龙岗区2025-2026学年第一学期高三期未质量监测
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级填写在答
题卡上。将条形码横贴在卡“条形码粘贴处”。
2、作答进择题时，进出每小题答案后，用2B笔把答题卡上对应题目选项的答策信息
点涂黑：如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答策，答策不能答在试卷上。
3,非进择题必须用黑色宇迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区战
内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上断的答策：不准使用铅
笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，
1.若复数z满足z1+225)=2+i(i为虚数单位)，则z=（)
A.5-5i
B.3-3i
c55;
D.55:
22
22
2.已知集合A=x|y=g-2},B={xx-<4,x∈Z,则A∩B的非空子集个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
3.数据3,5,7,10,13,15,18,20的第25百分位数是()
A.6
B.5
C.16
D.17
4.美加墨足球世界杯将于2026年6月至7月在美国、加拿大、墨西哥的16座城市举行，将是
首次有48支球队参赛的世界杯，现在要从小马、小丁、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事宜传、后勤、礼仪、服务四项不同工作，若小马和小丁只能从事前两项工作，其余三人
均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()种、
A.120
B.60
C.24
D.36
5.己知等差数列{an}的前n项和为5n,S,=28,S0=35,则4o=()
A.2
B.3
C.4
D.5
6.若圆x2+(U-2)=r2(r>0)上到直线y=2x+4的距离为V5的点有且仅有2个，则r的取值
范围是()
c5,5,
55）
D.(65,to)
高三数学第1页共4页
ln(x+),x≥0
7.已知f()=0-x<0
则f(x)>x+2-e的解集为（)
A,(et∞)
B.(e-1,+00)
C.(-o,e-1)
D.(-o,e)
8.已知抛物线y=2x,F为它的焦点，过F的直线交抛物线于A、B两点，过A、B两点分
别作垂直于准线的直线，垂足分别为小、A,英中48=8,044B=号，则P值为()
64
6
c号
D.6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.已知等比数列{an}满足马3=2，a,=8,公比为9，前n项和为Sn,前n项积为Tn,则(
)
A9=2
B.42m+1=2
c别
D.Tg=218
10.设函数f(x)=x+asinx,其中a为实数，则()
A.f(x)是定义在R上的奇函数
B.若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围为(-l,1)
C.若为f(x)在(0，)上的极小值点，当-3≤a≤-2时，一f()的最小值为√3
D.当（会+时，在02上有且仅有2个零点
山，已知双曲线C:花1>0，b>0)的左右焦点为R,乃，点P为双曲线C右支上-动
点，则下列说法正确的是()
A.若存在点P使得△PF2为等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为√互+1
B.△PRE2外接圆的面积的最小值为bπ
C.x轴与△PF,的内切圆的公共点为定点
D.设点I是△P E的内心，则直线，严的斜率之比为常数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.己知平面向量a=(x,),五=(-3,3-x),若a1(a+),则=
13.函数f)=a-气x(a>0,且a1)有两个不同的极值点，则a的取值范围为
高三数学第2页共4页2025-2026学年第一学期期末联测试卷
高三数学科目参考答案及评分细则
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C A D A C C B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题全部选对得 6分，部分
选对得部分分，有选错的得 0分．注：第 9题每选对一个得 3分，全选对得 6分；
第 10、11题每选对一个得 2分，选对两个得 4分，全对得 6分。
题号 9 10 11
答案 BD ACD ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
1 10
12、 10； 13、 ( ,1) (1,e)； 14、 ；
e 3
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．
2
15.【解析】(1)函数 f x 相邻两个零点的距离是 ，故周期T ，解得 2…2分
2
所以 f x sin 2x x ，又 为最大值点，所以 2 2k ,k Z ，解得12 12 2
2k
,k Z，结合 ，所以 ………………………………………………4分
3 2 3
故 f x sin 2x ……………………………………………………………………5分
3
2k 2x 2k ,k Z k 5 令 ，解得 x k ,k Z ，
2 3 2 12 12
f x 故 的单调递增区间为 k
5
,k ,k Z …………………………7分 12 12
(2)【法一】凑角法
由 f x 1 sin 0 2x0 ，且 x0 , ，则 2x3 3 12 3 0
3
, ……………………
2 8分
cos 2x 所以 0 0，故 cos
2x0
1 sin
2 2x 2 2 0 ……………10分
3 3 3 3
1
所以
cos 2x0 cos
2x 0
cos 2x cos sin 2x 0 0 sin
3 3 3 3 3 3
2 2 1 1 3 3 2 2
3 2 3 2 6 ……………12分
cos2x 3 2 2故 0 …………………………………………………………………………13分6
【法二】解方程法
由 f x0 sin
2x 1 0 ，且 x0 , ，则 2x
0
3 3 12 3 3
, ……………8分
2
所以 cos 2x
0
0，故 cos
2x
0 1
2 2
sin 2 2x0 ………10分 3 3 3 3
所以 sin 2x
1
0 sin 2x
3
0 cos 2x
1
0 ；
3 2 2 3
cos 2x 1 0 cos 2x
3
sin 2x 2 2 ；…………………………………………12分
3 2 0 2 0 3
3 2 2
解得 cos2x0 ………………………………………………………………………13分6
c 6 6
16.【解析】(1)由题意：e 2 2 2，得 c a，又由 a b c ，b 1
a 3 3
2 x2a2 1 a2 a2 3 2，解得 ，则C的方程为 y 1 …………………………4分
3 3
(2)依题意，过点 1,0 的直线 l斜率不为 0（提示：斜率等于 0 的情况不要遗漏），设直线
l : x my 1，
2
x2
y2 1,
3 m2联立 得 3 y2 2my 2 0，
x my 1,
设 P x1, y1 ,Q x2 , y
2m 2
2 ，则 y1 y2 2 , y1y2 2 ……………………6分m 3 m 3
OQ与椭圆的另一交点为G ， Q,G关于原点对称，即O为QG中点
S PQG 2S
3 3
OPQ ， S OPQ …………………………………………8分2 4
2
S 1 1 2
1 2m 8 3
OPQ 1 y1 y2 1 y1 y2 4y2 2 1y2 2 m2 3 m2 3 4
4 2
化简得：3m 2m 5 0 ……………………………………………………11分
(m2 1 )(3m2 5 )=0 2，解得m 1,m 1，……………………………………13分
直线 l的方程为： x y 1，即 x y 1 0 . ………………………………15分
17.【解析】(1)证明： BD CD,M 为 BD中点， CM BD ………………………2分
又平面 ABD 平面CBD，平面 ABD 平面 BCD BD，CM 平面 BCD
CM 平面 ABD………………………………………………………………………………4分
又 AM 平面 ABD， CM AM ………………………………………………………5分
(2)过M 作 BD垂线交 AD于G ，
MG，MD，MC两两垂直，故以M 为原点，MC 为 x轴，MD为 y 轴，MG为 z 轴建
立空间直角坐标系.B(0, 2,0)
ABD DBC BDC
3 ， 6 ，
MC 2 2 3 3 ,则C( ,0,0)，D(0,2,0) …………………………………………………7分
3 3
令 N (0,a, 3 (2 a))，易知平面BCD一个法向量为（0,0，1） ……………………………9分
3
BC 2 3
, 2,0
3
3
，BN 0,a 2, 2 a
3
3
令 BCN 一个法向量n x, y, z
2 3
x 2y 0 3
取 y 3 .
3
a 2 y 2 a z 0 3
3 a 2
则 x 3 , z
， n ( 3, 3, 3(a 2) ) ……………………………………12分
a 2 a 2
3 a 2
a 2 2 2
cos 1
36 a 2 9 a 2
则 . 12
9 a 2 2 2 (a 2)
2 a 2 2
12
a 2 2
2
解得 a 10或 ……………………………………………………………………14分
5
N 在线段 AD上，则 a 1,2 .
2 3存在这样的 N ，使二面角 N BC D为 .此时 | AN | .…………………………15分
3 5
18.【解析】(1)由全概率公式：
P X 2 3 P X1 2 P X 2 3∣X1 2 P X1 3 P X 2 3∣X1 3
2
初始状态 X 0 2，即 2在线、3宕机. 第 1个月选中在线节点的概率为 ，此时 X1 2；选中5
3 1 2
宕机节点的概率为 5，其中修复成功的概率为
p ，此时 X1 3；修复失败的概率为 ，此3 3
X 2 3 2 4 3 1 1时 1 2 . 所以 P X1 2 ,P X 3 ………………………3分5 5 3 5 1 5 3 5
再计算条件概率： P X 2 3 X
3 1 1 3 2 2 13
∣ 1 2 ,P X 2 3∣X1 3 5 3 5 5 5 3 15
P X 3 4 1 1 13 4 13 25 1 1 1代入得： 2 ,故当 p 时， P X 3 5 5 5 15 25 75 75 3 3 2 3
4
………………………………………………………………………………………………6分
(2) E X n 1 1
p
E X n p
p
，设 E X n 1
1
E X n 5 5
E X p pn 1 1 E X n
p
p,E X n 1 5 1
p
5 5 5 5
E X n 5
n n
E X 0 2, E X 0
p p
5 3 E xn 5 E(X0 ) 5 1 3 5 1 5
…………………………………………………………………………………………10分
n
E X 0 5 3
1
p
，第 n个月的期望宕机节点数为：
5
n
5 E X 5 5 3 1 p 3 1 p
n
n
5 5
每台空置节点每月损失 2万元，故第n个月的期望经济损失为：
2 3 1 p
n p n
5
6 1 （单位：万元）
5
从 第 1 个 月 开 始 的 总 期 望 经 济 损 失 为 Ln ： 当 n 时 ，
n 1
n n 1
p
1
p
Ln 6 p 1 6 5 5 30 1 p ，……………………………14分
n 1 5 1 1
p p 5
5
30 5
且 Ln 6题目要求 L 36
30 6 36 p 30 5 ，即： ，又因 p 1，且 0,1 ，
p p 42 7 7
故满足条件.
5
因此， p的最小值为 .………………………………………………………17分
7
ln(x 1) ' 1 ln(x 1)19.【解析】（1）由题意知， x ，定义域 ( 1, )， x ，
x 1 (x 1)2
'
令 x 0，则 1 x e 1，
'
令 x 0，则 x e 1，
5
所以 x 单调递增区间为 ( 1,e 1)，单调递减区间为 (e 1, )；…………4分
（2）由于 f x = ln 1+x a sin x，其中 x 0, ,a 1, ，
f'(x)= 1 acosx且 f(0)=0,f π =ln(1+π)>0…………………………………………5分
1+x
当 x [
, ) ' 时， f x 0，所以 f x 在[ , )上单调递增，无极值2 2
且 f ( ) ln(1 ) a 0，所以 f x 在区间[ , )上有一个零点；
2 2 2
当 x (0,
) f '' x 1时， 2 asin x，所以 f '' x 在 (0,
)上单调递增，
2 (x 1) 2
2
1
而 f '' 0 1 0 f ''， 2 a 0， 1
2
所以存在 k (0,
) '' ，使 f k 0，且 x (0, )时， f x 先单调递减，再单调递增，2 2
f '
又 0 1 a 0 f ' ， 0，所以存在 x 2 1 (k, )，使 f x1 0，且 x1 为极小值 2
点，…………………………………………………………………………………………………7分
所以 f x 在 (0, x1)上单调递减，在 (x1, )单调递增，2
而 f 0 0 f ， ln(1
) a 0
2 2
，
所以 f x 在 (0, )上无零点，…………………………………………………………………9分
2
所以 f x 在[ , )内有一个零点，在 (0, )内有唯一极值点.……………………10分
2 2
(3)由(1)知x π1∈(0, )，且 2x1>x1， …………………………………………………………11分2
故 2x1∈(x1,π)，由于 f x 在(x1,π)上单增，而x0,2x1均在区间(x1,π)上]
6
x0 2x故 和 1的大小与 f(x0)和 f 2x1 的大小相同。
由于f' x1 =
1 a cos x =0,故 a= 1 .…………………………………………12分
1+x 11 1+x1 cos x1
又 f 2x1 f x0 = ln 1+2x1 a sin 2x1 = ln 1+2x
1
1 sin 2x
2 sin x1
1+x cos x 1
= ln 1+2x1 ，
1 1 1+x1
x π对 ∈(0, ),记 g x =x sin x，g' x =1 cos x ≥0，故 g(x)在(0, π )上单增，从而 g x >g 0 =0，故 x> sin x.
2 2
所以ln 1+2x 2 sin x1 > ln 1+2x 2x11 1 ，…………………………………… 14分1+x1 1+x1
令 h x = ln 1+2x 2x = ln 1+2x + 2 2，其中 x∈(0, π )，
1+x 1+x 2
2
则h' x = 2 2 = 2x >0恒成立，………………………………………… 16分
1+2x (1+x)2 1+2x (1+x)2
π
所以 h x 在(0, )上单增，所以 h x >h 0 =0，即 f 2x1 f x0 >0成立，2
所以 f 2x1 >f x0 成立，即 2x1>x0.………………………………………………17分
7
