多边形的内角和教案
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文档简介
11.3.2 多边形的内角和
教学目标
知识与技能
1.掌握多边形的内角和计算方法，会进行相应的计算;理解多边形的外角和为一定值。
2.通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
过程与方法
1.让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法.
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
情感、态度与价值观
通过学生之间交流、探索，进一步激发学生的学习热情与求知欲望，养成良好的数学思维品质。
重点难点
重点：探索多边形的内角和公式及外角和。
难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形多边形的内角和与外角和。
教学方法：探究法，讲练结合法
教学过程
复习引入
问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？
生答：三角形的内角和等于180°.
问题：你知道正方形，长方形的内角和是多少度么？
生答：360度
你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？你想知道任意多边形的内角和是多少度?
今天我们来探究多边形的内角和与外角和。板书课题
探究新知
活动一 探究多边形的内角和
1.老师展示两个三角形拼成一个四边形得四边形得内角和为360度，动手画任意一个四边形，如何求出它的内角和？
分成2个三角形180°×2=360°
方法2：
分割成4个三角形180°×4-360°=360°
方法3：
分割成3个三角形180°×3-180°=360°
点拨：从一个顶点出发连接对角线，把四边形的问题转化为三角形的问题.师问哪种方法更简单？学生回答第一种，那么我们就用第一种方法继续研究五边形，六边形……n边形的内角和。
2.探索五边形六边形的内角和，推导出任意多边形内角和公式
问题1：你知道五边形的内角和是多少度吗？
问题2：你知道六边形的内角和是多少度吗？
问题3：列表探索n边形的内角和公式：
得出结论：
从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线。
将n边形分成了________个三角形
n边形内角和为: ________
练习1.
（1）12边形的内角和是多少？ （已知边数求内角和）
（2）一个多边形的边数为2700度，求它的边数 解：设这个多边形是n边形，依题意得，
180°×(n-2)=2700°
解得：n=17
答：这个多边形的边数是17.
. 已知多边形内角和求边数
活动2. 例题讲解
例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解:如图 ∠A+∠C=180°
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°
所以∠ B+∠D =360°－(∠A+∠C)
=360°－180°
=180°
总结：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
变式：如图，OB⊥AB，垂足为B，OC⊥AC，垂足为C,试判断∠A与∠1有什么关系？
相等
活动3. 探究多边形的外角和
例2 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
解：
五边形的任何一个外角加上它相邻的内角都等于180°。
因此五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，所得总和
等于5×180° 这个总和就是五边形的外角和加上内角和，
所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
5×180°-（5-2）×180°=2×180°=360°
探究：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
结论： n边形的外角和等于360°
议一议：
清晨 ，小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步。
(1)小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？
(2)猜想他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
师：从多边形的一个顶点出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到出发点，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角。
练习2
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)?180°，
多边形外角和等于360o，
∴ (n-2)?180°=2× 360o。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6。
活动4 探究正多边形的内角与外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
（3）一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
答：这个多边形是八边形。
一题多解
一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解1：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
答：这个多边形是八边形。
解2：由每个内角得１３５度可知每个外角得４５度
又因为外角和得３６０度，可求边数为３６０÷ ４５＝８
答：这个多边形是八边形。
活动5 小结
通过本节课你有哪些收获 ？
当堂反馈
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
答案 1. 8 2.900度 3.108度 4. B 5 n-3 n-2
拓展提高
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值。
提示连接BC
作业：必做题 11.3 必做题习题11.3 2、4、5
选做题 9、10
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
教学目标
知识与技能
1.掌握多边形的内角和计算方法，会进行相应的计算;理解多边形的外角和为一定值。
2.通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法.
过程与方法
1.让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法.
2.通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
情感、态度与价值观
通过学生之间交流、探索，进一步激发学生的学习热情与求知欲望，养成良好的数学思维品质。
重点难点
重点：探索多边形的内角和公式及外角和。
难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形多边形的内角和与外角和。
教学方法：探究法，讲练结合法
教学过程
复习引入
问题：你知道三角形的内角和是多少度吗？
生答：三角形的内角和等于180°.
问题：你知道正方形，长方形的内角和是多少度么？
生答：360度
你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？你想知道任意多边形的内角和是多少度?
今天我们来探究多边形的内角和与外角和。板书课题
探究新知
活动一 探究多边形的内角和
1.老师展示两个三角形拼成一个四边形得四边形得内角和为360度，动手画任意一个四边形，如何求出它的内角和？
分成2个三角形180°×2=360°
方法2：
分割成4个三角形180°×4-360°=360°
方法3：
分割成3个三角形180°×3-180°=360°
点拨：从一个顶点出发连接对角线，把四边形的问题转化为三角形的问题.师问哪种方法更简单？学生回答第一种，那么我们就用第一种方法继续研究五边形，六边形……n边形的内角和。
2.探索五边形六边形的内角和，推导出任意多边形内角和公式
问题1：你知道五边形的内角和是多少度吗？
问题2：你知道六边形的内角和是多少度吗？
问题3：列表探索n边形的内角和公式：
得出结论：
从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿对角线。
将n边形分成了________个三角形
n边形内角和为: ________
练习1.
（1）12边形的内角和是多少？ （已知边数求内角和）
（2）一个多边形的边数为2700度，求它的边数 解：设这个多边形是n边形，依题意得，
180°×(n-2)=2700°
解得：n=17
答：这个多边形的边数是17.
. 已知多边形内角和求边数
活动2. 例题讲解
例1.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解:如图 ∠A+∠C=180°
因为∠A+∠B+∠C+∠D=360°
所以∠ B+∠D =360°－(∠A+∠C)
=360°－180°
=180°
总结：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补。
变式：如图，OB⊥AB，垂足为B，OC⊥AC，垂足为C,试判断∠A与∠1有什么关系？
相等
活动3. 探究多边形的外角和
例2 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
解：
五边形的任何一个外角加上它相邻的内角都等于180°。
因此五边形的5个外角加上与它们相邻的内角，所得总和
等于5×180° 这个总和就是五边形的外角和加上内角和，
所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于
5×180°-（5-2）×180°=2×180°=360°
探究：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
结论： n边形的外角和等于360°
议一议：
清晨 ，小明沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步。
(1)小明每从一条小路转到下一条小路时，身体转过的角是哪个角？
(2)猜想他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
师：从多边形的一个顶点出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到出发点，然后转向出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角。
练习2
已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数。
解： 设多边形的边数为n
∵它的内角和等于 (n-2)?180°，
多边形外角和等于360o，
∴ (n-2)?180°=2× 360o。
解得: n=6
∴这个多边形的边数为6。
活动4 探究正多边形的内角与外角
回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
每个内角的度数是
每个外角的度数是
（3）一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
答：这个多边形是八边形。
一题多解
一个正多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是几边形？
解1：设这个多边形是n边形，由题意得
（n－2）×180o=n × 135o
解得：n=8
答：这个多边形是八边形。
解2：由每个内角得１３５度可知每个外角得４５度
又因为外角和得３６０度，可求边数为３６０÷ ４５＝８
答：这个多边形是八边形。
活动5 小结
通过本节课你有哪些收获 ？
当堂反馈
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
答案 1. 8 2.900度 3.108度 4. B 5 n-3 n-2
拓展提高
如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值。
提示连接BC
作业：必做题 11.3 必做题习题11.3 2、4、5
选做题 9、10
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。
1、若一个多边形的内角和等于1080°，则这个多边形的边数是_______。
2、七边形的内角和等于_______。
3、正五边形的每个内角是________。
4、下列角度中，不能成为多边形的内角和的是（ ）
（A）540° （B）580° （C）1800° （D）900°
5、从n边形的一个顶点出发画对角线，最多可以画_____条，这些对角线把n边形分成_____个三角形。