2026年广东省梅州市初中学业水平考试数学自编模拟题（二）（含答案）

2026年广东省初中学业水平考试数学自编模拟题（二）
【适用于广东省梅州市】
一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知四个数：－2，－1，0，1，其中最大的数是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．碳60是一种非金属单质，化学式为．是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球如图所示，又名足球烯．是单纯由碳原子结合形成的稳定分子．它的密度是，将数据1680用科学记数法可以表示是（ ）
A． B． C． D．
5．有一组数据：1，3，3，6，7，8，这组数据的中位数是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．若关于x的方程没有实数根，则m的最大整数值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的.如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA＝3OD，OB＝3OC)，然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段l的两个端点上，若CD＝4 cm，则AB的长是(　　)
A．16 cm B．12 cm C．8 cm D．6 cm
9．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形，过点作的延长线的垂线，垂足为点．连接，交的延长线于点．下列说法：①；②若，，则；③；④；⑤若，，则的面积为．正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分,共15分.（本大题共5小题）
11．将多项式因式分解为 ．
12．当的值是 时，代数式和的值互为相反数．
13．如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时， ；在点运动过程中，的最小值为 ．
14．王老板预定了一批羊排、羊腿、精品单肉，第一批预定羊排的数量（斤）是精品羊肉的2倍，羊腿的数量（斤）是羊排、精品羊肉的数量之和．由于品质优良预订量暴增，王老板按照相同的价格加紧采购了第二批，其中第二批羊腿的数量占第二批总数量的，此时两批羊腿总数量达到了羊排、羊腿、精品羊肉三种总量的，而羊排和精品羊肉的总数量之比为，若羊排、羊腿、精品羊肉的成本价分别为50元、42元、38元，羊排的售价为每斤64元，销售中，王老板为回馈顾客，将两批羊排总量的送邻居免费品尝，其余羊排、羊腿、精品羊肉全部实完，总利润率为，且羊腿的销售单价不高于羊排、精品羊肉销售单价之和的，则精品羊肉的单价最低为________元．
15．已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当时，则DP的长为 .
三、解答题（一）:本大题共3小题,每小题7分，共21分.（本大题共3小题）
16．计算：．
17．解方程组：.
18．老师布置了如下尺规作图的作业：
已知：如图．
求作：边上的高．
下面是小红设计的尺规作图过程：
作法：①延长线段 ；
②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D；
③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E；
④连接，交于点M．
如图所示，所以线段就是所求作的高线．
根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题：
将该作图证明过程补充完整：
由②可得： ．
由③可得： ．
∴ （ ）．（填推理的依据）
即是边上的 线．
四、解答题（二）:本大题共3小题,每小题9分，共27分.（本大题共3小题）
19．某校七、八年级共有600名学生，为了解该校七、八年级学生对诗词知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行诗词知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及以上为优秀）.相关数据统计、整理如下：七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 8 b
中位数 a 8
优秀率
（1）填空：__________，__________；
（2）现从七、八年级获得10分的3名学生中随机抽取2人参加市诗词知识竞赛，请用列表或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
20．综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则 ；
(3)当AB=m , BC=n时． ．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿 MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 ．
21．端午节假期期间，佳佳一家乘坐火车前往某市旅游，计划第二天租车自驾游．
公司 租车收费方式
甲 每日固定租金100元，另外每小时收费18元．
乙 无固定租金，直接以租车时间计费，每小时租费26元．
（1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出、与间的关系式；
（2）若佳佳只租车6个小时，在哪家公司租车合算？
（3）请你帮助佳佳计算租多少小时选甲公司租车合算．
五、解答题（三）:本大题共2小题, 第22小题13分,第23小题14分,共21分.（本大题共2小题）
22．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，交轴于点，对称轴为直线，连接，过点作交抛物线于点，点为轴上的动点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接，当的面积最大时，求出此时点的坐标及的最小值；
(3)如图2，在(2)的条件下，连接，将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点下方，满足时，请求出符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程．
23．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，直径DF交BC于点G．
(1)如图1，求证：∠BAD－∠BCF＝90°；
(2)如图2，连接AC，当∠BAC＝∠CFD＋∠ACD时，求证：CA＝CB；
(3)如图3，在（2）的条件下，AC交DF于点H，∠BAC＝∠DGB，，AC＝9，求△CDH的面积．
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】D
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】/
14．【答案】40
15．【答案】2或或
16．
解：原式=
17．
②×4-①，得：，
解得,
将代入②，得：，
解得：，
则方程组的解为.
18．解：如图，根据题中作法作图即可得；
由②可得：，（均为圆的半径）
由③可得：，（相同圆的半径）
∴是的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
即是边上的垂线．
19．（1）解：由中位数的定义，将七年级抽取学生的成绩从小到大排列，第8个数为8，
，
从条形统计图可知，7分的人数最多，
．
故此题答案为8，7；
（2）解：设七年级获得10分的同学为，八年级获得10分的两名同学分别为，，
列树状图得，
一共有6种可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有4种，
被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为．
【关键点拨】此题考查了统计与概率，条形统计图，中位数，众数，用列表法或树状图法求概率等知识，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
20．
(1)
解：，理由如下：
∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠CBE=90°，
∵E、F为BC，AB中点，
∴BE=BF，
∴△ABF≌△CBE，
∴AF=CE，
∵H为DF中点，G为AD中点，
∴GH=，
∴．
(2)
解：，
连接AF，如图所示，
由题意知，BF==1，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=2:3，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(3)
解：，
连接AF，如图所示，
由题意知，BF==，BE==，
∴，
由矩形ABCD性质及旋转知，∠ABC=∠CBE=90°，
∴△ABF∽△CBE，
∴AF：CE=m：n，
∵G为AD中点，H为DF中点，
∴GH=，
∴．
故答案为：．
(4)
解：过M作MH⊥AB于H，如图所示，
由折叠知，CM=PM，∠C=∠MPN，
∵PM平分∠APN，
∴∠APM=∠MPN，
∴∠C=∠APM，
∵AB=2，BC=3，
∴AC=，
设CM=PM=x，HM=y，
由知，，
即，，
∵HM∥BC，
∴△AHM∽△ABC，
∴，
即，，
∴，
解得：x=，
故答案为：．
21．（1）解：甲公司：费用由固定租金和每小时收费组成，
∴；
乙公司：费用仅按小时计费，无固定租金，
∴．
（2）解：当租车时间为6小时时，
甲公司的费用为：（元），
乙公司的费用为：（元），
∵，
∴租乙公司合算．
（3）解：当甲公司更合算时，需满足，
∴，
解得：，
∴租车时间超过小时时选甲公司合算．
22（1）解：（1）抛物线过点，对称轴为直线，则点，
则抛物线的表达式为，则，则，
则抛物线的表达式为；
（2）由抛物线的表达式可知点，
设直线的表达式为，
将点，的代入，
可得，解得，
∴直线的表达式为，
，则直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
，，
∴为定长，过点F作，
∵轴，是定直线，
∴的角度一定，
∴为定值，
∴的大小形状一定，即为定长，
∵的面积，
故最大时，的面积最大，
而，
故当时，最大，此时，即点，
作点关于轴的对称点为点，连接交轴于点，则点为所求点，
由对称轴可知，
∴为最小，
则的最小值为；
（3）∵，，
∴，直线的表达式为，
∴将该抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，相当于抛物线向左平移1个单位，向上平移3个单位，
则，
延长交轴于点，由点，的坐标得，
∴点坐标为，
又∵，
∴与关于轴对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴直线，
而直线的表达式为，
设直线的表达式为，则，，
∴直线的表达式为
联立上式和新抛物线的表达式得，
解得或，
即点或．
23．
(1)
如图1，连接AF，∵DF是圆的直径，
∴∠FAD＝90°，
∴∠BAF=∠BCF，
∵∠BAD=∠BAF+∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝∠DAF，
∴∠BAD－∠BCF＝90°．
(2)
如图2，连接BD，
则∠ABD＝∠ACD，∠DBC＝∠CFD，
∴∠ABC=∠ABD +∠DBC=∠CFD＋∠ACD，
∵∠BAC＝∠CFD＋∠ACD，
∴∠ABC=∠BAC，
∴CA＝CB．
(3)
如图3，延长BA，GD交于点N，
根据(2)得C A=CB，
∴∠ABC=∠BAC，
∵∠BAC＝∠DGB，
∴∠ABC=∠BAC=∠DGB，
∴△CAB∽△NBG，
∴，∠ACB=∠BNG，
∴BNAB=ACBG，∠ACB=∠BNG，
∵∠BCA＝∠BDA，
∴∠BND=∠BDA，
∵∠ABD＝∠DBN，
∴△ABD∽△DBN，
∴，
∴BNAB=，
∴=ACBG，
∵，AC＝9，
∴CG=4，BG=5,
∴=45，
∴BD=，BD=-(舍去)，
连接BD，BF，
∵四边形ABFD是圆的内接四边形，
∴∠NAD=∠BFD，
∵△ABD∽△DBN，
∴∠BAD=∠BDN，
∴180°-∠BAD=180°-∠BDN，
∴∠NAD=∠BDF，
∴∠BDF =∠BFD，
∴BD=BF=，
∵DF是直径，
∴∠DBF=90°，
∴∠BDF =∠BFD=45°，
∴FD=BD=，
设FG=x＜AG，则AG=-x，
∵∠BDG=∠FCG，∠DBG =∠CFG，
∴△BDG∽△FCG，
∴BGCG=DGFG，
∴x(-x)=20，
解得x=，x=2(舍去)，
∴FG=，DG=，
∴，
∴=，
过点O作OP⊥AC于点P，连接OC，
∵AC=9，FD=BD=，
∴OP==，
过点O作OM⊥DC于点M，交AC于点R，
∵DC=，FD=，
∴OM==，
设PR=x，
∵∠PRO=∠MRC，
∴∠POR=∠MCR，
tan∠POR = tan∠MCR =，
∴MR=
在直角三角形RMC中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得或(舍去)，
∴MR===，
过点H作HQ⊥DC于点Q，
∴tan∠QDH= tan∠CDF=，
∴DQ=2HQ，
设HQ=y，则DQ=2y，
∵HQ⊥DC，OM⊥DC，
∴HQ∥MR，
∴，
∴，
解得y=即HQ=，
∴=4．
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