，利用含30°角的直角三角形的性质求出AC的长，最后利用勾股定理求出BC的长即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，，
∴，，，
∴，
∵点是矩形的对角线的中点，为的中点．
∴，，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求得，进而求得，根据中位线的性质求得，勾股定理求得，即可求解．
19．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：∵是四边形是矩形，，
∴，，
∵将沿折叠，使点落在点处，
∴，，
∴当，即点三点共线时，的值最小，如下图：
此时点在对角线上，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据矩形的性质与折叠的性质得，，从而得当，即点三点共线时，的值最小，此时点在对角线上，进而利用勾股定理求得，最后求出的值即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质可得．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
21．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）连接AN，根据矩形与折叠的性质可推出，利用等腰三角形的性质，可证得结论.
（2）设，则，．在中，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程，可求出x的值，可得到AN的长．
（1）证明：如图所示，连接，
由折叠可知．
四边形是矩形，
，
．
，
是等腰三角形．
（2）解：设，则，．
在中，根据勾股定理可得
即
解得：
所以的长为．
22．【答案】证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】若选择小星的说法，连接EB，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得AE平行且等于DB，等量代换得AE平行且等于BC，则四边形ACBE是平行四边形，又，则由矩形的概念可得等于，即；
若选择小红的说法，连接CE，由小星的说法可知四边形ACBE是矩形，则对角线BA等于EC；又可证四边形ABDE是平行四边形，则对边DE等于AB，等量代换得CE等于DE．
23．【答案】（1）解：，
，互相平分，
，
，
，
点为中点，
；
（2）解：，
，，
点，，分别为，，的中点，
，，，
，，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图，过点作于点，
矩形，，
，
∴，
∴，是等边三角形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
四边形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质先证明，再根据点为中点可得结论；
（2）先根据三角形中位线定理可得，，再结合平行四边形的性质，证明，，即可得出结论；
（3）先证明是等边三角形，求出，再利用勾股定理求出，得到的长，进而可计算四边形的面积．
1 / 1
