湘教版数学八年级下册 1.5.2 矩形的判定 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·路桥期末）要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明为菱形，故A不符合题意；
B、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明为菱形，故B不符合题意；
C、添加，不可以证明是矩形，故C不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明为矩形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.据此逐项进行判断，即可求解.
2．（2024八下·武冈期中）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形）分析求解即可.
3． 在 中， 有下列条件： ①， ②， ③， ④ 平分 ． 其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解： A、 ，邻边相等的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
B、 ，对角线相等的平行四边形是矩形，正确，该选项符合题意；
C、 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
D、 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理，逐一进行分析即可．
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．
【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．
5．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
6．（2025八上·深圳期中）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为 米.
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米
∴BE⊥OA
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形CDBE是矩形
∴CE=BD=1.5米
∴AE=CE-AC=1米
设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2
即(x-1)2+32=x2
解得：x=5
∴秋千的拉绳OA的长度为5米
故答案为：5
【分析】由题意可得BE⊥OA，根据矩形判定定理可得四边形CDBE是矩形，则CE=BD=1.5米，根据边之间的关系可得AE，设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米，再根据定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．（2022八下·武汉期中）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是矩形，
则有，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边可得：，，，，根据平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行可知：EF∥GH，EH∥FG，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形EFGH是平行四边形，由矩形的性质可知：矩形的四个角都是直角可知，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，由此可知：AC⊥BD，由此可得出答案．
8．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °．
【答案】50
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再结合利用角的运算求出∠OBC的度数即可.
9．（2024八下·广州期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：四边形为矩形．
【答案】证明：在中，，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】
先由平行四边形的性质得到AD//BC，再由AE⊥BC，CF⊥AD得到∠AEC=∠CFA=90°，从而证得四边形AECF为矩形。
二、能力提升
10．（2025八下·杭州期末）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形，如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（ ）
A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直
C．相等 D．互相垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如下：
AC与BD的位置关系是互相垂直，
证明：点E、F、H、G分别是AD、AB、BC、CD的中点，
连接EF，FG，HG，EH，EH与BD交于点M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EEH=90°，
∵E、F、分别是AD、AB的中点，
∴EF//BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
∴∠E、H、分别是AD、CD的中点，
∴EH//AC，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD.
故答案为：D.
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形名边的中点所得四边形是矩形.
11．（2024八下·余杭月考）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
12．（2024八下·浦北期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，，
在直角三角形ADH中，米，
∴米，
∴米，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理等知识。
当作出时，可以得到矩形，这时可以放到直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AH的长度，进而得到BH的长度，而矩形对边相等，此时学生的身高也就求出来了。
13．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取中点O，连接、，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴，，，，
，，
∴E，O，F三点共线，
又，，
，即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
A、不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形；
B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形．
故答案为：D.
【分析】取AC中点O，连接EO、FO，由平行四边形对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由三角形中位线定理得OE∥BC，OE=BC，OF∥AD，OF=AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出OF∥BC，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得E，O，F三点共线，然后根据等式性质可推出MO=NO，OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
14．（2024八下·南开期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴．
根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短．
当时，有，
即，
解得．
∴的最小值为，．
故答案为：A．
【分析】连接CP，根据勾股定理逆定理可得．再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则．再根据线段中点可得，当时，最短．同样也最短，当时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
．，
是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，此时最短，
，
当最短时，
故答案为：．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，由等面积法即可求得最短时的长，然后根据PM=AP即可求解．
16．（2024八下·泰州月考）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，过E作于H，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵
∴，
∵点B与点F关于对称，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【分析】连接，过E作于H，可求出BE、CE的长，利用折叠的性质可求出AF、EF的长，利用勾股定理求出AE的长，再利用三角形的面积公式可求出BG的长，利用对称性可求出FG的长；再证明四边形FGEH是矩形，利用矩形的性质可求出EH的长，利用勾股定理求出FH的长，即可得到CF的长.
17．（2024八下·石阡期中）如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，最小，即当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【分析】先证明四边形是矩形， 再利用矩形的对角线相等，可知当最小时，也最小，再利用面积法，得到关于AP的方程求解．
18．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
19．（2025八下·新田期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∴OA+OC=BO+OD，
即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∵，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，，从而可得，再根据矩形的判定可得到结论；
（2）先证明是等边三角形，从而可求得AB，根据勾股定理求得BC．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
， 即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
是矩形，
，
在中，，
．
20．（2024八下·潮南期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
∴，解得，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先通过证明一组对边平行且相等，来证明四边形为平行四边形，再证明有一个角是直角，可得出结论；
（2）先根据矩形的性质得，求得AF，再利用勾股定理的逆定理证得为直角三角形，然后由面积法求出的长，就可求得DF的长．
三、拓展提升
21．（2024八下·朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度．
课题 校史馆展柜设计
调查方式 走访调研、实地察看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为
计算结果 ……
【答案】解：如图，延长交于点P，连接．
四边形与四边形为矩形，
．
，
四边形为矩形，
，，，
．
由题意知，．
在中，．
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】延长交于点P，连接．可推出四边形为矩形；在中，求出，再根据矩形的性质利用线段的和差运算，即可求解.
1 / 1湘教版数学八年级下册 1.5.2 矩形的判定 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2024八下·路桥期末）要使成为矩形，下列添加的条件中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·武冈期中）木艺活动课上有一块平行四边形木板，现要判断这块木板是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量两组对边是否相等 B．测量一组邻边是否相等
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相垂直
3． 在 中， 有下列条件： ①， ②， ③， ④ 平分 ． 其中能说明 是矩形的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（华师大版数学八年级下册第十九章第一节19.1.2矩形的判定同步练习）已知下列命题中：①矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；其中正确的有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2022八下·仙居期末）木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面 .（填“合格”或“不合格”）
6．（2025八上·深圳期中）荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离AC为0.5米，将踏板水平推动3米（BE=3米），此时踏板与地面的距离BD为1.5米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳OA的长度为 米.
7．（2022八下·武汉期中）如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加 条件，才能保证四边形是矩形．
8．（2024八下·凤山期末）如图，在中，对角线相交于点，且，若，则 °．
9．（2024八下·广州期中）如图，在中，于点E，于点F．求证：四边形为矩形．
二、能力提升
10．（2025八下·杭州期末）顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形，如果一个四边形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是（ ）
A．互相平分且相等 B．互相平分且垂直
C．相等 D．互相垂直
11．（2024八下·余杭月考）已知矩形的周长为56，对角线交点到短边的距离比到长边的距离大4，则该矩形的面积为（ ）
A．45 B．90 C．140 D．180
12．（2024八下·浦北期末）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为米，一名学生站在处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离为米，头顶离感应器的距离为米，则这名学生身高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
13．（2025八下·宁波开学考）如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
14．（2024八下·南开期中）如图，在中，，，，P为边上一动点，于点E，于点F，点M为中点，则最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5
15．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
16．（2024八下·泰州月考）如图，在矩形中，，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为 ．
17．（2024八下·石阡期中）如图，在中，，，，是斜边上一动点，于点，于点，与相交于点，则的最小值为 ．
18．（2024八下·紫金期中）如图，四边形的对角线，顺次连接其各边中点得到四边，若，，那么四边形的面积为 ．
19．（2025八下·新田期中）如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
20．（2024八下·潮南期末）如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，求的长．
三、拓展提升
21．（2024八下·朔州期中）山西某大学新建了一个校史馆，其中一个矩形展厅利用智能机器人担任讲解员，展厅已有一个矩形展柜（图中展柜1），计划新建矩形展柜2．李老师将展柜2的尺寸规划任务交给希望兴趣小组，小组的同学们把“校史馆展柜设计”的任务作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算的长度．
课题 校史馆展柜设计
调查方式 走访调研、实地察看测量
测量过程及计算 调研内容及图示
相关数据及说明 机器人从出口正中心（即的中点）通过时，机器人的边缘距离点H和点E的安全距离都为
计算结果 ……
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、添加，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可以证明为菱形，故A不符合题意；
B、添加，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可证明为菱形，故B不符合题意；
C、添加，不可以证明是矩形，故C不符合题意；
D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形可证明为矩形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形.据此逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量对角线是否相等；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的判定方法（①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解： A、 ，邻边相等的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
B、 ，对角线相等的平行四边形是矩形，正确，该选项符合题意；
C、 ，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意；
D、 平分，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，错误，该选项不符合题意．
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理，逐一进行分析即可．
4．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】①矩形是轴对称图形，对边中点连线所在的直线是它的对称轴，并且有两条，故该选项正确；②只有两条对角线相等的平行四边形是矩形；故该选项错误；③所有的平行四边形对角都相等，但不一定是矩形，故该选项错误；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加对角线相等则为矩形，故该选项正确；所以其中正确的有①和④，故选C．
【分析】根据矩形的轴对称性、矩形的判定和矩形的性质逐项分析即可得到正确命题的个数．
5．【答案】不合格
【知识点】勾股定理的逆定理；矩形的判定
【解析】【解答】解：不合格，
理由：，
即：，
，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.
故答案为：不合格.
【分析】由题意可得AD2+CD2≠AC2，则四边形ABCD不是矩形，据此判断.
6．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵将踏板水平推动3米（BE=3米），AC=0.5米，BD=1.5米
∴BE⊥OA
∵AC⊥CD，BD⊥CD
∴四边形CDBE是矩形
∴CE=BD=1.5米
∴AE=CE-AC=1米
设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米
在Rt△OEB中，OE2+BE2=OB2
即(x-1)2+32=x2
解得：x=5
∴秋千的拉绳OA的长度为5米
故答案为：5
【分析】由题意可得BE⊥OA，根据矩形判定定理可得四边形CDBE是矩形，则CE=BD=1.5米，根据边之间的关系可得AE，设OA=x米，则OE=(x-1)米，OB=OA=x米，再根据定理建立方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如下图，
∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
若四边形是矩形，
则有，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形，
故答案为：．
【分析】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质、平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键．
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边可得：，，，，根据平行线的性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行可知：EF∥GH，EH∥FG，再根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形EFGH是平行四边形，由矩形的性质可知：矩形的四个角都是直角可知，根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等可知：，由此可知：AC⊥BD，由此可得出答案．
8．【答案】50
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形的对角线，
∴四边形是矩形，
∴，
∵
∴，
故答案为：．
【分析】先证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再结合利用角的运算求出∠OBC的度数即可.
9．【答案】证明：在中，，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴四边形为矩形．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】
先由平行四边形的性质得到AD//BC，再由AE⊥BC，CF⊥AD得到∠AEC=∠CFA=90°，从而证得四边形AECF为矩形。
10．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如下：
AC与BD的位置关系是互相垂直，
证明：点E、F、H、G分别是AD、AB、BC、CD的中点，
连接EF，FG，HG，EH，EH与BD交于点M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EEH=90°，
∵E、F、分别是AD、AB的中点，
∴EF//BD，
∴∠FEH=∠OMH=90°，
∴∠E、H、分别是AD、CD的中点，
∴EH//AC，
又∵点E、H分别是AD、CD各边的中点，
∴∠OMH=∠COB=90°，
即AC⊥BD.
故答案为：D.
【分析】由于顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，再由矩形的判定可知，依次连接对角线互相垂直的四边形名边的中点所得四边形是矩形.
11．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过作，交于，交于，作，交于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理四边形、四边形，四边形都是矩形，
，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理，
设，则，
∵矩形周长是56，
，
解得：，
∴矩形的各边长是．
则该矩形的面积，
故答案为：D．
【分析】过作交于，交于，作交于，交于，即可得到四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，设，则，利用矩形周长列方程求出x值即可解题．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作于，如图
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，，
在直角三角形ADH中，米，
∴米，
∴米，
故答案为：．
【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理等知识。
当作出时，可以得到矩形，这时可以放到直角三角形ADH中，利用勾股定理求出AH的长度，进而得到BH的长度，而矩形对边相等，此时学生的身高也就求出来了。
13．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取中点O，连接、，
∵四边形ABCD是平行四边形，
，，
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴，，，，
，，
∴E，O，F三点共线，
又，，
，即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
A、不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形；
B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形．
故答案为：D.
【分析】取AC中点O，连接EO、FO，由平行四边形对边平行且相等得AD∥BC，AD=BC，由三角形中位线定理得OE∥BC，OE=BC，OF∥AD，OF=AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出OF∥BC，根据经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得E，O，F三点共线，然后根据等式性质可推出MO=NO，OE=OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
14．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴，
∴．
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴．
根据直线外一点与直线上任一点所连的线段中，垂线最短， 可知当时，最短．同样也最短．
当时，有，
即，
解得．
∴的最小值为，．
故答案为：A．
【分析】连接CP，根据勾股定理逆定理可得．再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则．再根据线段中点可得，当时，最短．同样也最短，当时，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
．，
是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，此时最短，
，
当最短时，
故答案为：．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，由等面积法即可求得最短时的长，然后根据PM=AP即可求解．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，过E作于H，
∵，点E为的中点，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，
∵
∴，
∵点B与点F关于对称，
，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【分析】连接，过E作于H，可求出BE、CE的长，利用折叠的性质可求出AF、EF的长，利用勾股定理求出AE的长，再利用三角形的面积公式可求出BG的长，利用对称性可求出FG的长；再证明四边形FGEH是矩形，利用矩形的性质可求出EH的长，利用勾股定理求出FH的长，即可得到CF的长.
17．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴当最小时，最小，最小，即当时，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【分析】先证明四边形是矩形， 再利用矩形的对角线相等，可知当最小时，也最小，再利用面积法，得到关于AP的方程求解．
18．【答案】
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点P、Q是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理可得，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用中点四边形的性质证出四边形是矩形，再利用矩形的面积公式列出算式求解即可.
19．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
∴OA+OC=BO+OD，
即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∵，，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的性质得到，，从而可得，再根据矩形的判定可得到结论；
（2）先证明是等边三角形，从而可求得AB，根据勾股定理求得BC．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
， 即，
是矩形．
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
是矩形，
，
在中，，
．
20．【答案】（1）证明：，
，
∴，
四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：∵四边形为矩形，，
，，
，，，
，
为直角三角形，，
，
，
∴，解得，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先通过证明一组对边平行且相等，来证明四边形为平行四边形，再证明有一个角是直角，可得出结论；
（2）先根据矩形的性质得，求得AF，再利用勾股定理的逆定理证得为直角三角形，然后由面积法求出的长，就可求得DF的长．
21．【答案】解：如图，延长交于点P，连接．
四边形与四边形为矩形，
．
，
四边形为矩形，
，，，
．
由题意知，．
在中，．
四边形为矩形，
，
，
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】延长交于点P，连接．可推出四边形为矩形；在中，求出，再根据矩形的性质利用线段的和差运算，即可求解.
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