课时6 数列的通项公式
[备考指南] 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．
命题点1 an与Sn的关系求通项公式
【典例1】 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[听课记录]
反思领悟 Sn与an的递推关系型求通项公式的方法
利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
1．(2025·江苏泰州模拟)已知数列{an}满足＋…＋＝，则{an}的通项公式为________．
2．[高考真题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．
(1)求证：数列}是等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．
命题点2 累加、累乘法求通项公式
【典例2】 (1)在数列{an}中，a1＝3，且an＝an－1＋lg (n≥2)，则a100＝________．
(2)已知数列{an}的首项a1＝2 026，前n项和满足Sn＝n2an，则a2 026＝________．
[听课记录]
反思领悟
1．已知an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an．
2．已知＝f(n)，可用“累乘法”求an．
1．[教材母题改编]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第n层有an个球，则an＝________，则数列的前2 025项和为________．
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝________．
命题点3 构造法求通项公式
【典例3】 (1)[教材母题改编]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a10＝( )
A． B．
C． D．
(2)在数列中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6，则的通项公式是an＝________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，则an＝________．
[听课记录]
反思领悟 构造法求通项公式的方法
(1)an＋1＝pan＋q(p≠1)型：通常构造an＋1＋x＝p(an＋x)求an．
(2)an＋1＝pan＋f(n)( p≠0，1)型：通常构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]求an．
1．(多选)(2025·浙江绍兴模拟)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝2，则( )
A．a3＝11
B．{an－1}是等比数列
C．an＝3·2n-1－1
D．{an＋1－an}是等比数列
2．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 024，则k＝( )
A．253 B．506 C．1 012 D．2 024
3．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n(n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________．
数列通项公式与离散函数的特性
高考数学命题常将数列通项公式与函数解析式类比，结合递推关系考查代数变形能力，尤其在证明与数列有关的不等式中，通常要研究数列增减性，多通过作差或作商判断，必要时常融合函数单调性处理．
【典例4】 (2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝，证明：bn[听课记录]
课时6 数列的通项公式
典例1 解：(1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，
代入＝2可得，＝2，
整理可得2bn-1＋1＝2bn，即bn－bn-1＝(n≥2)．
又＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝＝2，所以Sn＝，
当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝，
当n＝1时，a1＝不满足上式，
故an＝
考教衔接
1．an＝ [数列{an}中，＋…＋，
当n≥2时，＋…＋，
两式相减得，
解得an＝，
而＝1，即a1＝1满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝．]
2．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝，
所以＝2；当n≥2时，Sn＝＝2(常数)，故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知，＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．
当n≥2时，bn＝．
当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，
故bn＝
典例2 (1)5 (2) [(1)a2＝a1＋lg 2，
a3＝a2＋lg ，
a4＝a3＋lg ，
…
a100＝a99＋lg ，
以上各式累加得a100＝a1＋lg 2＋lg＋…＋lg＝3＋lg 100＝5．
(2)因为Sn＝n2an，所以Sn-1＝(n－1)2an-1(n≥2)，
两式相减得an＝n2an－(n－1)2an-1，
所以(n≥2)．
所以··…····…··，
所以(n≥2)，
所以a2 026＝．]
考教衔接
1． [已知“三角垛”最上层有1个球，即a1＝1；第二层有3个球，即a2＝3；第三层有6个球，即a3＝6．
通过观察可得an－an-1＝n(n≥2)，那么有：
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
…
an－an-1＝n，
将以上n－1个式子相加可得：an－a1＝2＋3＋…＋n．
因为a1＝1，所以an＝1＋2＋3＋…＋n．
根据等差数列求和公式可得an＝(n∈N*)，
得．
可得S2 025＝＋…＋
＝21－＋ ＋…＋＝2 1－＝．]
2．(n＋1)·2n-2 [当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn-1，
即Sn＝an+1，Sn-1＝an，
则Sn－Sn-1＝an＝an，
即，
则，
则an＝··…··a1＝(n＋1)·2n-2，
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
故an＝(n＋1)·2n-2．]
典例3 (1)C (2)3n－2(n－1) (3)3n－2n
[(1)由a1＝1，an+1＝，得an≠0，＋1，则，
而＋1＝2，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即＋1＝2n，
因此an＝，所以a10＝．故选C．
(2)因为an+1＝3an＋4n－6，设an+1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，y∈R，
整理可得an+1＝3an＋2xn＋2y－x，
所以
所以an+1＋2－2＝3(an＋2n－2)，
且a1＋2×1－2＝a1＝3，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－2．
(3)法一：由题意知an+1＝2an＋3n，等式两边同时除以2n得，
令bn＝，则bn+1－bn＝．
由递推公式得，
当n≥2时，b2－b1＝，
b3－b2＝，
…
bn－bn-1＝，
上述各式相加得bn－b1＝＋…＋－3，
又∵b1＝＝1，∴bn＝－2，
又b1＝1满足上式，
∴an＝2n-1·bn＝2n-1＝3n－2n．
法二：由题意知an+1＝2an＋3n，等式两边同时除以3n得＋1，
化简得·＋1，
令bn＝，则bn+1＝bn＋1，
等式两边同时减3得bn+1－3＝(bn－3)．
又b1－3＝－3＝－2，
则{bn－3}是以－2为首项，为公比的等比数列，
∴bn－3＝(－2)·，
化简得bn＝－＋3，
∴an＝3n-1·bn＝3n-1＝3n－2n．
法三：待定系数法构造{an＋λ·3n}为等比数列．
设an+1＋λ·3n+1＝2(an＋λ·3n)，已知an+1＝2an＋3n，
对比系数求得λ＝－1，即an+1－3n+1＝2(an－3n)，又a1－3＝－2，
∴数列{an－3n}是以－2为首项，2为公比的等比数列，
∴an－3n＝(－2)·2n-1＝－2n，
∴an＝3n－2n．
考教衔接
1．ACD [由an+1＝2an＋1得an+1＋1＝2(an＋1)，则数列{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝3·2n-1，从而an＝3·2n-1－1，C正确；
由an＝3·2n-1－1得a3＝3×23-1－1＝11，A正确；
由an－1＝3·2n-1－2得a1－1＝1，a2－1＝4，a3－1＝10，
故数列{an－1}不是等比数列，B错误；
由an+1－an＝3·2n－1－3·2n-1＋1＝3·2n-1，得＝2，
故数列{an+1－an}是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确．故选ACD．]
2．B [因为an+1＝4an－12n＋4，
所以an+1－4(n＋1)＝4(an－4n)．
因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，
所以an＝4n．由ak＝4k＝2 024，解得k＝506．故选B．]
3．an＝n·3n-1 [将an+1＝3an＋3n两边同时除以3n+1，
得．
由等差数列的定义知，数列为公差的等差数列，
所以＋(n－1)×，故an＝n·3n-1．]
典例4 解：(1)证明：由an+1＝·，
则1－·1－，
所以数列是首项为1－的等比数列．
(2)由(1)得1－，
解得an＝．
(3)证明：bn＝·
＝．
令f(n)＝3×－2，n∈[1，＋∞)，
因为f(n)＝3×－2在n∈[1，＋∞)上单调递增，则f(n)≥f(1)＝3×>0，
所以数列在n∈N*上递减，从而数列{bn}在n∈N*上递增，且bn<1，
故得bn1/4(共67张PPT)
专题二 数列
课时6 数列的通项公式
[备考指南] 数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现化归思想在数列中的应用．
命题点1 an与Sn的关系求通项公式
【典例1】 (2021·全国乙卷)记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知＝2．
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
[解] (1)证明：因为bn是数列{Sn}的前n项积，
所以n≥2时，Sn＝，代入＝2可得，＝2，整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，bn＝，则＝2，所以Sn＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝－，当n＝1时，a1＝不满足上式，
故an＝
反思领悟 Sn与an的递推关系型求通项公式的方法
利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，求an；或者转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an．
1．(2025·江苏泰州模拟)已知数列{an}满足＋…＋＝，则{an}的通项公式为__________．
an＝
an＝ [数列{an}中，＋…＋＝，
当n≥2时，＋…＋＝，
两式相减得＝，解得an＝，
而＝1，即a1＝1满足上式，
所以{an}的通项公式为an＝．]
2．[高考真题改编]已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝．
(1)求证：数列}是等差数列；
(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn＝，求数列{bn}的通项公式．
[解] (1)证明：当n＝1时，a1＝，所以＝2；当n≥2时，Sn＝，所以＝，所以＝2(常数)，故数列}是以2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知＝2＋(n－1)×2＝2n，得Tn＝2n．
当n≥2时，bn＝＝＝．
当n＝1时，b1＝T1＝2，不符合上式，故bn＝
【教用·备选题】
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，则a4＝( )
A．16 B．32 C．54 D．162
√
C [当n≥2，n∈N*时，an＝2Sn－1＋2，所以an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝6＝3a1，所以数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则a4＝a1q3＝54．]
2．已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，
n∈N*，则{an}的通项公式是an＝____________．
[因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，①
所以a1＝22＝4，当n≥2，n∈N*时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2，②
①－②可得(2n－1)an＝2n＋1，
所以an＝(n≥2，n∈N*)，当n＝1时，a1＝4不满足上式，
所以数列{an}的通项公式是an＝]
命题点2 累加、累乘法求通项公式
【典例2】 (1)在数列{an}中，a1＝3，且an＝an－1＋lg (n≥2)，则a100＝________．
(2)已知数列{an}的首项a1＝2 026，前n项和满足Sn＝n2an，则a2 026＝________．
5
(1)5 (2) [(1)a2＝a1＋lg 2，
a3＝a2＋lg ，
a4＝a3＋lg ，
…
a100＝a99＋lg ，
以上各式累加得a100＝a1＋lg 2＋lg＋lg＋…＋lg＝3＋lg 100＝5．
(2)因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，
两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，
所以＝(n≥2)．
所以··…··＝··…··＝，
所以＝(n≥2)，
所以a2 026＝＝．]
反思领悟 1．已知an－an－1＝f (n)，可用“累加法”求an．
2．已知＝f (n)，可用“累乘法”求an．
1．[教材母题改编]如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第n层有an个球，则an＝________，则数列的前2 025项和为________．
[已知“三角垛”最上层有1个球，即a1＝1；第二层有3个球，即a2＝3；第三层有6个球，即a3＝6．
通过观察可得an－an－1＝n(n≥2)，那么有：
a2－a1＝2，
a3－a2＝3，
…
an－an－1＝n，
将以上n－1个式子相加可得：an－a1＝2＋3＋…＋n．
因为a1＝1，所以an＝1＋2＋3＋…＋n．
根据等差数列求和公式可得an＝(n∈N*)，
得＝＝2．
可得S2 025＝＋…＋
＝2＝2＝．]
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝___________．
(n＋1)·2n-2 [当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1，
即Sn＝an＋1，Sn－1＝an，
则Sn－Sn－1＝an＋1－an＝an，
即＝，
(n＋1)·2n-2
则＝＝，…，＝，
则an＝··…··a1＝(n＋1)·2n-2，
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
故an＝(n＋1)·2n-2．]
【教用·备选题】
1．(2025·浙江宁波三模)已知数列{an}中，a2＝1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn＝nan，则a2 025的值为( )
A．2 023 B．2 024
C．2 025 D．2 026
√
B [数列{an}中，满足2Sn＝nan，
当n≥3时，可得2Sn－1＝(n－1)an－1，
两式相减，可得2an＝nan－(n－1)an－1，
即(n－2)an＝(n－1)an－1，所以＝，
又a2＝1，
则a2 025＝a2××…×＝1××…×＝2 024．
故选B．]
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝(2n＋1)an＋1(n∈N*)，则{an}的通项公式为__________．
an＝2n－1 [令n＝1，得a1＝1．
因为4Sn＝(2n＋1)an＋1(n∈N*)，所以4Sn－1＝(2n－1)an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
两式相减得4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1(n≥2，n∈N*)，
即(2n－3)an＝(2n－1)an－1，
an＝2n－1
所以＝(n≥2，n∈N*)，
所以··…·＝×…×，即＝2n－1，
所以an＝2n－1(n≥2，n∈N*)，
又a1＝1，符合上式，所以an＝2n－1(n∈N*)．]
命题点3 构造法求通项公式
【典例3】 (1)[教材母题改编]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a10＝( )
A． B． C． D．
(2)在数列中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6，则的通项公式是an＝___________．
(3)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，则an＝________．
√
3n－2(n－1)
3n－2n
(1)C (2)3n－2(n－1) (3)3n－2n [(1)由a1＝1，an＋1＝，得an≠0，＝＝＋1，则＋1＝2，
而＋1＝2，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，即＋1＝2n，
因此an＝，所以a10＝＝．
故选C．
(2)因为an＋1＝3an＋4n－6，设an＋1＋x＋y＝3，其中x，y∈R，
整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，
所以解得
所以an＋1＋2－2＝3，
且a1＋2×1－2＝a1＝3，
所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，所以an＝3n－2．
(3)法一：由题意知an＋1＝2an＋3n，等式两边同时除以2n得＝，令bn＝，则bn＋1－bn＝．
由递推公式得，当n≥2时，b2－b1＝，
b3－b2＝，
…
bn－bn－1＝，
上述各式相加得bn－b1＝＋＋…＋＝＝－3，
又∵b1＝＝1，∴bn＝－3＋b1＝－2，
又b1＝1满足上式，
∴an＝2n-1·bn＝2n-1＝3n－2n．
法二：由题意知an＋1＝2an＋3n，等式两边同时除以3n得＝＋1，
化简得＝·＋1，令bn＝，则bn＋1＝bn＋1，
等式两边同时减3得bn＋1－3＝(bn－3)．
又b1－3＝－3＝－2，则{bn－3}是以－2为首项，为公比的等比数列，∴bn－3＝(－2)·，化简得bn＝－＋3，
∴an＝3n-1·bn＝3n-1＝3n－2n．
法三：待定系数法构造{an＋λ·3n}为等比数列．
设an＋1＋λ·3n+1＝2(an＋λ·3n)，已知an＋1＝2an＋3n，对比系数求得λ＝－1，即an＋1－3n+1＝2(an－3n)，又a1－3＝－2，
∴数列{an－3n}是以－2为首项，2为公比的等比数列，∴an－3n＝(－2)·2n-1＝－2n，
∴an＝3n－2n．
反思领悟 构造法求通项公式的方法
(1)an＋1＝pan＋q(p≠1)型：通常构造an＋1＋x＝p(an＋x)求an．
(2)an＋1＝pan＋f (n)( p≠0，1)型：通常构造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]求an．
1．(多选)(2025·浙江绍兴模拟)已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝2，则( )
A．a3＝11
B．{an－1}是等比数列
C．an＝3·2n-1－1
D．{an＋1－an}是等比数列
√
√
√
ACD [由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，则数列{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝3·2n-1，从而an＝3·2n-1－1，C正确；
由an＝3·2n-1－1得a3＝3×23-1－1＝11，A正确；
由an－1＝3·2n-1－2得a1－1＝1，a2－1＝4，a3－1＝10，故数列{an－1}不是等比数列，B错误；
由an＋1－an＝3·2n－1－3·2n-1＋1＝3·2n-1，得＝2，
故数列{an＋1－an}是以3为首项，2为公比的等比数列，D正确．故选ACD．]
2．已知数列{an}满足an＋1＝4an－12n＋4，且a1＝4，若ak＝2 024，则k＝( )
A．253 B．506 C．1 012 D．2 024
√
B [因为an＋1＝4an－12n＋4，
所以an＋1－4(n＋1)＝4(an－4n)．
因为a1＝4，所以a1－4×1＝0，故{an－4n}为常数列，所以an＝4n．由ak＝4k＝2 024，解得k＝506．故选B．]
3．已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n(n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为____________．
an＝n·3n-1 [将an＋1＝3an＋3n两边同时除以3n+1，得＝，即＝．
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列，
所以＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n-1．]
an＝n·3n-1
【教用·备选题】
[教材母题改编]某牧场今年年初牛的存栏数为1 200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1 200，则c10大约为
( )
(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)
A．1 429 B．1 472
C．1 519 D．1 571
√
B [由题可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1 000．
即cn－1 000＝1.1(cn－1－1 000)，
故数列{cn－1 000}是首项为c1－1 000＝200，公比为1.1的等比数列．
所以cn－1 000＝200×1.1n-1，
则cn＝200×1.1n-1＋1 000，
所以c10＝200×1.19＋1 000≈200×2.358＋1 000≈1 472．
故选B．]
高考数学命题常将数列通项公式与函数解析式类比，结合递推关系考查代数变形能力，尤其在证明与数列有关的不等式中，通常要研究数列增减性，多通过作差或作商判断，必要时常融合函数单调性处理．
数列通项公式与离散函数的特性
【典例4】 (2025·八省联考)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝，证明：bn[解] (1)证明：由an＋1＝得＝＝·，
则1－＝·＝，
所以数列是首项为1－＝，公比为的等比数列．
(2)由(1)得1－＝＝，
解得an＝＝．
(3)证明：bn＝＝·＝＝＝＝1－．
令f (n)＝3×－2，n∈[1，＋∞)，
因为f (n)＝3×－2在n∈[1，＋∞)上单调递增，则f (n)≥f (1)＝3×－2＝>0，
所以数列在n∈N*上递减，从而数列{bn}在n∈N*上递增，且bn<1，
故得bn【教用·备选题】
已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝3an－2n．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设bn＝an＋λ·2n－·，若是递增数列，求实数λ的取值范围．
[解] (1)证明：由Sn＝3an－2n知a1＝S1＝3a1－2，得a1＝1．
由已知有an＋1＝Sn＋1－Sn＝＝3an＋1－3an－2n，
故an＋1＝an＋2n-1，得an＋1－2n+1＝an＋2n-1－2n+1＝an－3·2n-1＝．
而a1－21＝1－2＝－1≠0，故数列是首项为－1，公比为的等比数列．
(2)根据(1)的结论有an－2n＝－，即an＝2n－．
所以bn＝an＋λ·2n－·＝·2n－·．
若{bn}是递增数列，则bn＋1>bn恒成立，即·2n+1－·>·2n－(λ＋2)·．
所以2·2n－·>·2n－·，
化简得到3·4n>·3n，即3(1＋λ)＞(λ＋2)．
①当λ＋2＜0，即λ＜－2时，＜，因为＞0，
且n→＋∞时，→0，故≤0，所以－2＜λ≤－1(舍去)．
②当λ＋2＝0，即λ＝－2时，－3＞0，矛盾，故λ＝－2舍去．
③当λ＋2＞0，即λ＞－2时，＞，因为＝，故＞，所以λ＞－，满足λ＞－2．
综上可得，λ的取值范围为．
课后限时练6 数列的通项公式
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [由题意可得an＋1－an＝a1＋2n，则a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4，…，a10－a9＝a1＋18，将以上等式左右两边分别相加得a10－a1＝9a1＋＝9a1＋90，即a10＝10a1＋90．又a10＝130，所以a1＝4．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
2．(2025·浙江丽水二模)记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则a3＋S4＝( )
A．33 B．46 C．49 D．42
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A [数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2Sn，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，当n≥2时，an＝2Sn－1，则an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＋1＝3an，因此当n≥2时，数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，an＝2·3n-2，又a1＝1不符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝
a3＝6，S4＝27，所以a3＋S4＝33．故选A．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B [因为{Sn＋nan}为常数列且a1＝1，所以Sn＋nan＝2，①
当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2，②
①－②，得(n＋1)an＝(n－1)an－1，即＝，
从而an＝a1····…·＝1××…×，得an＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，故an＝．
故选B．]
4．[教材母题改编]如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n个图案中白色三角形的个数为an，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n≥1)，那么下面各数中是数列{an}中的项的是( )
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
A．121 B．122 C．123 D．124
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
A [因为a1＝1，an＋1＝3an＋1(n≥1)，
所以an＋1＋＝3，
又a1＋＝，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以an＋＝×3n-1，所以an＝．
对于A，当an＝＝121时，3n＝243，解得n＝5，故A正确；
对于B，当an＝＝122时，3n＝245，此时n N*，故B错误；
对于C，当an＝＝123时，3n＝247，
此时n N*，故C错误；
对于D，当an＝＝124时，3n＝249，
此时n N*，故D错误．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·湖北宜昌模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，若λan≥2log2an＋3对任意正整数n恒成立，则实数λ的最小值为( )
A．4 B． C．3 D．
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D [由Sn＝2an－2，令n＝1，解得a1＝2，
当n≥2时，由 得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即＝2(n≥2)，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，由λan≥2log2an＋3，即λ≥恒成立，令cn＝，则λ≥(cn)max，而cn＋1－cn＝－<0，所以cn＋1题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则下列说法正确的有( )
A．数列{an＋1－an}为等差数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝2n－1
D．Sn＝2n+1－n－2
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
BCD [因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以an＋1－an＝2(an－an－1)，
则{an＋1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得an＋1＝3an－2an－1 an＋1－2an＝an－2an－1，a2－2a1＝1，
所以数列{an＋1－2an}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；
因为an＋1－an＝2n，所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋4＋…＋2n-1＝＝2n－1，故C正确；
Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2，故D正确．故选BCD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(2025·广东广州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋
2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为___________．
an＝3n－2n-1 [由a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，可得an＋1＋2n＝3(an＋2n-1)，
所以{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n-1＝3n，
则an＝3n－2n-1，n∈N*．]
an＝3n－2n-1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·河北张家口一模)已知数列{an}满足a1＝2，an>0且＝＋1，则－n＝________．
4－
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
4－ [由题得＝
＝＋…＋＋(n－1)＋4
＝＋(n－1)＋4＝n＋4－，
当n＝1时，n＋4－＝1＋4－1＝4＝符合题意，
所以－n＝n＋4－－n＝4－．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．[创新题]对于给定的数列{an}，{bn}和正整数m，若函数f (x)＝(ai－bi)x中x的系数为正数，称f (x)为正比例近似函数．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＝2an－1＋1，bn＝log2(an＋1)，若f (x)为正比例近似函数，则m的取值范围为________________．
{m|m≥2，m∈N*}
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
{m|m≥2，m∈N*} [由an＝2an－1＋1，得an＋1＝2(an－1＋1)．
又a1＋1＝2，则数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2n，则an＝2n－1，bn＝log22n＝n．
令cn＝an－bn，
则cn＋1－cn＝2n+1－1－(n＋1)－(2n－1－n)＝2n－1>0，
所以cn≥c1＝0，所以当n>1时，an－bn>0，则当m>1时，(ai－bi)>0，故m的取值范围为{m|m≥2，m∈N*}．]
谢 谢！课后限时练6 数列的通项公式
1．已知数列{an}满足an＋1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2025·浙江丽水二模)记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则a3＋S4＝( )
A．33 B．46 C．49 D．42
3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A． B．
C． D．
4．[教材母题改编]如图所示的三角形图案是谢尔宾斯基三角形．已知第n个图案中白色三角形的个数为an，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n≥1)，那么下面各数中是数列{an}中的项的是( )
A．121 B．122 C．123 D．124
5．(2025·湖北宜昌模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2，若λan≥2log2an＋3
对任意正整数n恒成立，则实数λ的最小值为( )
A．4 B． C．3 D．
6．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则下列说法正确的有( )
A．数列{an＋1－an}为等差数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝2n－1
D．Sn＝2n+1－n－2
7．(2025·广东广州模拟)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n-1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________．
8．(2025·河北张家口一模)已知数列{an}满足a1＝2，an>0且＝＋1，则－n＝________．
9．[创新题]对于给定的数列{an}，{bn}和正整数m，若函数f(x)＝(ai－bi)x中x的系数为正数，称f(x)为正比例近似函数．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＝2an－1＋1，bn＝log2(an＋1)，若f(x)为正比例近似函数，则m的取值范围为________．
课后限时练6
1．D [由题意可得an+1－an＝a1＋2n，则a2－a1＝a1＋2，a3－a2＝a1＋4，…，a10－a9＝a1＋18，将以上等式左右两边分别相加得a10－a1＝9a1＋＝9a1＋90，即a10＝10a1＋90．又a10＝130，所以a1＝4．]
2．A [数列{an}中，a1＝1，an+1＝2Sn，当n＝1时，a2＝2S1＝2a1＝2，
当n≥2时，an＝2Sn-1，则an+1－an＝2(Sn－Sn-1)＝2an，即an+1＝3an，
因此当n≥2时，数列{an}是以2为首项，3为公比的等比数列，an＝2·3n-2，
又a1＝1不符合上式，故数列{an}的通项公式为an＝a3＝6，S4＝27，所以a3＋S4＝33．故选A．]
3．B [因为{Sn＋nan}为常数列且a1＝1，
所以Sn＋nan＝2，①
当n≥2时，Sn-1＋(n－1)an-1＝2，②
①－②，得(n＋1)an＝(n－1)an-1，即，
从而an＝a1····…·×…×，得an＝，
当n＝1时，a1＝1也满足上式，故an＝．故选B．]
4．A [因为a1＝1，an+1＝3an＋1(n≥1)，
所以an+1＋，
又a1＋为首项，3为公比的等比数列，所以an＋×3n-1，所以an＝．
对于A，当an＝＝121时，3n＝243，
解得n＝5，故A正确；
对于B，当an＝＝122时，3n＝245，
此时n N*，故B错误；
对于C，当an＝＝123时，3n＝247，
此时n N*，故C错误；
对于D，当an＝＝124时，3n＝249，
此时n N*，故D错误．]
5．D [由Sn＝2an－2，令n＝1，解得a1＝2，
当n≥2时，由 得an＝Sn－Sn-1＝2an－2an-1，即＝2(n≥2)，
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n，
由λan≥2log2an＋3，即λ≥恒成立，令cn＝，则λ≥(cn)max，
而cn+1－cn＝－<0，所以cn+1所以λ≥，即λ的最小值为．
故选D．]
6．BCD [因为an+1＝3an－2an-1(n≥2)，
所以an+1－an＝2(an－an-1)，
则{an+1－an}是首项为a2－a1＝2，公比为2的等比数列，故A错误；
根据题意得an+1＝3an－2an-1 an+1－2an＝an－2an-1，a2－2a1＝1，
所以数列{an+1－2an}是首项为1，公比为1的等比数列，故B正确；
因为an+1－an＝2n，
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝1＋2＋4＋…＋2n-1＝＝2n－1，故C正确；
Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝－n＝2n+1－n－2，故D正确．故选BCD．]
7．an＝3n－2n-1 [由a1＝2，an+1＝3an＋2n-1，n∈N*，可得＋ 2n ＝3(an ＋ 2n-1)，
所以{an＋2n-1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n-1＝3n，
则an＝3n－2n-1，n∈N*．]
8.4－ [由题得＝()＋()＋…＋()＋
＝＋…＋＋(n－1)＋4
＝＋(n－1)＋4＝n＋4－，
当n＝1时，n＋4－符合题意，
所以．]
9．{m|m≥2，m∈N*} [由an＝2an-1＋1，得an＋1＝2(an-1＋1)．
又a1＋1＝2，则数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2n，则an＝2n－1，bn＝log22n＝n．
令cn＝an－bn，
则cn+1－cn＝2n+1－1－(n＋1)－(2n－1－n)＝2n－1>0，
所以cn≥c1＝0，
所以当n>1时，an－bn>0，则当m>1时，(ai－bi)>0，故m的取值范围为{m|m≥2，m∈N*}．]
1/2
