课后限时练20 基本初等函数的图象与性质
1．已知函数f(x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2x，x∈的值域为B，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(－∞，4] D．(－1，4]
2．(2025·河北沧州二模)函数f(x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为( )
A． B．
C． D．
3．(2025·广东揭阳三模)下列函数是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的为( )
A．y＝ B．y＝3x
C．y＝lg (x＋) D．y＝sin x
4．(2025·广东广州模拟)已知函数y＝ln (x2－2ax－3a2)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，1)
C． D．(－1，0)
5．(2025·黑龙江齐齐哈尔三模)已知点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xα的图象上，设a＝f，b＝f(ln 2)，c＝f(3 )，则( )
A．a
C．b
6．(2025·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过( )
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第四象限 D．第三、第四象限
7．(多选)(2025·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝k有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4且x1A．0C．x1x2＋x3＋x4＝6 D．x1＋2x2∈
8．(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝________．
9．已知y＝ln 为奇函数，则实数a的值是________．
10．(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)＝(x－a)3ln 的图象关于直线x＝2对称，则a＋b＝________．
课后限时练20
1．B [∵f(x)＝，∴≥0，
∴x(x－4)≤0且x≠0，可得A＝{x|02．B [因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f(x)＝2x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，
又f－1－ln 2，
因为，ln 2>ln，
所以f－1－ln 2<0，
因为f(1)＝2＋ln 1－1＝1>0，
所以函数f(x)的零点所在区间是．故选B．]
3．C [对于A，易知y＝f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又函数f(－x)＝－＝－f(x)，所以y＝是奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；
对于B，函数y＝3x既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，令y＝t(x)＝lg(x＋)，因为x＋>x＋|x|≥0，
所以y＝lg(x＋)的定义域为R，关于原点对称，
又t(－x)＋t(x)＝lg(－x＋)＋lg(x＋)＝lg 1＝0，
所以y＝lg(x＋)是奇函数，
又u＝x＋在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg x为增函数，
所以y＝lg(x＋)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，故D错误．故选C．]
4．C [因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，由函数y＝ln(x2－2ax－3a2)在[1，＋∞)上单调递增，令g(x)＝x2－2ax－3a2，可得g(x)在[1，＋∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
则解得－15．C [因为点(m，9)在幂函数f(x)＝(m－2)xα的图象上，则m－2＝1，解得m＝3，
所以f(3)＝3α＝9，可得α＝2，故f(x)＝x2，
因为a＝f＝f(1)，b＝f(ln 2)，c＝f()，
且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又06．D [当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0当a>1时，函数图象过第一、第三、第四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、第四象限．故选D．]
7．ABD [如图所示，在同一直角坐标系内作出函数f(x)＝ 和y＝k的图象．
对于A，由图象知，方程f(x)＝k有四个不同的实数根，等价于0对于B，C，因为f＝1，f(2)＝|log22|＝1，f(4)＝42－6×4＋9＝1，且函数y＝x2－6x＋9的图象关于直线x＝3对称，由图象得由x3，x4是x2－6x＋9＝k(0所以，
因为0对于D，由x1x2＝1，可得x1＋2x2＝＋2x2(1令h(x)＝2x＋＝2x＋(18．64 [，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
9．4 [由题意知>0，得(x－2)(x＋a－2)>0，
令(x－2)(x＋a－2)＝0，解得x＝2或x＝2－a，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，所以2＋(2－a)＝0，解得a＝4，
即y＝ln，
令f(x)＝ln，其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，f(－x)＝ln
＝－ln＝－f(x)，满足题意．所以a＝4．]
10．－2 [函数f(x)＝(x－a)3ln>0，即x(x＋b)>0，
由题知f(x)的定义域关于x＝2对称，故b＝－4．
则f(4－x)＝f(x)，即(x－a)3ln＝(4－x－a)3ln，故(x－a)3·ln＝(x＋a－4)3ln，则x－a＝x＋a－4，解得a＝2．故a＋b＝－2．]
1/2课时20 基本初等函数的图象与性质
[备考指南] 基本初等函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数的零点等)及其应用是历年高考的必考热点，难度一般中等或偏上，备考时，要抓住函数的图象与性质间的内在联系，提升应用数形结合和转化化归等思想解题的能力．
命题点1 函数的图象及应用
【典例1】 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( )
A B
C D
(2)(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
(3)(2019·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 函数图象的识别及应用
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
1．[高考真题改编]函数f(x)＝的图象大致为( )
A B
C D
2．[高考真题改编]定义在R上的函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝1－，当x∈时，y＝f的值域为( )
A． B． C． D．
3．[教材母题改编]定义max＝若函数f(x)＝max，则f(x)的最小值为________；若f(x)在区间上的值域为，则n－m的最大值为________．
命题点2 基本初等函数的性质及应用
【典例2】 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝( )
A．－ B．－ C． D．
(3)(2025·全国一卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．y＞x>z D．y>z>x
[听课记录]
反思领悟 基本初等函数解题的3个关键点
(1)指对互化：ax＝N x＝logaN(a＞0，且a≠1)．
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，它们的图象和性质，分01两种情况；
对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
(3)复合函数：复合函数的性质往往根据相关函数的性质进行判断．
1．(2025·山西临汾三模)已知f(x)＝log2(1＋4－x)＋x，则满足f(2m－3)A．(1，3) B．
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
2．(多选)已知实数a，b满足>0，则( )
A．＜ B．loga2>logb2
C．< D．2a－2b<3－a－3－b
3．(多选)(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)＝sin (ex＋e－x)，则( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的最小值是－1
C．f(x)的图象有对称轴
D．f(x)的图象有对称中心
命题点3 函数与方程
【典例3】 (1)(2025·辽宁抚顺模拟)函数f(x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为( )
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
(2)已知函数f ＝若关于x的方程[f(x)]2＋af＋a－1＝0的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 利用函数零点求参数值(或取值范围)的方法
1．(2025·湖北十堰模拟)函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
2．对实数a和b，定义运算“◎”：a◎b＝设函数f(x)＝2x2◎(x＋2)，x∈R．若函数y＝f(x)－m的图象与x轴恰有2个公共点，则实数m的取值范围是________．
课时20 基本初等函数的图象与性质
典例1 (1)B (2)D (3)B [(1)f(－x)＝－x2＋(e-x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e-x)sin x＝f(x)，
又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，可排除A，C；
又f(1)＝－1＋>0，故可排除D．
故选B．
(2)由题图可知函数f(x)的定义域为{x|x≠±1}，且f(x)为偶函数，易得f(x)＝与f(x)＝均为奇函数，排除选项A，B．由题图可知当x>1时，f(x)>0，易得当x>1时，f(x)＝<0，f(x)＝>0，排除C，故选D．
(3)∵f(x＋1)＝2f(x)，
∴f(x)＝2f(x－1)．
当x∈(0，1]时，
f(x)＝x(x－1)∈－，0；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，
f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈－，0；
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，
f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]．
……
f(x)的图象如图所示．
当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，
解得x1＝，x2＝．
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，
则m≤，∴m的取值范围是－∞，.故选B．]
考教衔接
1．A [函数f(x)＝的定义域为R，
f(－x)＝
＝
＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，B，D错误；
当x趋向于＋∞时，y＝ex＋e-x的增长速度远大于y＝ln(＋x)的增长速度，故f(x)＝趋向于0，C错误，A正确．故选A．]
2．B [由题意知，当x∈时，可得f(1－|2x－3|)；
当x∈时，可得ff(x－1)＝(1－|2x－5|)，…，
所以在区间上，可得f，
作函数y＝f的图象，如图所示，
所以当x∈时，f，故选B．]
3．－3 [作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
由图象可知：当x＝3时，f(x)有最小值，最小值为f(3)＝－3．
当f(x)＝－时，x＝或x＝或x＝；
当f(x)＝－2时，x＝或x＝4．
由图象可知：当m∈，n＝时，f(x)的值域为，
此时n－m的最大值为．
当m＝4，n＝时，f(x)的值域为，此时n－m＝．
综上，n－m的最大值为．]
典例2 (1)D (2)A (3)B [(1)设t＝x(x－a)＝x2－ax，抛物线开口向上，对称轴为x＝，∵y＝2t是关于t的增函数，∴要使f(x)在区间(0，1)上单调递减，则t＝x2－ax在区间(0，1)上单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选D．
(2)当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f．故选A．
(3)法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，z＝5-3＝，此时x>y>z，A有可能；
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B．
法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点的纵坐标，如图所示．
易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x．故选B．]
考教衔接
1．A [由f(x)＝log2(1＋4-x)＋x，易知其定义域为R，
由f(－x)－f(x)
＝log2(1＋4x)－x－log2(1＋4-x)－x
＝log2－2x＝log24x－2x＝2x－2x＝0，则函数f(x)为偶函数，
f(x)＝log2(1＋4-x)＋x＝log2(1＋2-2x)＋log22x＝log2(2x＋2-x)，
由y＝2x在R 上单调递增，y＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝2x＋在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f(2m－3)即(2m－3)22．AC [因为log2a＋lob>0，所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0．
对于A，因为y＝，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<，故C正确；
对于D，当a＝4，b＝2时，因为y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3-a－3-b，故D错误．故选AC．]
3．BC [对于选项A，若函数是周期函数，
则f(x＋T)＝sin(ex+T＋e-x-T)＝f(x)＝sin(ex＋e-x)对任意x∈R都成立，
所以ex+T＋e-x-T－(ex＋e-x)＝2kπ，k∈Z，
注意到T≠0，可知T与x有关，不是常数，
所以f(x)不是周期函数，故A错误；
对于选项B，设t＝ex＋e-x≥2，
则y＝sin t的最小值为－1，故B正确；
对于选项C，因为f(－x)＝sin(e-x＋ex)＝f(x)，
所以f(x)的图象至少有一条对称轴x＝0，故C正确；
对于选项D，若点(a，b)是函数f(x)图象的对称中心，则f(2a－x)＝2b－f(x)，即sin(e2a-x＋e-(2a-x))＋sin(ex＋e-x)＝2b，
显然b随着x的变化而变化，所以函数的图象没有对称中心，故D错误．故选BC．]
典例3 (1)D (2)C [(1)当x∈[1，4)时，由f(x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得k＋log2x－＝0，令g(x)＝k＋log2x－，
因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均单调递增，
故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上单调递增，
因为函数f(x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有零点，
所以解得－1因此，实数k的取值范围是(－1，4]．故选D．
(2)当x≤0时，f'ex，由此可知f上单调递减，且当x→－∞时，xex→0，在上单调递增，f；
当x>0时，f(x)在(0，1]上单调递增，在上单调递减，f(x)max＝f(1)＝0，如图所示．
[f(x)]2＋af＋a－1＝0得[f(x)＋a－1][f(x)＋1]＝0，即f(x)＝1－a或f(x)＝－1，由f(x)的图象与y＝－1有两个交点，则f＝1－a必有四个根，即－<1－a<0，则a∈．故选C．]
考教衔接
1．C [函数f(x)＝x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，因为f(x)的图象在(0，＋∞)上连续且单调递增．
且f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝－1＋ln 3>0，
则f(2)·f(3)<0．由零点存在定理可知，函数f(x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C．]
2．{0}∪[1，2]∪ [解不等式2x2－(x＋2)≤1，可得－1≤x≤，
所以f(x)＝
画出函数f(x)的图象如图所示．
若函数y＝f(x)－m的图象与x轴恰有2个公共点，
即函数f(x)与y＝m的图象有两个交点，
结合图象可知，当m＝0或1≤m≤2或时，满足题意，所以实数m的取值范围是．]
1/7(共108张PPT)
专题六 函数、导数和不等式
提纲挈领——重构知识体系 整合必备知识
融会贯通——重视审题答题 升华学生思维
阅卷案例
四字解题 读 证明：f (x)在区间(0，＋∞)上的极值点和零点唯一 f ′(x1)＝0，f (x2)＝0；
证明g(t)在区间(0，x1)单调递减；
比较2x1与x2的大小
想 极值点和零点唯一的证明方法 复合函数求导；
函数单调递减与导数的关系
算 f ′(x)的零点及其左右两侧的符号 g′(t)及其符号的判断
思 方程思想 转化、化归
规范解答
规范解答
规范解答
规范解答
(ⅱ)2x1＞x2，证明如下：
由(ⅰ)得，g(t)在t∈(0，x1)内单调递减，所以g(x1)＜g(0)，所以g(x1)＜0，………………………………………………………………14分
即f (2x1)－f (0)＜f (x1)－f (x1)＝0，f (2x1)＜0，…………………15分
因为x2是f (x)的零点，所以f (x2)＝0，所以f (2x1)＜f (x2)，………16分
又因为x2＞x1，2x1＞x1，且f (x)在(x1，＋∞)上单调递减，
所以2x1＞x2. ………………………………………………………17分
满分心得
满分心得
得计算分：计算准确是得满分的保证．
1．本题第(1)问的求解与否对第(2)问没有任何影响，故解答中可采用 “跨步解答”求解！
2．体会转化与化归及函数与方程思想，总结利用导数研究函数性质的求解策略．
课时20 基本初等函数的图象与性质
[备考指南] 基本初等函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性、函数的零点等)及其应用是历年高考的必考热点，难度一般中等或偏上，备考时，要抓住函数的图象与性质间的内在联系，提升应用数形结合和转化化归等思想解题的能力．
命题点1 函数的图象及应用
【典例1】 (1)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为( )
√
A B
C D
(2)(2025·天津高考)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能为( )
A．f (x)＝
B．f (x)＝
C．f (x)＝
D．f (x)＝
√
(3)(2019·全国Ⅱ卷)设函数f (x)的定义域为R，满足f (x＋1)＝2f (x)，且当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有
f (x)≥－，则m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
√
(1)B (2)D (3)B [(1)f (－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f (x)，
又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，函数图象关于y轴对称，可排除A，C；
又f (1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>>0，
故可排除D．
故选B．
(2)由题图可知函数f (x)的定义域为{x|x≠±1}，且f (x)为偶函数，易得f (x)＝与f (x)＝均为奇函数，排除选项A，B．由题图可知当x＞1时，f (x)＞0，易得当x＞1时，f (x)＝＜0，f (x)＝＞0，排除C，故选D．
(3)∵f (x＋1)＝2f (x)，
∴f (x)＝2f (x－1)．
当x∈(0，1]时，f (x)＝x(x－1)∈；
当x∈(1，2]时，x－1∈(0，1]，
f (x)＝2f (x－1)＝2(x－1)(x－2)∈；
当x∈(2，3]时，x－1∈(1，2]，
f (x)＝2f (x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1，0]．
……
f (x)的图象如图所示．
当x∈(2，3]时，由4(x－2)(x－3)＝－，
解得x1＝，x2＝．
若对任意x∈(－∞，m]，都有f (x)≥－，
则m≤，∴m的取值范围是．故选B．]
反思领悟 函数图象的识别及应用
(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如周期性、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．
(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．
1．[高考真题改编]函数f (x)＝的图象大致为( )
√
A B
C D
A [函数f (x)＝的定义域为R，
f (－x)＝＝＝－＝－f (x)，
故f (x)为奇函数，B，D错误；
当x趋向于＋∞时，y＝ex＋e－x的增长速度远大于y＝ln (＋x)的增长速度，故f (x)＝趋向于0，C错误，A正确．故选A．]
2．[高考真题改编]定义在R上的函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝1－，当x∈时，y＝f的值域为( )
A． B．
C． D．
√
B [由题意知，
当x∈时，可得f ＝f ＝；
当x∈时，可得f ＝f ＝，…，
所以在区间上，可得f＝，
作函数y＝f 的图象，如图所示，
所以当x∈时，f ∈，故选B．]
3．[教材母题改编]定义max＝若函数f (x)＝max，则f (x)的最小值为________；若
f (x)在区间上的值域为，则n－m的最大值为______．
－3
－3 [作出函数y＝f (x)的图象，如图所示，
由图象可知：当x＝3时，f (x)有最小值，最小值为f (3)＝－3．
当f (x)＝－时，x＝或x＝或x＝；
当f (x)＝－2时，x＝或x＝4．
由图象可知：当m∈，n＝时，f (x)的值域为，
此时n－m的最大值为＝．
当m＝4，n＝时，f (x)的值域为，此时n－m＝<．
综上，n－m的最大值为．]
【教用·备选题】
1．(2025·天津二模)函数f (x)＝cos x＋2cos 2x＋3cos 3x的大致图象可能是( )
√
A B
C D
A [f (x)的定义域为R，
因为f (－x)＝cos (－x)＋2cos (－2x)＋3cos (－3x)＝cos x＋2cos 2x＋3cos 3x＝f (x)，
所以f (x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C，D选项；
又因为f (0)＝6，故排除B选项．故选A．]
2．已知函数f (x)＝若存在x1，x2，x3(x1( )
A．(0，1] B．[0，1]
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
√
B [作出f (x)的大致图象如图，x1，x2，x3自左向右依次排列，
由图可知，x1＋x2＝－2，
又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2．
由图象知，当x>－2时，f (x)∈[0，1]，
∴f (x1＋x2＋x3)∈[0，1]．]
3．若函数y＝f (x)的图象如图所示，则函数y＝－f (x＋1)的图象大致为( )
√
A B
C D
C [要想由y＝f (x)的图象得到y＝－f (x＋1)的图象，需要先将y＝
f (x)的图象关于x轴对称得到y＝－f (x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f (x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C．]
4．如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f ，则函数y＝f的图象大致是( )
A B
C D
√
A [依题意，当0当1可求得f (t)＝＝－t2＋2t－，
所以f (t)＝
从而可知选项A的图象满足题意．
故选A．]
命题点2 基本初等函数的性质及应用
【典例2】 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
(2)(2025·全国一卷)已知f (x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f (x)＝5－2x，则f＝( )
A．－ B．－ C． D．
√
√
(3)(2025·全国一卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．y＞x>z D．y>z>x
√
(1)D (2)A (3)B [(1)设t＝x(x－a)＝x2－ax，抛物线开口向上，对称轴为x＝，∵y＝2t是关于t的增函数，∴要使f (x)在区间(0，1)上单调递减，则t＝x2－ax在区间(0，1)上单调递减，即≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，＋∞)．故选D．
(2)当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f (x)＝f (－x)＝f (－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f ＝1－＝－．故选A．
(3)法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，令m＝2，则x＝1，y＝3-1＝，z＝5-3＝，此时x＞y＞z，A有可能；
令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z，C有可能；
令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x，D有可能．故选B．
法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m-2，y＝3m-3，z＝5m-5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x-2，y＝3x-3，y＝5x-5的图象与直线x＝m的交点的纵坐标，如图所示．
易知，随着m的变化可能出现：x＞y＞z，y＞x＞z，y＞z＞x．故选B．]
反思领悟 基本初等函数解题的3个关键点
(1)指对互化：ax＝N x＝logaN(a＞0，且a≠1)．
(2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，它们的图象和性质，分01两种情况；
对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．
(3)复合函数：复合函数的性质往往根据相关函数的性质进行判断．
1．(2025·山西临汾三模)已知f (x)＝log2(1＋4－x)＋x，则满足f (2m－3)A．(1，3) B．
C．(－∞，3) D．(3，＋∞)
√
A [由f (x)＝log2(1＋4－x)＋x，易知其定义域为R，由f (－x)－f (x)＝log2(1＋4x)－x－log2(1＋4－x)－x＝log2－2x＝log24x－2x＝2x－2x＝0，则函数f (x)为偶函数，
f (x)＝log2(1＋4－x)＋x＝log2(1＋2-2x)＋log22x＝log2(2x＋2－x)，
由y＝2x在R 上单调递增，y＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝2x＋在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，即函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，由f (2m－3)即(2m－3)22．(多选)已知实数a，b满足>0，则( )
A．＜ B．loga2>logb2
C．< D．2a－2b<3－a－3－b
√
√
AC [因为>0，所以log2a>log2b，又y＝log2x为增函数，故a>b>0．
对于A，因为y＝为减函数，所以<，故A正确；
对于B，当a＝4，b＝2时，loga2＝对于C，0<<1<，故C正确；
对于D，当a＝4，b＝2时，因为y＝2x与y＝3x均为增函数，所以2a－2b＝24－22>0，3-4－3-2<0，此时2a－2b>3－a－3－b，故D错误．故选AC．]
3．(多选)(2025·湖南长沙三模)已知函数f (x)＝sin (ex＋e－x)，则( )
A．f (x)是周期函数
B．f (x)的最小值是－1
C．f (x)的图象有对称轴
D．f (x)的图象有对称中心
√
√
BC [对于选项A，若函数是周期函数，
则f (x＋T)＝sin (ex＋T＋e－x－T)＝f (x)＝sin (ex＋e－x)对任意x∈R都成立，
所以ex＋T＋e－x－T－(ex＋e－x)＝2kπ，k∈Z，
注意到T≠0，可知T与x有关，不是常数，
所以f (x)不是周期函数，故A错误；
对于选项B，设t＝ex＋e－x≥2，
则y＝sin t的最小值为－1，故B正确；
对于选项C，因为f (－x)＝sin (e－x＋ex)＝f (x)，
所以f (x)的图象至少有一条对称轴x＝0，故C正确；
对于选项D，若点(a，b)是函数f (x)图象的对称中心，则f (2a－x)＝2b－f (x)，即sin (e2a－x＋e－(2a－x))＋sin (ex＋e－x)＝2b，
显然b随着x的变化而变化，所以函数的图象没有对称中心，故D错误．故选BC．]
【教用·备选题】
1．(2025·河北石家庄三模)已知a＝20.6，b＝0.50.8，c＝log20.9，则a，b，c的大小关系为( )
A．aC．b√
D [因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以c＝log20.9因为y＝2x在R上单调递增，所以a＝20.6>20＝1，
因为y＝0.5x在R上单调递减，所以b＝0.50.8<0.50＝1，且b>0，
所以a>b>c．故选D．]
2．(2024·天津高考)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
√
B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，
即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．故选B．]
3．(2025·江西八市二模)已知函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．y＝f (x)－ B．y＝f
C．y＝f (x)＋ D．y＝f
√
A [根据f (x)＝得f (－x)＝＝，得f (x)－＋f (－x)－＝0，故y＝f (x)－为奇函数．
故选A．]
4．已知函数f ＝ex＋e2-x，则下列说法正确的是( )
A．f 为增函数
B．f 有两个零点
C．f 的最大值为2e
D．y＝f 的图象关于直线x＝1对称
√
D [对于A，f ′(x)＝ex－e2-x，令f ′(x)＝0，得x＝1，
当x<1时，f ′(x)<0，当x>1时，f ′(x)>0，所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故A错误；
对于B，由选项A知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且f ＝2e>0，所以函数f (x)在R上没有零点，故B错误；
对于C，由选项A知，函数f (x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f ＝f ＝2e，即函数f 的最小值为2e，故C错误；
对于D，f (2－x)＝e2-x＋ex＝f (x)，所以函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确．故选D．]
5．已知f (x)＝满足f (a)＜f (－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－2，0)∪(0，2)
D．(－2，0)∪(2，＋∞)
√
D [当a＜0时，f (a)＝a2＋2a，f (－a)＝－a2－2a，
所以f (a)＜f (－a) a2＋2a＜－a2－2a，即a2＋2a＜0，解得－2＜a＜0；
当a＞0时，f (a)＝－a2＋2a，f (－a)＝a2－2a，
所以f (a)＜f (－a) －a2＋2a＜a2－2a，
即a2－2a＞0，解得a＞2．
所以实数a的取值范围是(－2，0)∪(2，＋∞)．
故选D．]
6．函数f (x)＝log2·的最小值为________．
－ [f ＝log2x·(2＋2log2x)＝＋log2x＝－，
所以当log2x＝－，即x＝时，f 取得最小值－．]
－
7．若函数f (x)＝ex＋ae－x(a∈R)为奇函数，则不等式f (ln x)(0，1) [易知f (x)的定义域为R，
∵f (x)为奇函数，∴f (0)＝0，得a＝－1，
∴f (x)＝ex－e－x，∴f (x)为奇函数且在R上单调递增．又f (ln x)<
f (|ln x|)，∴ln x<|ln x|，∴ln x<0，∴0(0，1)
命题点3 函数与方程
【典例3】 (1)(2025·辽宁抚顺模拟)函数f (x)＝kx－4＋xlog2x在区间[1，4)内有零点，则实数k的取值范围为( )
A．[－4，1) B．(－4，1]
C．[－1，4) D．(－1，4]
√
(2)已知函数f ＝若关于x的方程[f (x)]2＋af ＋a－1＝0的不同实数根的个数为6，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
√
(1)D (2)C [(1)当x∈[1，4)时，由f (x)＝kx－4＋xlog2x＝0可得k＋log2x－＝0，
令g(x)＝k＋log2x－，因为函数y＝log2x，y＝k－在[1，4)上均单调递增，故函数g(x)＝k＋log2x－在[1，4)上单调递增，
因为函数f (x)在区间[1，4)内有零点，则函数g(x)在区间[1，4)内有
零点，所以解得－1因此，实数k的取值范围是(－1，4]．故选D．
(2)当x≤0时，f ′＝ex，由此可知f 在上单调递减，且当x→－∞时，xex→0，在上单调递增，f ＝
f ＝－；
当x>0时，f 在上单调递增，在上单调递减，
f ＝f ＝0，如图所示．
[f (x)]2＋af＋a－1＝0得[f (x)＋a－1]·[f (x)＋1]＝0，即f (x)＝1－a或f (x)＝－1，由f (x)的图象与y＝－1有两个交点，则f＝1－a必有四个根，即－<1－a<0，则a∈．故选C．]
反思领悟 利用函数零点求参数值(或取值范围)的方法
1．(2025·湖北十堰模拟)函数f (x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是
( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
√
C [函数f (x)＝x＋ln x－4的定义域为(0，＋∞)，因为f (x)的图象在(0，＋∞)上连续且单调递增．且f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝－1＋
ln 3>0，
则f (2)·f (3)<0．由零点存在定理可知，函数f (x)＝x＋ln x－4的零点所在的区间是(2，3)．故选C．]
2．对实数a和b，定义运算“◎”：a◎b＝设函数
f (x)＝2x2◎(x＋2)，x∈R．若函数y＝f (x)－m的图象与x轴恰有2个公共点，则实数m的取值范围是___________________．
{0}∪[1，2]
{0}∪[1，2] [解不等式2x2－(x＋2)≤1，可得－1≤x≤，
所以f (x)＝
画出函数f (x)的图象如图所示．
若函数y＝f (x)－m的图象与x轴恰有2个公共点，
即函数f (x)与y＝m的图象有两个交点，
结合图象可知，当m＝0或1≤m≤2或【教用·备选题】
(2025·内蒙古赤峰三模)已知函数f (x)＝
若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，则a的取值范围为( )
A．(－1，3] B．[0，3]
C．(－1，0] D．(3，＋∞)∪{－1}
√
A [若函数g(x)＝f (x)－a恰有3个零点，
即函数y＝f (x)与y＝a的图象有3个交点，
f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1(x≤0)，
当x＝0时，f (x)＝3，当x＝－2时，f (x)＝－1，
函数y＝f (x)的图象如图所示，
结合图象可得－1故选A．]
【教师·备选资源】
命题点 函数的表示
【典例】 (1)已知函数f (x)＝ln x＋，则f (2x)的定义域为
( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，4] D．(0，2]
√
(2)已知实数a≠1，函数f＝ 若f (1－a)＝f (a－1)，则a的值为( )
A． B．－ C． D．－
√
(3)(多选)(2025·福建龙岩模拟)已知函数f (＋1)＝x＋2，则( )
A．f (x)＝x2－1(x∈R)
B．f (x)的最小值为－1
C．f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)
D．f 的值域为[0，＋∞)
√
√
(1)D (2)A (3)CD [(1)要使函数f (x)＝ln x＋有意义，
则解得0＜x≤4，f (x)的定义域为(0，4]，由0＜2x≤4，
解得0＜x≤2，所以f (2x)的定义域为(0，2]．故选D．
(2)由题意，函数f＝
当a<1时，由f (1－a)＝f (a－1)可得41-a＝21，即22-2a＝21，解得a＝；
当a>1时，由f (1－a)＝f (a－1)可得4a-1＝2a－(1-a)，即22a-2＝22a-1，此时方程无解．综上可得，实数a的值为．故选A．
(3)依题意，f (＋1)＝()2＋2＝(＋1)2－1，则f (x)＝x2－1，x≥1，A错误；
当x≥1时，f (x)≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；
在f (2x－3)中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f (2x－3)的定义域为[2，＋∞)，C正确；
显然f ＝－1，0反思领悟 (1)研究函数务必遵循“定义域优先”的原则；
(2)形如f (g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；
(3)对于分段函数，要秉承“分段处理”的原则．
1．(2025·湖南长沙模拟)设f＝ 则
f 的值为( )
A．9 B．11 C．28 D．14
√
B [f ＝f ＝f ＝f ＝2×13－15＝11．故选B．]
2．(多选)设函数f (x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f (x)＝－f (y)成立，那么称函数f (x)为“H函数”．下列为“H函数”的是( )
A．y＝sin x cos x B．y＝ln x＋ex
C．y＝2x D．y＝x2－2x
√
√
AB [由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．对于A，y＝
sin x cos x＝sin 2x∈，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；对于B，函数y＝ln x＋ex的值域为R，故B是“H函数”；对于C，因为y＝2x>0，故C不是“H函数”；对于D，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．故选AB．]
【教用·备选题】
1．设函数f (x)＝若f (f (a))－f (a)＋2＝0，则实数a的值为( )
A．－1 B．－－1
C．＋1 D．－＋1
√
B [令f (a)＝t，因为f (f (a))－f (a)＋2＝0，则f (t)＝t－2．
(1)当t≤0时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解．
(2)当t＞0时，－t2＝t－2，∴t＝1(负值舍去)，∴f (a)＝1．
当a≤0时，a2＋2a＝1，则a＝－－1(a＝－1舍去)；当a＞0时，－a2＝1，无解．
综上可知，a＝－－1．
故选B．]
2．已知集合A＝{u(x)|u(x)＝ax2－(a＋b)x＋b，a，b∈R}，函数f (x)＝x2－1．若函数g(x)满足：对任意u(x)∈A，存在λ，μ∈R，使得u(x)＝λf (x)＋μg(x)，则g(x)的解析式可以是_________________________ _________________________________________________________．(写出一个满足条件的函数解析式即可)
g＝x－1(满足g＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确)
g＝x－1(满足g＝0，且一次项系数不为零的所有一次或者二次函数解析式均正确)
[∵u＝ax2－x＋b，f＝x2－1，∴u＝a－＋b＝0，f ＝0，
∵u＝λf ＋μg，
∴u＝λf ＋μg μg＝0，易知μ≠0，
∴g＝0，则g的解析式可以为g＝x－1．
经检验，g＝x－1满足题意．]
课后限时练20 基本初等函数的图象与性质
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
1．已知函数f (x)＝的定义域为A，函数g(x)＝log2x，x∈的值域为B，则A∩B＝( )
A．(0，2) B．(0，2]
C．(－∞，4] D．(－1，4]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B [∵f (x)＝，∴≥0，∴x(x－4)≤0且x≠0，可得A＝{x|0题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
2．(2025·河北沧州二模)函数f (x)＝2x＋ln x－1的零点所在的区间为( )
A． B．
C． D．
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
B [因为y＝2x与y＝ln x－1均在定义域上单调递增，所以f (x)＝2x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋ln －1＝－1－ln 2，
因为－1<，ln 2>ln ＝，
所以f ＝－1－ln 2<0，
因为f (1)＝2＋ln 1－1＝1>0，
所以函数f (x)的零点所在区间是．故选B．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
3．(2025·广东揭阳三模)下列函数是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的为( )
A．y＝ B．y＝3x
C．y＝lg (x＋) D．y＝sin x
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C [对于A，易知y＝f (x)＝的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
又函数f (－x)＝－＝－f (x)，所以y＝是奇函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；
对于B，函数y＝3x既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
对于C，令y＝t(x)＝lg (x＋)，因为x＋>x＋|x|≥0，
所以y＝lg (x＋)的定义域为R，关于原点对称，
又t(－x)＋t(x)＝lg (－x＋)＋lg (x＋)＝lg 1＝0，
所以y＝lg (x＋)是奇函数，
又u＝x＋在(0，＋∞)上单调递增，y＝lg x为增函数，
所以y＝lg (x＋)在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；
对于D，函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，故D错误．故选C．]
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
4．(2025·广东广州模拟)已知函数y＝ln (x2－2ax－3a2)在区间[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，1)
C． D．(－1，0)
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
题号
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
C [因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，由函数y＝ln (x2－2ax－3a2)在[1，＋∞)上单调递增，令g(x)＝x2－2ax－3a2，可得g(x)在[1，
＋∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
则解得－1即实数a的取值范围是．故选C．]
题号
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
5．(2025·黑龙江齐齐哈尔三模)已知点(m，9)在幂函数f (x)＝(m－2)xα的图象上，设a＝f ，b＝f (ln 2)，c＝f (3 )，则( )
A．aC．b√
题号
1
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4
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10
C [因为点(m，9)在幂函数f (x)＝(m－2)xα的图象上，则m－2＝1，解得m＝3，
所以f (3)＝3α＝9，可得α＝2，故f (x)＝x2，
因为a＝f＝f (1)，b＝f (ln 2)，c＝f (3 )，
且函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，又0f (1)题号
1
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10
√
6．(2025·广东深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y＝loga的图象一定经过( )
A．第一、第二象限 B．第一、第三象限
C．第二、第四象限 D．第三、第四象限
题号
1
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10
D [当x＝0时，y＝loga＝－1，
则当0当a>1时，函数图象过第一、第三、第四象限；
所以函数y＝loga的图象一定经过第三、第四象限．故选D．]
题号
1
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2
4
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9
10
√
7．(多选)(2025·四川绵阳模拟)已知函数f (x)＝若方程f (x)＝k有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4且x1A．0C．x1x2＋x3＋x4＝6 D．x1＋2x2∈
√
√
题号
1
3
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2
4
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10
ABD [如图所示，在同一直角坐标系内作出函数f (x)＝ 和y＝k的图象．
对于A，由图象知，方程f (x)＝k有四个不同的实数根，等价于0对于B，C，因为f ＝＝1，f (2)＝|log22|＝1，f (4)＝42－6×4＋9＝1，且函数y＝x2－6x＋9的图象关于直线x＝3对称，由图象得－log2x1＝log2x2，即log2x1＋log2x2＝0，所以x1x2＝1，
由x3，x4是x2－6x＋9＝k(0所以x3＋x4＝6，x3x4＝9－k，所以＝＝，
因为0题号
1
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10
对于D，由x1x2＝1，可得x1＋2x2＝＋2x2(1令h(x)＝2x＋＝2(1题号
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10
题号
1
3
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8．(2024·全国甲卷)已知a>1且＝－，则a＝______．
64 [＝log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
则log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，
所以log2a＝6，故a＝26＝64．]
64
题号
1
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4
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10
9．已知y＝ln 为奇函数，则实数a的值是________．
4 [由题意知＋1＝>0，得(x－2)(x＋a－2)>0，
令(x－2)(x＋a－2)＝0，解得x＝2或x＝2－a，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以2＋(2－a)＝0，解得a＝4，
4
题号
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10
即y＝ln ＝ln ，
令f (x)＝ln ，其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，
f (－x)＝ln ＝－ln ＝－f (x)，满足题意．所以a＝4．]
10．(2025·湖南长沙三模)已知函数f (x)＝(x－a)3ln 的图象关于直线x＝2对称，则a＋b＝________
题号
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－2
题号
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10
－2 [函数f (x)＝(x－a)3ln 的定义域满足>0，即x(x＋b)>0，
由题知f (x)的定义域关于x＝2对称，故b＝－4．
则f (4－x)＝f (x)，
即(x－a)3ln ＝(4－x－a)3ln ，
故(x－a)3ln ＝(x＋a－4)3ln ，
则x－a＝x＋a－4，解得a＝2．
故a＋b＝－2．]
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