2025-2026学年福建省厦门市高三期末自编模拟题数学试题（三）（含答案）

2025-2026学年福建省厦门市高三期末自编模拟题数学试题（三）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 的两个非空真子集 满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是（ ）
A．A∩B＝ B．A∩B＝B C．( UA)∪( UB) D．( UB)∪A＝A
2．数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（ ）
A．7.5 B．8 C．7 D．4
3．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为(　　)
A． B．1 C．2 D．e
4．如图，正四面体的棱长为2，点E在四面体外侧，且是以E为直角顶点的等腰直角三角形．现以为轴，点E绕旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线与平面所成角的正弦值的平方为（ ）

A． B． C． D．
5．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（ ）
A．从点O出发，朝北偏西方向移动
B．从点O出发，朝北偏西方向移动
C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
7．把6名技术员分到3个车间工作，分到3个车间的人数各不相同，每个车间至少1人，则不同的分配方案共有（　　）
A．270种 B．540种 C．720种 D．360种
8．在中，角A B C对边分别为a b c，且，当，时，的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（ ）
A．的实部是
B．
C．在复平面内对应的点在第一象限
D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称
10．已知随机变量X的分布列如下：
1 2 3 … n
…
若数列是等差数列，则（ ）
A．若n为奇数，则 B．
C．若数列单调递增，则 D．
11．定义在上的单调函数满足：、，，且，则（ ）
A． B．记，则为幂函数
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．过双曲线 焦点 的直线与 的两条渐近线的交点分分别为M、N，当 时， .则 的离心率为______.
13．设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 ．
14．在三棱锥中，，且.记直线，与平面所成角分别为，，已知，当三棱锥的体积最小时，则三棱锥外接球的表面积为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知抛物线，垂直于轴的直线与圆相切，且与交于不同的两点．
(1)求p；
(2)已知，过的直线与抛物线交于两点，过作直线的垂线，与直线分别交于两点，求证：．
16．
（1）求的最小正周期 单调递增区间
（2）在区间有两个不等的实根，求m的范围
17．如图，在倒放的体积为8的直三棱柱中，底面是腰长为2的等腰直角三角形，.
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点到平面AMN的距离.
18．已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为.
（1）当时，求；
（2）当、时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
19．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明.
参考答案
1．【答案】D
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】C
9．【答案】BCD
10．【答案】ACD
11．【答案】ABD
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．（1）垂直于轴的直线与圆相切，且与交于不同的两点
得的方程为．又，
不妨设，代入抛物线，解得．
（2）

①当直线中有一条直线斜率不存在时，
不妨设直线的斜率不存在，则，此时直线的斜率为0．
，．
②当直线斜率均存在时，
记直线斜率为，直线斜率为到直线的距离为，到直线的距离为，
设，则，
．
由,得，则，
．
因为，同理，
，
即,所以≌.
则．
16．（1）由题意有，
所以，
所以的最小正周期为，
令，
所以，
所以的单调递增区间为；
（2）由有，
作出的图象：

由图可知，在区间有两个不等的实根，
所以
所以.
17．（1）由题可知在直三棱柱中，则两两垂直，
，故，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
底面是腰长为2的等腰直角三角形，所以，
由，则，
在，则，
所以点为的中点，又，则点是的中点，
则，所以，
由，则，
由，则，
由，且AM，AN都在平面AMN内，则平面AMN；
（2）设平面PMN的一个法向量，
所以，取，则，
所以，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
（3）由（1）知平面AMN的一个法向量为，且，
所以点到平面AMN的距离.
18．（1）当时，，
因为，所以，数列是首项为、公比为的等比数列，
当时，；当时，，
故.
（2）①证明：当，时，，
则，，
若存在且，使得，
则，这与矛盾，
故，，
则，
因为，
所以数列是首项为、公比为2的等比数列.
②因为数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，，，，
因为，
所以，即，
当时，，
则
（当且仅当时取“”），
故，
因为，
所以存在且的最小值为2.
19．（1）的定义域为，
当时，，导函数，
令，得或；
令，得且；
所以的单调增区间为和，
单调减区间为和；
（2）当时，只有1个零点，不符合题意；
当时，若，则；若，则，不符合题意，所以.
当时，，所以在和上均单调递增.
当时，由，
，
所以在上有一个零点；
当，同理，，
所以在上有一个零点，所以的范围是，
因为的两个零点为，
所以，即，所以，
同理，，
所以，
若，即，
则，
所以的两个零点互为倒数，即，
所以（等号不成立），所以，
所以，
所以得证.
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