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2025—2026学年九年级上学期期末预测卷01
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近
2．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
3．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数 为常数)在-1A． B． C．-16．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
7．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
8．如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论：
①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．
12．若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 ．
13．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
14．如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ．
15．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ．
16．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17． 已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）当函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式.
（2）若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.
（3）若该函数图象上有两点 其中 若 求证：
18． 如图，AB，CD是⊙O的两条弦， 作 交⊙O于点E，延长EO交CD 于点 F，连结 BD.
（1）求证：
（2）若EF=CD=8，求⊙O的半径.
19．糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（元） 15 20 30 …
（斤） 100 80 40 …
（1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
20． 如图，在 ABCD 中，点 E 在AD 的延长线上，BE 与CD 交于点F.
（1）求证：△ABE∽△CFB.
（2） 若△DEF 的面积为 4， 求△ABE 的面积.
21． 在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共3个，这些球除颜色外其余均相同.现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，获得如下数据：
摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250
摸出黑色球的频数 2 6 16 34 52 67 83
摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.35 0.34 0.33
（1）黑色球的个数可能是 .
（2）在(1)的条件下，随机地摸出一个球不放回，再随机摸出一个球，求摸出两个球颜色相同的概率.
22．已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
23．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
24．如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
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2025—2026学年九年级上学期期末预测卷01
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，则的值（ ）
A．一定是 B．一定不是
C．随着的增大，可能是 D．随着的增大，稳定在附近
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性．
故答案为：D．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答即可.
2．如图，AB为⊙O的直径，∠BED＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．80° B．75° C．70° D．65°
【答案】C
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得，根据圆周角定理得，即可求出的度数.
3．抛物线的图象如图所示，则下列选项中正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴，
∵，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据抛物线的开口向上，得，再根据抛物线的对称轴在y轴右侧，得，进一步得，根据抛物线与y轴的交点在负半轴上，得即可得出答案．
4．勾股定理是几何中一个重要定理.著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②∠ACB=90°，BC=2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股树模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，
设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，
由勾股定理可得，
同理可得：
同理可得：
故答案为：A.
【分析】如图所示，延长BA交PM于J，过I作 于K，设BC=2AC=2a，由题意可知，AC=CD=DE=AE=a，BH=HI=CI=BC=2a，由勾股定理可得， 可得AB=BG= 再利用相似三角形的性质分别用含a的代数式表示MN，MP，即可得到答案.
5．新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数 为常数)在-1A． B． C．-1【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】由题意，可得“和谐点”所在直线为y=-x+6，将x=-1代入y=-x+6，得y=7，将x=3代入y=-x+6，得y=3.
如图，设A(-1，7)，B(3，3)，联立y=-x+6与y= 得方程 -x+6，即 抛物线与直线.y=-x+6有两个交点， 解得 当直线x=-1和直线x=3与抛物线的交点在点 A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-1代入 得y=3+c，把x=3代入 得y=3+c， 解得 c > 4. ∴ 4<
故答案为：B.
【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y=-x+6上，由-16．如图，四边形ABCD内接于，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD=（ ）
A．128° B．100° C．64° D．32°
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据圆内接四边形的性质以及平角得到的度数，然后由圆周角定理求出的度数.
7．如图为某农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3 m，踏板DE长为1.6 m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6 m，现在踏脚着地，则捣头点E上升了( )
A．0.6 m B．0.8 m C．1 m D．1.2 m
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
∵由题意可得AB∥EF，
∴△DAB∽△DEF，
∴
∴
∴EF=0.8米．
∴捣头点E上升了0.8米．
故答案为：B．
【分析】根据题意将其转化为如图所示的几何模型，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可证△DAB∽△DEF，再由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解．
8．如图，为半圆的直径，已知，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
如图，连接OA，则由圆周角定理可得，则，由于已知，则，即．
9．一把放缩尺如图所示，当画笔沿图形运动时，画笔随之画出放大后的位似图形．若位似比为，图形的周长是，则图形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：位似图形的周长比等于位似比，且位似比为，图形的周长是，
图形的周长是，
故选：C．
【分析】
位似图形的周长比等于位似比．
10．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论：
①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】D
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；确定圆的条件；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确；
连接，
当点F运动到的中点时，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵由结论①正确可知，，
∴，
∴，
若，即，
∵在中，，
∴，则，
∴，
∴四边形的面积是，故结论④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D．
【分析】由路程、速度、时间三者关系易得AE=DF，由正方形性质得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，由“SAS”证△BAE≌△ADF，根据全等三角形的对应角相等得∠ABE=∠DAF，由角的构成、等量代换及三角形内角和定理推出∠AGB=90°，可判定结论①；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AEG∽△BEA，由相似三角形对应边成比例得到，再用替换，即可证明②；连接，由中点定义及AE=DF可得出AE=CF，由正方形性质得AB=BC，∠BAE=∠BCF=90°，用“SAS”证△BAE≌△BCF，由全等三角形的对应角相等得∠3=∠2；由确定圆的条件判断出可得B、C、F、G四点共圆，由同弧所对的圆周角相等得，则，根据等角的余角相等得∠CBG=∠CGB，进而利用等角对等边即可证明CG=CB，即可判断③；由全等三角形面积相等及等式性质可推出，将已知等式两边同时平方并结合勾股定理可求出，进而结合三角形面积公式算出△ABG的面积，可判定结论④．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵共有5种等可能的情况数，其中符合条件的情况数是2，
∴（恰好是无理数）．
故答案为：．
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可。
12．若扇形的半径为，弧长为，则扇形的面积为 ．
【答案】15
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：15．
【分析】
本题是扇形面积公式的直接应用，属于基础题.扇形面积公式()，直接将弧长和半径代入扇形面积公式计算即可．
13．已知抛物线与直线有两个交点，，抛物线与直线的一个交点是，则的值是 ．
【答案】2或6
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由抛物线向左平移m个单位得到抛物线，而，向左平移2或6个单位得到点，
得或6．
故答案为：2或6．
【分析】
由抛物线的平移规律知，把抛物线向左平移了m个单位长度可得到抛物线，则点也是A或B在水平方向上平移得到的，再利用点的平移规律计算即可．
14．如图，已知正方形与正五边形都内接于，则的度数为 ．
【答案】9°
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，
∴CH=CH，CD=CB，
∴，，
∴，
∴∠DCE=∠BCG，
∵，∠DCB=90°，
∴.
故答案为：9°.
【分析】根据正方形ABCD与正五边形EFGCH都内接于⊙O，得到，，求得，得到∠DCE=∠BCG，于是得到结论.
15．在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意知：N是的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割点可得，然后由线段的和差AN=AD-DN可求解．
16．如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．
【答案】解：令，则，解得或，∴，∵相邻支撑杆之间的距离为，，，∴在轴右侧，共7条，同理在轴左侧最多安装7条，∴最多可安装支撑杆14条，故答案为：14．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由抛物线上点的坐标特征可令，则可求出的值为，则AB＝4，再由抛物线的轴对称性质可先在y轴右侧0.15米处开始安装支撑杆，则剩余距离1.85米可安装6根撑杆，且第6根撑杆距离点B0.05米，即右侧可安装7根撑杆，同理左侧也可安装7根撑杆，即最多可安装14根撑杆．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17． 已知二次函数 (a为常数且a≠0).
（1）当函数图象经过点(4，0)，求该二次函数的表达式.
（2）若a>0，判断该二次函数图象与x轴的交点个数并证明.
（3）若该函数图象上有两点 其中 若 求证：
【答案】（1）解：将(4，0)代入
得16a-16a+4a+4=0，
解得a=-1，
∴该二次函数的表达式为
（2）解：该二次函数图象与x轴无交点.
证明：令
16a=-16a<0，
∴方程 无实数解，
∴该二次函数图象与x轴无交点.
（3）证明：∵该函数图象上有两点 ， y2)，
+4a+4，
即
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可.
(2)令 可得 -4a(4a+4)=-16a<0，则方程 4a+4=0无实数解，即该二次函数图象与x轴无交点.
(3)由题意得 则可得 ( 即可得到答案.
18． 如图，AB，CD是⊙O的两条弦， 作 交⊙O于点E，延长EO交CD 于点 F，连结 BD.
（1）求证：
（2）若EF=CD=8，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：∵
∴∠B=∠D，
∴AB∥CD.
（2）解：如图，连结OC，
∵OE⊥AB，AB∥CD，
∴EF⊥CD，
∴DF=CF= CD=4，
设⊙O的半径为r，
∵EF=8，
∴OF=8-r，
由勾股定理得OF2+CF2=OC2，
，
则⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；内错角相等，两直线平行；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】(1)根据圆周角定理和平行线的判定即可得结论；
(2)连接OC，设⊙O的半径为r，由勾股定理和垂径定理即可解答.
19．糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（元） 15 20 30 …
（斤） 100 80 40 …
（1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设，
把，代入中得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，元，
每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据总利润=单斤利润总数量建立出w关于x的函数关系式，然后将解析式配成顶点式，根据二次函数性质求出最值即可．
（1）解：设，
把，代入中得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，元，
每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．
20． 如图，在 ABCD 中，点 E 在AD 的延长线上，BE 与CD 交于点F.
（1）求证：△ABE∽△CFB.
（2） 若△DEF 的面积为 4， 求△ABE 的面积.
【答案】（1）证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，∠A=∠C，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△DEF∽△AEB，
∴
∵△DEF∽△AEB，
，
∵
∴，
∴S△ABE=25.
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质易得AD∥BC，∠A=∠C，再利用平行线的性质可得∠CBE=∠E，最后根据相似三角形的判定即可证明.
（2）利用平行四边形的性质易得AB∥CD，AB=CD，从而推出△DEF∽△AEB，结合已知条件可得利用相似三角形面积比等于相似比平方可推出，利用已知条件即可求解.
21． 在一个不透明的布袋中装有黑、白两种颜色的球共3个，这些球除颜色外其余均相同.现进行摸球试验，每次摸出1个球，并记录它的颜色，获得如下数据：
摸球总次数 10 20 50 100 150 200 250
摸出黑色球的频数 2 6 16 34 52 67 83
摸出黑色球的频率 0.20 0.30 0.32 0.34 0.35 0.34 0.33
（1）黑色球的个数可能是 .
（2）在(1)的条件下，随机地摸出一个球不放回，再随机摸出一个球，求摸出两个球颜色相同的概率.
【答案】（1）1
（2）解：根据题意画图如图：
共有6种等可能情况，其中摸出的两个球颜色相同的有2种，则摸出的两个球颜色相同的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：由题意得摸出黑色球的概率为0.33，∴黑色球的个数可能是 (个)，
故答案为：1；
【分析】(1)根据频率估计概率即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数和摸出的两个球颜色不同的情况数，然后利用概率公式求解即可.
22．已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由A为弧中点知AE=AF，同时由∠AEC=∠AFB，EC=BF 得△AEC≌△AFB(SAS)，由全等的性质得EM=BM+BF；
(2)先得△AEF为等边三角形得EF=AE=20，即可得△BEF的周长；
(3)在EB延长线上截取BC=BF=19，连接AC，AF，FC，由题中数据知EM=MC，同时由BC=BF得∠BFC=∠BCF，得AF=AC，由此AE=AF，得∠AEF=61°.
23．某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
24．如图 1，四边形 为圆内接四边形，对角线 与 交于点 ，点 在 上， ．
（1）求证： ．
（2）如图 2，若点 为 的中点，求证： ．
（3）在（2）的条件下， 的面积为 2 ，求 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 为圆内接四边形，
，
，
，
，
．
（2）证明：解法一：
，
，
，
．
，
，
点 为 的中点，
，
，
．
解法二：
点 为 的中点，
，
．
，
，
，
，
.
（3）解：如图，连结 ，作 ，
，
，
，
又 ，
，
，
，
设 ，
在 Rt 中，
解得 舍去 ，
在 Rt 中，
解得 （舍去），
设 ，
在 Rt 中，
，
，
解得 （舍去），
的长为 ．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到 ，即可得到解题即可；
（2）证明 ，即可得到 ，燃弧根据得到 ，进而得到，即可得到结论；
（3）连结 ，作 ，然后证明DF∥BC，设 ，则CF=2x+1，然后在 Rt 中，利用勾股定理求出x的值，再在Rt 中，中运用勾股定理求出CE长即可解题.
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2025—2026学年九年级上学期期末预测卷01
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-4章）
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 30.0(25.0%)
主观题（占比） 90.0(75.0%)
题量分布 客观题（占比） 10(41.7%)
主观题（占比） 14(58.3%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(41.7%) 30.0(25.0%)
填空题 6(25.0%) 18.0(15.0%)
解答题 8(33.3%) 72.0(60.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (62.5%)
2 容易 (20.8%)
3 困难 (16.7%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 圆内接正多边形 3.0(2.5%) 14
2 二次函数图象与系数的关系 3.0(2.5%) 3
3 圆内接四边形的性质 3.0(2.5%) 6
4 三角形全等的判定-SAS 11.0(9.2%) 10,22
5 坐标与图形变化﹣平移 3.0(2.5%) 13
6 圆心角、弧、弦的关系 3.0(2.5%) 8
7 利用频率估计概率 11.0(9.2%) 1,21
8 两直线平行，内错角相等 10.0(8.3%) 20
9 相似三角形的判定-AA 38.0(31.7%) 4,10,20,23,24
10 等腰三角形的性质 8.0(6.7%) 22
11 相似三角形的实际应用 3.0(2.5%) 7
12 勾股树模型 3.0(2.5%) 4
13 三角形全等的判定-AAS 12.0(10.0%) 24
14 位似图形的性质 3.0(2.5%) 9
15 圆周角定理的推论 11.0(9.2%) 2,18
16 概率公式 3.0(2.5%) 11
17 二次函数与一元二次方程的综合应用 3.0(2.5%) 5
18 圆周角定理 29.0(24.2%) 6,8,10,22,24
19 二次函数的实际应用-拱桥问题 3.0(2.5%) 16
20 待定系数法求一次函数解析式 8.0(6.7%) 19
21 平行四边形的性质 10.0(8.3%) 20
22 二次函数图象与坐标轴的交点问题 8.0(6.7%) 17
23 等边三角形的性质 8.0(6.7%) 22
24 黄金分割 3.0(2.5%) 15
25 二次函数y=ax +bx+c的性质 11.0(9.2%) 5,17
26 垂径定理的推论 8.0(6.7%) 18
27 二次函数y=ax +bx+c的图象 3.0(2.5%) 5
28 勾股定理 11.0(9.2%) 4,18
29 利用一般式求二次函数解析式 8.0(6.7%) 17
30 正方形的性质 3.0(2.5%) 10
31 二次函数的实际应用-销售问题 8.0(6.7%) 19
32 沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征 3.0(2.5%) 13
33 相似三角形的性质-对应面积 10.0(8.3%) 20
34 用列表法或树状图法求概率 8.0(6.7%) 21
35 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 13.0(10.8%) 7,23
36 确定圆的条件 3.0(2.5%) 10
37 平行四边形的判定与性质 10.0(8.3%) 23
38 相似三角形的性质-对应边 25.0(20.8%) 4,20,24
39 内错角相等，两直线平行 8.0(6.7%) 18
40 扇形面积的计算 3.0(2.5%) 12
41 无理数的概念 3.0(2.5%) 11
42 二次函数图象的平移变换 3.0(2.5%) 13
43 全等三角形中对应边的关系 12.0(10.0%) 24
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