课后限时练16 圆锥曲线的定义、方程及性质
1．(2025·湖北鄂州一模)椭圆C：＝1(a>b>0)经过(，0)和(0，2)两点，则椭圆C的焦距为( )
A．2 B．4 C． D．2
2．(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为( )
A． B．2 C． D．2
3．(2025·河北保定一模)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且满足||＋||＋||＝12，则p的值为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
5．(2025·湖北九师联盟二模)已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A在C的准线l上，点B在C上，若∠AFB＝90°，且|BF|＝2|AF|＝10，则p＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．(多选)(2025·山西吕梁模拟)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是( )
A．||||的最大值为9
B．cos ∠F1PF2的最大值为
C．||||＋·＝10
D．椭圆C上存在点P，使得·＝4
7．(2025·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
8．(2025·山东济南三模)双曲线C：＝1的左焦点为F，点A(0，4)，若P为C右支上的一个动点，则|PA|＋|PF|的最小值为________．
9．[高考真题改编]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2·＝0，则椭圆C的离心率为________．
课后限时练16
1．D [由题意可得解得a＝，b＝2，则c＝，
因此，椭圆C的焦距为2c＝2．故选D．]
2．D [依题意知2b＝×2a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2．故选D．]
3．B [由题意知F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由抛物线定义知，|＝12，
又F为△ABC的重心，所以x1＋x2＋x3＝3×，所以3p＝12，p＝4．故选B．]
4．B [因为离心率e＝，b2＝a2．
由题意A1，A2分别为C的左、右顶点，
则A1，A2，
B为上顶点，则B(0，b)，
＝(－a，－b)，＝(a，－b)．
因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．]
5．D [如图，过B作BB1⊥l于B1，
由抛物线的定义知|BB1|＝|BF|＝10，
又∠AFB＝90°，则Rt△AFB≌Rt△AB1B，
设∠FBA＝α，则∠B1BA＝α，
因为|BF|＝2|AF|＝10，则|AB|＝，
所以sin α＝．
因为BB1∥x轴，所以∠BFx＝∠B1BF＝2α，
则cos∠BFx＝cos 2α＝1－2sin2α＝，
则|BF|cos∠BFx＝6，
所以p＋6＝|BB1|＝10，则p＝4．
故选D．]
6．ACD [已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，
则a＝3，b＝，c＝2，|PF1|＋|PF2|＝6．
对于A，||≤2＝9，当且仅当||＝3时取等号，即A正确；
对于B，当P为右顶点时，∠F1PF2＝0，
此时cos∠F1PF2＝1，即B错误；
对于C，由余弦定理可得||2＝16，
则(||)2－2|·＝16，
则|·＝10，即C正确；
对于D，由椭圆的性质可得||∈[1，5]，
由选项C可知，·|·||，又||＝(6－||)||＝－(||－3)2＋9∈[5，9]，
则·∈[1，5]，故D正确．
故选ACD．]
7．x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，圆N：x2＋(y－3)2＝4，
设圆M的半径为r，则点M到l'：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l'为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
8.9 [设双曲线C：＝1的右焦点为F2．
对于双曲线C：＝1，可得a2＝4，则a＝2．
因为点P在双曲线的右支上，所以|PF|－|PF2|＝2a＝4，即|PF|＝|PF2|＋4．
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4．
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA|＋|PF2|≥|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时取等号．
已知F2(3，0)，A(0，4)，根据两点间距离公式，可得|AF2|＝＝5．
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4≥|AF2|＋4＝5＋4＝9，即|PA|＋|PF|的最小值为9． ]
9． [设，
所以＝m．又因为·＝0，＝2c，
所以．
又因为，且|AF1|＋|AF2|＝＝2a，
所以2m＋2，
所以m＋2，
所以m2＋4c2－4m2＋4m＝4c2＋5m2，
所以c2＝5m2，所以c＝m．
又因为2a＝2m＋2＝6m，所以a＝3m，
所以e＝．]
1/2课时16 圆锥曲线的定义、方程及性质
[备考指南] 在高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
命题点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
(3)(多选)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1和点A(a，0)，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q的轨迹叙述正确的是( )
A．当a＝－1时，点Q的轨迹为圆
B．当a＝0时，点Q的轨迹为抛物线
C．当－1
D．当a>0时，点Q的轨迹为双曲线
[听课记录]
反思领悟
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(2025·天津和平区三模)已知双曲线C的上、下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4，则C的方程为( )
A．y2－＝1 B．y2－＝1
C．4y2－＝1 D．4y2－＝1
2．(多选)已知椭圆C：＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则( )
A．C的焦距为2
B．C的短轴长为2
C．C的离心率为
D．△ABF2的周长为8
3．(多选)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且|AF|的最小值为1，M是线段AB的中点，P(2，3)是平面内一定点，则( )
A．p＝2
B．若|AF|＋|BF|＝8，则M到x轴的距离为4
C．若＝2，则||＝
D．|AP|＋|AF|的最小值为4
命题点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2025·黑龙江一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＝1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·天津高考)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝( )
A．2 B．5
C． D．
(3)(多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18
[听课记录]
反思领悟
1．确定椭圆和双曲线的离心率的取值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2025·广东佛山二模)已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A，B为双曲线C上的两点，若＝3，且以F1F2为直径的圆恰好过点A，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
2．(2025·湖南长沙模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆的半径为1，θ＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的长轴长等于2
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以是＋x2＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2
3．(多选)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交E于A，B两点，经过点A和原点O的直线交抛物线的准线于点D，则下列说法正确的是( )
A．BD∥OF
B．OA⊥OB
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．|AF||BF|＝
课时16 圆锥曲线的定义、方程及性质
典例1 (1)C (2)A (3)ACD [(1)根据直线y＝－2x＋2得F(1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．
(2)由题意知椭圆C1与双曲线C2共同的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以c1＝c2＝．
因为双曲线C2的离心率e2＝，
所以a2＝＝1，b2＝，所以双曲线C2的方程为x2－＝1．
根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，
所以|PF2|＝2，|PF1|＝4．
根据椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝，所以椭圆C1的方程为＝1．故选A．
(3)圆M的圆心为M(－1，0)，半径r＝1．
对于A选项，如图1所示．
当a＝－1时，点A与圆心M重合，此时点Q为线段PM的中点，由题意可知|MQ|＝，此时点Q的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆，A正确；
对于B选项，当a＝0时，点A与原点重合，如图2所示．
因为|PM|＝|MO|，由中垂线的性质可知，点Q与点M重合，此时点Q的轨迹为圆心M，B错误；
对于C选项，当－1此时点Q在线段PM上，由中垂线的性质可得|QA|＝|QP|，所以|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝|PM|＝1>|AM|，
由椭圆的定义可知，此时点Q的轨迹是以点M，A为焦点的椭圆，C正确；
对于D选项，当a>0时，点A在圆M外，如图4所示．
此时，点Q在直线PM上(除去线段PM)，由中垂线的性质可得|QA|＝|QP|，
则||QA|－|QM||＝||QP|－|QM||＝1<|AM|，
此时点Q的轨迹是以点A，M为焦点的双曲线，D正确．
故选ACD．]
考教衔接
1．D [由题意设双曲线方程为＝1，
由题意可知a＝，
由于PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4，
故解得c＝，故b＝，
故双曲线C的方程为4y2－＝1．
故选D．]
2．ABD [因为∠F1AF2＝，所以∠F1AO＝∠OAF2＝，
故cos∠F1AO＝cos，
因此，故m2＝3，
所以椭圆C：＝1，a＝2，b＝，c＝1．
对于A，焦距2c＝2，故A正确；
对于B，短轴长2b＝2，B正确；
对于C，离心率e＝，C错误；
对于D，△ABF2的周长为4a＝8，D正确．
故选ABD．]
3．ACD [因为抛物线x2＝2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F的距离的最小值为1，则有＝1，解得p＝2，A正确；抛物线的方程为x2＝4y，焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于B，点M，由抛物线的定义知，|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8，
则y1＋y2＝6，所以M到x轴的距离＝3，B错误；
对于C，＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)，
由，得1－y1＝2(y2－1)，即y1＋2y2＝3，
又||，即y1＋1＝2(y2＋1)，则y1－2y2＝1，解得y1＝2，y2＝，
于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝，C正确；
对于D，抛物线x2＝4y中，当x＝2时，y＝1<3，
因此点P(2，3)在抛物线x2＝4y上方，
过点P作PP'⊥l于P'，交抛物线于点Q，连接QF，
过A作AA'⊥l于A'，连接AF，AP，PA'，如图，
显然|AP|＋|AF|＝|AP|＋|AA'|≥|PA'|≥|PP'|＝|PQ|＋|QP'|＝|PQ|＋|QF|，
当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以(|AP|＋|AF|)min＝|PP'|＝3－(－1)＝4，D正确．
故选ACD．]
典例2 (1)B (2)A (3)ACD [(1)由对称性可知，∠APB＝2∠APO，
因为sin∠APO＝，∠APO∈，
所以当点P位于长轴端点时∠APO最小，
由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝，
只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤，故e＝，又0(2)由题意知c＝，所以抛物线方程为y2＝4cx．因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P'，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP'|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝，把点P的坐标代入抛物线方程，可得(2)2＝4c(2c－a)，化简得＝2．故选A．
(3)直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；
当AB⊥x轴时，令A，B，－3，则E，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|，故B错误；
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－6my－9＝0，Δ>0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－，E，|EF|＝，S△AEB＝|AE|·|BE|sin∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝9(1＋m2>9，所以|AE|·|BE|>>18．综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD．]
考教衔接
1．C [如图所示，连接AF1，AF2，BF1，BF2，延长BF2交双曲线C于A'点，连接A'F1，
因为，且以F1F2为直径的圆恰好过点A，
所以由对称性可知A'点也在圆上，且四边形AF1A'F2为矩形．
设|AF1|＝m，则|A'F2|＝m，|BF2|＝3m，|BA'|＝4m，
因为点A'，B都在双曲线C右支上，所以由双曲线的定义可知，|A'F1|－|A'F2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|A'F1|＝2a＋m，|BF1|＝2a＋3m，
所以在直角△A'F1F2，△A'F1B中，由勾股定理可得，
解得 所以双曲线C的离心率e＝．故选C．]
2．C [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径，则由截面与圆柱底面所成锐二面角θ＝得2a＝＝4，解得a＝2，故A错误；
显然b＝1，则c＝，离心率e＝，故B错误；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，
椭圆的方程为＋x2＝1，故C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝2－，故D错误．故选C．]
3．ACD [由题意可设过点F的直线l的方程为x＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组消去x整理得y2－2p＝0，
即y2－2py－p2＝0，
所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2p，
x1＋x2＝＋p，
所以x1x2＝·，所以kOA·kOB＝＝－4≠－1，故B错误；
设D(x3，y3)，直线AO的方程为y＝x，令x3＝－，所以y3＝－·，
y2－y3＝y2＋·＝0，
所以直线BD的斜率kBD＝＝0，
所以BD∥OF，故A正确；
因为|AF|＝x1＋，所以以AF为直径的圆的圆心坐标为，
所以圆心到y轴的距离为，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
由抛物线的定义知|BF|＝x2＋，
所以|AF||BF|＝x1＋x2＋＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝·，故D正确．
故选ACD．]
1/4(共82张PPT)
专题五 解析几何
课时16 圆锥曲线的定义、方程及性质
[备考指南] 在高考中，圆锥曲线的定义、方程及性质常命制一道多选题和一道填空题，难度中等或偏上．备考时要立足圆锥曲线的定义和标准方程，融合几何图形的性质，提升转化与化归及数形结合的解题能力．
命题点1 圆锥曲线的定义、标准方程
【典例1】 (1)(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝( )
A．3 B．4 C．5 D．6
√
(2)已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1(－，0)，F2(，0)，离心率分别为e1，e2，点P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限的公共点，且∠F1PF2＝，若e2＝，则椭圆C1的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
√
(3)(多选)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1和点A(a，0)，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q的轨迹叙述正确的是( )
A．当a＝－1时，点Q的轨迹为圆
B．当a＝0时，点Q的轨迹为抛物线
C．当－1D．当a>0时，点Q的轨迹为双曲线
√
√
√
(1)C (2)A (3)ACD [(1)根据直线y＝－2x＋2得f (1，0)，所以C的准线方程为x＝－1，C的方程为y2＝4x，所以B(－1，4)，A(4，4)，所以|AF|＝|AB|＝5．
(2)由题意知椭圆C1与双曲线C2共同的焦点为F1(－，0)，F2(，0)，所以c1＝c2＝．
因为双曲线C2的离心率e2＝，
所以a2＝＝1，b2＝＝，所以双曲线C2的方程为x2－＝1．
根据双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2a2＝2，
由余弦定理得
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos ∠F1PF2，
得12＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|，
所以|PF2|＝2，|PF1|＝4．
根据椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a1＝6，所以a1＝3，b1＝＝，所以椭圆C1的方程为＝1．故选A．
(3)圆M的圆心为M(－1，0)，半径r＝1．
对于A选项，如图1所示：
当a＝－1时，点A与圆心M重合，
此时点Q为线段PM的中点，
由题意可知|MQ|＝|PM|＝，
此时点Q的轨迹是以点M为圆心，为半径的圆，A正确；
对于B选项，当a＝0时，点A与原点重合，
如图2所示：
因为|PM|＝|MO|，由中垂线的性质可知，
点Q与点M重合，此时点Q的轨迹为圆心M，
B错误；
对于C选项，当－1此时点Q在线段PM上，
由中垂线的性质可得|QA|＝|QP|，
所以|QM|＋|QA|＝|QM|＋|QP|＝|PM|＝1>|AM|，
由椭圆的定义可知，此时点Q的轨迹是以点M，
A为焦点的椭圆，C正确；
对于D选项，当a>0时，点A在圆M外，如图4所示：
此时，点Q在直线PM上(除去线段PM)，
由中垂线的性质可得|QA|＝|QP|，
则||QA|－|QM||＝||QP|－|QM||＝1<|AM|，
此时点Q的轨迹是以点A，M为焦点的双曲线，D正确．
故选ACD．]
反思领悟
1．求圆锥曲线标准方程 “先定型，后计算”
(1)定型：确定圆锥曲线焦点的位置．
(2)计算：利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p．
2．涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离时，一般运用定义处理．
1．(2025·天津和平区三模)已知双曲线C的上、下焦点分别为点F1，F2，若C的实轴长为1，且C上点P满足PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4，则C的方程为( )
A．y2－＝1 B．y2－＝1
C．4y2－＝1 D．4y2－＝1
√
D [由题意设双曲线方程为＝1，
由题意可知a＝，由于PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4，
故解得c＝，
故b＝＝，
故双曲线C的方程为4y2－＝1．故选D．]
2．(多选)已知椭圆C：＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2＝，则( )
A．C的焦距为2
B．C的短轴长为2
C．C的离心率为
D．△ABF2的周长为8
√
√
√
ABD [因为∠F1AF2＝，所以∠F1AO＝∠OAF2＝，
故cos ∠F1AO＝cos ＝＝＝＝，
因此＝＝，故m2＝3，
所以椭圆C：＝1，a＝2，b＝，c＝1．
对于A，焦距2c＝2，故A正确；
对于B，短轴长2b＝2，B正确；
对于C，离心率e＝＝，C错误；
对于D，△ABF2的周长为4a＝8，D正确．故选ABD．]
3．(多选)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且|AF|的最小值为1，M是线段AB的中点，P(2，3)是平面内一定点，则( )
A．p＝2
B．若|AF|＋|BF|＝8，则M到x轴的距离为4
C．若＝2，则||＝
D．|AP|＋|AF|的最小值为4
√
√
√
ACD [因为抛物线x2＝2py(p>0)上的点A到抛物线焦点F的距离的最小值为1，则有＝1，解得p＝2，A正确；抛物线的方程为x2＝4y，焦点f (0，1)，准线l：y＝－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于B，点M，由抛物线的定义知，|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8，
则y1＋y2＝6，所以M到x轴的距离＝3，B错误；
对于C，＝(－x1，1－y1)，＝(x2，y2－1)，
由＝2，得1－y1＝2(y2－1)，即y1＋2y2＝3，又||＝2||，即y1＋1＝2(y2＋1)，则y1－2y2＝1，解得y1＝2，y2＝，
于是得|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝，C正确；
对于D，抛物线x2＝4y中，当x＝2时，y＝1<3，
因此点P(2，3)在抛物线x2＝4y上方，
过点P作PP′⊥l于P′，交抛物线于点Q，连接QF，
过A作AA′⊥l于A′，连接AF，AP，PA′，如图，
显然|AP|＋|AF|＝|AP|＋|AA′|≥|PA′|≥|PP′|＝|PQ|＋|QP′|＝|PQ|＋|QF|，
当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以(|AP|＋|AF|)min＝|PP′|＝3－(－1)＝4，D正确．
故选ACD．]
【教用·备选题】
1．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
√
A [因为|PF1|＝3|PF2|，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝4|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝，|PF1|＝，
因为∠F1PF2＝120°，由余弦定理可得
|F1F2|2＝
所以4c2＝a2＋a2＋2×，
整理可得4c2＝，所以e2＝＝，即e＝．
故选A．]
2．(多选)若方程＝1所表示的曲线为C，则下列说法正确的是( )
A．若t＝2，则曲线C的长度为2π
B．若C为双曲线，则t<1或t>3
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则2D．若C为椭圆，则焦距为4
√
√
AB [对于A，当t＝2时，曲线C：x2＋y2＝1是圆心在原点，半径为1的圆，轨迹长度为2π，A正确；
对于B，若C为双曲线，则(3－t)(t－1)<0，解得t<1或t>3，B正确；
对于C，若C为椭圆，且焦点在x轴上，则3－t>t－1>0，解得1对于D，若C为焦点在x轴上的椭圆，则焦距为2c＝2＝2<4，D错误．故选AB．]
3．(2024·天津高考)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
√
C [如图，由题意可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，
设|PF2|＝m，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，所以sin θ1＝．
因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，
则＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得，|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，
则由|PF2|＝m，得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m，
由＝|PF1|·|PF2|＝·2m·m＝8，得m＝2，
则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，
由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以a＝，b＝＝2，
所以双曲线的方程为＝1．故选C．]
4．(多选)已知椭圆M：＝1的左、右焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，过点F2的直线与该椭圆相交于A，B两点，点P在该椭圆上，且≥1，则下列说法正确的是( )
A．存在点P，使得∠F1PF2＝90°
B．满足△F1PF2为等腰三角形的点P有2个
C．若∠F1PF2＝60°，则＝
D．的取值范围为[－2，2]
√
√
√
ACD [根据题意可得c＝的最小值为1，所以＝1，又c2＝a2－b2，所以a＝2，b＝1，所以椭圆M的方程为＋y2＝1．
当点P为该椭圆的上顶点时，tan ∠OPF2＝，所以∠OPF2＝60°，此时∠F1PF2＝120°，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，所以选项A正确；
当点P在椭圆的上、下顶点时，满足△F1PF2为等腰三角形．又因为2－≤2＋＝2，所以满足＝的点P有两个，同理满足＝的点P有两个，所以选项B不正确；
若∠F1PF2＝60°，＝4，＝2，由余弦定理得＝＋－2··cos ∠F1PF2，即＋－·＝12，又＋＋2·＝16，所以·＝，所以＝·sin ∠F1PF2＝，所以选项C正确；
对于选项D，＝＝2－4，分析可得∈[2－，2＋]，所以∈[－2，2]，所以选项D正确．故选ACD．]
5．已知P是双曲线E：－y2＝1上一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，△PF1F2的周长为12＋2，则cos ∠F1PF2＝________，△PF1F2的面积为________．
[在双曲线E中，a＝2，b＝1，则c＝＝．
根据对称性，不妨设点P在双曲线E的右支上，则＝4．
因为＝2c＝2，△PF1F2的周长为12＋2，所以＝12，所以＝8，＝4．
在△PF1F2中，cos ∠F1PF2＝＝，
则sin ∠F1PF2＝＝＝，
所以＝sin∠F1PF2＝×8×4×＝．]
6．[教材母题改编]已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点A(2，2)，F是抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角∠xFM＝60°(如图所示)，则抛物线的标准方程为________； |FM|＝________．
y2＝4x
4
y2＝4x 4 [把A(2，2)代入y2＝2px得8＝4p，所以p＝2，即抛物线的方程为y2＝4x．
如图，过M作MN垂直于准线，垂足为N，过F作FK⊥MN，垂足为K，由定义知|MN|＝|MF|，所以|MF|＝|MK|＋|KN|，
因为∠xFM＝60°，所以|MK|＝|MF|，
又|KN|＝2|OF|＝2，所以|MF|＝|MF|＋2，
所以|MF|＝4．]
命题点2 圆锥曲线的几何性质
【典例2】 (1)(2025·黑龙江一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＝1(a>b>0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝，则椭圆C2的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
(2)(2025·天津高考)双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以右焦点F2为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)与双曲线在第一象限的交点为P，若|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，则双曲线的离心率e＝( )
A．2 B．5
C． D．
√
(3)(多选)(2025·全国一卷)已知抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线l：x＝－的垂线，垂足为D，过F且与直线AB垂直的直线交l于点E，则( )
A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB|
C．|AB|≥6 D．|AE|·|BE|≥18
√
√
√
(1)B (2)A (3)ACD [(1)由对称性可知，∠APB＝2∠APO，
因为sin ∠APO＝＝，∠APO∈，
所以当点P位于长轴端点时∠APO最小，
由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝，
只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤，即，故e＝，又0(2)由题意知c＝，所以抛物线方程为y2＝4cx．因为|PF1|＋|PF2|＝3|F1F2|，|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＋|PF2|＝6c，又点P在双曲线上且在第一象限，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3c＋a，|PF2|＝3c－a，如图所示，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P′，因为点P在抛物线上，所以|PF2|＝|PP′|＝xP＋c＝3c－a，所以xP＝2c－a，yP＝＝＝2，把点P的坐标代入抛物线方程，
可得(2)2＝4c(2c－a)，化简得＝2．故选A．
(3)直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知|AD|＝|AF|，故A正确；
当AB⊥x轴时，令A，B，
则E，|AB|＝6，|AE|＝3，此时|AE|≠|AB|，故B错误；
易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－6my－9＝0，Δ＞0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，
x1＋x2＝m(y1＋y2)＋3＝6m2＋3，|AB|＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，故C正确；
由C项可知，当m＝0，即AB⊥x轴时，|AE|＝|BE|＝3，|AE|·|BE|＝18．当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E，|EF|＝，S△AEB＝|AE|·|BE|sin ∠AEB＝|AB|·|EF|＝(6＋6m2)·＝9＞9，所以|AE|·|BE|＞＞18．综上，|AE|·|BE|≥18，故D正确．故选ACD．]
反思领悟
1．确定椭圆和双曲线的离心率的取值或范围，其关键是充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等确立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)．
2．双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率e与其渐近线的斜率k满足关系式e2＝1＋k2．
3．涉及抛物线的焦半径、准线等问题时，可适当添加辅助线，借助几何图形求解．
1．(2025·广东佛山二模)已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A，B为双曲线C上的两点，若＝3，且以F1F2为直径的圆恰好过点A，则双曲线C的离心率为( )
A． B． C． D．
√
C [如图所示，连接AF1，AF2，BF1，BF2，延长BF2交双曲线C于A′点，连接A′F1，
因为＝3，且以F1F2为直径的圆恰好过点A，
所以由对称性可知A′点也在圆上，且四边形AF1A′F2为矩形．
设|AF1|＝m，则|A′F2|＝m，|BF2|＝3m，|BA′|＝4m，
因为点A′，B都在双曲线C右支上，所以由双曲线的定义可知，|A′F1|－|A′F2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|A′F1|＝2a＋m，|BF1|＝2a＋3m，
所以在直角△A′F1F2，△A′F1B中，由勾股定理可得，
解得
所以双曲线C的离心率e＝＝．
故选C．]
2．(2025·湖南长沙模拟)如图所示，用一个与圆柱底面成θ的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆的半径为1，θ＝，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的长轴长等于2
B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程可以是＋x2＝1
D．椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为4－2
√
C [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆的直径，则由截面与圆柱底面所成锐二面角θ＝得2a＝＝4，解得a＝2，故A错误；
显然b＝1，则c＝＝，离心率e＝＝，故B错误；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的方程为＋x2＝1，故C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝2－，故D错误．故选C．]
3．(多选)过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交E于A，B两点，经过点A和原点O的直线交抛物线的准线于点D，则下列说法正确的是( )
A．BD∥OF
B．OA⊥OB
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．|AF||BF|＝
√
√
√
ACD [由题意可设过点F的直线l的方程为x＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得方程组
消去x整理得y2－2p＝0，
即y2－2py－p2＝0，所以y1y2＝－p2，y1＋y2＝2p，
x1＋x2＝＝＝＝2p＋p，
所以x1x2＝＝，所以kOA·kOB＝＝－4≠－1，故B错误；
设D(x3，y3)，直线AO的方程为y＝x，令x3＝－，所以y3＝－·，
y2－y3＝y2＋·＝＝＝
＝＝0，
所以直线BD的斜率kBD＝＝0，所以BD∥OF，故A正确；
因为|AF|＝x1＋，所以以AF为直径的圆的圆心坐标为，半径为＝，所以圆心到y轴的距离为，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
由抛物线的定义知|BF|＝x2＋，
所以|AF||BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋
＝·＝p2＋p2＝，故D正确．
故选ACD．]
【教用·备选题】
1．(2025·广东广州模拟)已知直线y＝kx(k≠0)与椭圆E：＝1(a>b>0)交于A，B两点，椭圆E的右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若BF⊥AC，|BF|＝3|CF|，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
√
C [设椭圆的左焦点为F1，连接AF1，BF1，CF1，
设|FC|＝m，由对称性可知|AF1|＝|BF|＝3m，
由定义得|AF|＝2a－3m，|CF1|＝2a－m，则|AC|＝2a－2m，
又AF1∥BF，BF⊥AC，所以AF1⊥AC，
在Rt△AF1C中，由|AF1|2＋|AC|2＝|CF1|2，
即9m2＋(2a－2m)2＝(2a－m)2，解得m＝．
在Rt△AF1F中，|AF1|2＋|AF|2＝|FF1|2，
即9m2＋(2a－3m)2＝(2c)2，
把m＝代入整理得＝，由02．(多选)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|，则( )
A．∠AF1B＝∠F1AB
B．双曲线C的离心率e＝
C．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
D．原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上
√
√
√
ABC [如图，设|AF1|＝|BF2|＝2|AF2|＝2m，
则|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝3m，
由双曲线的定义知，|AF1|－|AF2|＝2m－m＝2a，
即m＝2a．
|BF1|－|BF2|＝2a，即|BF1|－2m＝2a，
∴|BF1|＝3m＝|AB|，∴∠AF1B＝∠F1AB，故A正确；
在△ABF1中，由余弦定理的推论知，
cos∠AF1B＝＝＝，
在△AF1F2中，由余弦定理的推论知，
cos ∠F1AB＝＝＝cos ∠AF1B＝，
化简整理，得12c2＝11m2＝44a2，
∴离心率e＝＝＝，故B正确；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x＝±x，故C正确；
若原点O在以F2为圆心，|AF2|为半径的圆上，则c＝m＝2a，与＝不符，故D错误．
故选ABC．]
3．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
C [依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则＝1，可得＝，则|PB|2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋b2＝－2by0＋a2＋b2≤4b2．因为当y0＝－b时，|PB|2＝4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝，即C的离心率的取值范围是．故选C．
4．圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点(如图1)；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出(如图2)．封闭曲线E(如图3)是由椭圆C1：＝1和双曲线C2：＝1在y轴右侧的一部分(实线)围成．光线从椭圆C1上一点P0发出，经过点F2，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合，则光线从P0到P4所经过的路程为________．
图1 图2 图3
4
4 [椭圆C1中a1＝4，b1＝2，c＝2；双曲线C2中a2＝3，b2＝，c＝2，双曲线和椭圆的焦点重合．
根据双曲线的定义有＝6，＝6，
所以－6＝－6＝，
根据椭圆的定义，有＝8，＝8，
所以路程
＝－6＋－6＋
＝＋(|P3F1|＋|P3P0|＋|P0F2|)－12＝8＋8－12＝4．]
课后限时练16 圆锥曲线的定义、方程及性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
1．(2025·湖北鄂州一模)椭圆C：＝1(a>b>0)经过(，0)和(0，2)两点，则椭圆C的焦距为( )
A．2 B．4 C． D．2
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D [由题意可得解得a＝，b＝2，
则c＝＝，
因此，椭圆C的焦距为2c＝2．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
2．(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．2
D [依题意知2b＝×2a，又c2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋(a)2＝8a2，即c＝2a，故e＝2．故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
3．(2025·河北保定一模)已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且满足||＋||＋||＝12，则p的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B [由题意知F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由抛物线定义知，||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝x1＋x2＋x3＋＝12，
又F为△ABC的重心，所以x1＋x2＋x3＝3×，所以3p＝12，p＝4．故选B．]
4．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝
－1，则C的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＋y2＝1
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
B [因为离心率e＝＝＝，所以＝，b2＝a2．
由题意A1，A2分别为C的左、右顶点，
则A1，A2，B为上顶点，则B(0，b)，
＝(－a，－b)，＝(a，－b)．
因为·＝－1，
所以－a2＋b2＝－1，将b2＝a2代入，解得a2＝9，b2＝8，故椭圆C的方程为＝1．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
5．(2025·湖北九师联盟二模)已知点F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点A在C的准线l上，点B在C上，若∠AFB＝90°，且|BF|＝2|AF|＝10，则p＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
D [如图，过B作BB1⊥l于B1，
由抛物线的定义知|BB1|＝|BF|＝10，
又∠AFB＝90°，则Rt△AFB≌Rt△AB1B，
设∠FBA＝α，则∠B1BA＝α，
因为|BF|＝2|AF|＝10，
则|AB|＝＝5，
所以sin α＝＝．
因为BB1∥x轴，所以∠BFx＝∠B1BF＝2α，
则cos ∠BFx＝cos 2α＝1－2sin2α＝，
则|BF|cos∠BFx＝6，
所以p＋6＝|BB1|＝10，则p＝4．
故选D．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
√
6．(多选)(2025·山西吕梁模拟)已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是( )
A．||||的最大值为9
B．cos ∠F1PF2的最大值为
C．||||＋·＝10
D．椭圆C上存在点P，使得·＝4
√
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
ACD [已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，
则a＝3，b＝，c＝2，|PF1|＋|PF2|＝6．
对于A，||||≤＝9，当且仅当||＝||＝3时取等号，即A正确；
对于B，当P为右顶点时，∠F1PF2＝0，
此时cos ∠F1PF2＝1，即B错误；
对于C，由余弦定理可得||2＋||2－2||||cos ∠F1PF2＝||2＝16，则(||＋||)2－2||||－2·＝16，
则||||＋·＝＝10，即C正确；
对于D，由椭圆的性质可得||∈[1，5]，
由选项C可知，·＝10－||||，
又||||＝(6－||)||＝－(||－3)2＋9∈[5，9]，
则·∈[1，5]，故D正确．故选ACD．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
7．(2025·湖南长沙二模)已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为________．
x2＝12y
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
x2＝12y [由题意设直线l：y＝－1，圆N：x2＋＝4，设圆M的半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，
故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
8．(2025·山东济南三模)双曲线C：＝1的左焦点为F，点A(0，4)，若P为C右支上的一个动点，则|PA|＋|PF|的最小值为___．
9 [设双曲线C：＝1的右焦点为F2．
对于双曲线C：＝1，可得a2＝4，则a＝2．
因为点P在双曲线的右支上，所以|PF|－|PF2|＝2a＝4，即|PF|＝|PF2|＋4．
9
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4．
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA|＋|PF2|≥|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时取等号．
已知F2(3，0)，A(0，4)，根据两点间距离公式，可得|AF2|＝＝5．
所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4≥|AF2|＋4＝5＋4＝9，即|PA|＋|PF|的最小值为9．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
9．[高考真题改编]已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足＝2·＝0，则椭圆C的离心率为________．
[设＝2m，因为＝2，
所以＝m．又因为·＝0，＝2c，
所以＝＝2．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
又因为＝＝，且|AF1|＋|AF2|＝＝2a，
所以2m＋2＝m＋，
所以m＋2＝，
所以m2＋4c2－4m2＋4m＝4c2＋5m2，
所以c2＝5m2，所以c＝m．
又因为2a＝2m＋2＝6m，所以a＝3m，
所以e＝＝＝．]
谢 谢！
