2025—2026学年九年级上学期第一次月考卷02
数 学
（测试范围：九年级下册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
2．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，点O，I分别是的外心和内心，连接，．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，与三边分别相切于点，，，且，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形的两边与相切于两点，点B在上，若圆的半径为，则所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡向上行驶了50米，则此时该小车离水平面的垂直高度为（ ）
A．25米 B．米 C．米 D．米
8．如图所示的图形叫弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的，先画正三角形，然后分别以点A，B，C为圆心，长为半径画弧．若正三角形的边长为2，则此图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．
9．在中，若，均为锐角，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．双坡式屋顶在建筑中应用广泛，其优点之一就是有利于排水．如图是某双坡式屋顶钢架外框，经测量，钢架的跨度，，，则中柱（D为底边中点）的长是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ．
12．如图，，分别与相切于，两点，若，则 ．
13．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为米，这辆小汽车车门宽为米，当车门打开角度为时，车门是否会碰到墙？ ．（填“是”或“否”）（参考数据：，，）
14．如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为 ．（将无人机近似为一个点）
15．在中，若，则的度数为 ．
16．在中，，则的长为 （精确到）．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：
（2）解方程：
18．（1）计算：．
（2）已知二次函数的图象经过点，．求这个二次函数的表达式及顶点坐标．
19．如图，在中，，，点为边上的动点（不包括，两点），以点为顶点作，射线交边于点，过点作，交射线于点，连接．
(1)求证：；
(2)探索：点在边上运动的过程中，的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出其值．
20．如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若的半径，，求的长．
21．图是一个四冲程汽油机的工作图，我们在物理课上学过汽油发动机是由汽油和空气燃烧推动活塞运动的．然而活塞运动是直线方向的运动，而汽车的行进是靠滚动的，这时就需要通过曲柄连杆机构把直线运动转化为旋转运动．
图是曲柄连杆机构的示意图，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点，是直线与的交点．当点运动到点时，点到达点；当点运动到点时，点到达点已知，．
(1)的长为 ．
(2)求当与相切时，的长度．
(3)据中国汽车工业协会统计分析，年月，我国新能源汽车产销同比高速增长，市场占有率达到，与此同时，中国产的新能源汽车在海外市场的销量也在不断增长．目前的新能源汽车大多使用电动机，我们在物理课上也学过电动机，是由电磁感应带动转子直接转动的．你能写出一个新能源汽车比传统汽油车的优势吗？
22．是的外角的平分线，与的外接圆交于点．
(1)求证：；
(2)若，求劣弧的长度．（结果保留）
23．图所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑如图是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中是平板下部的圆弧支撑，已知当弦平行于地面时，弦到地面的距离是圆半径的一半，．
(1)尺规作图：确定所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求圆的半径；
(3)求的长度．
24．如图，在直角中，，线段是的高，其中和分别是和的内心，连接并向两侧延长，与两直角边和分别交于点，，连接和．
(1)求证：；
(2)若，，求三角形的面积；
(3)请判断的形状，并说明理由．(共5张PPT)
九年级数学下册第一次月考卷02
分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 求点到坐标轴的距离；判断直线和圆的位置关系
2 0.85 已知正弦值求边长
3 0.75 直角三角形的两个锐角互余；圆周角定理；切线的性质定理
4 0.65 圆周角定理；三角形内心有关应用；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
5 0.65 根据正方形的性质与判定求线段长；应用切线长定理求解；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；切线的性质定理
6 0.65 求弧长；切线的性质定理
7 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）；用勾股定理解三角形
8 0.65 解直角三角形的相关计算；求其他不规则图形的面积；等边三角形的性质
9 0.65 绝对值非负性；三角形内角和定理的应用；根据特殊角三角函数值求角的度数
10 0.64 三线合一；求角的正切值
知识点分布
二、填空题 11 0.85 等边对等角；三角形内角和定理的应用；圆周角定理；三角形内心有关应用
12 0.75 切线的性质定理
13 0.75 其他问题（解直角三角形的应用）
14 0.65 仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
15 0.65 绝对值非负性；三角形内角和定理的应用；根据特殊角三角函数值求角的度数
16 0.65 直角三角形的两个锐角互余；已知正切值求边长；求一个数的近似数
知识点分布
三、解答题 17 0.85 实数的混合运算；因式分解法解一元二次方程；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 待定系数法求二次函数解析式；特殊角三角函数值的混合运算；把y=ax +bx+c化成顶点式
19 0.65 等边对等角；三角形的外角的定义及性质；相似三角形的判定与性质综合；求角的余弦值
20 0.65 等腰三角形的性质和判定；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
21 0.65 用勾股定理解三角形；切线的性质定理
22 0.65 已知圆内接四边形求角度；解直角三角形的相关计算；求弧长；圆周角定理；角平分线的有关计算
23 0.64 利用垂径定理求值；求弧长；确定圆心(尺规作图)；根据特殊角三角函数值求角的度数
24 0.4 解直角三角形的相关计算；相似三角形的判定与性质综合；三角形内角和定理的应用；三角形内心有关应用2025—2026学年九年级上学期第一次月考卷02
数 学
（测试范围：九年级下册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D D C C C C D C
1．B
本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答．
解：∵点，
∴圆心到y轴的距离为4，
∵以点P为圆心，4为半径作，
∴圆P与y轴相切．
故选：B．
2．D
根据定义，得，然后变形计算即可．
本题考查了锐角三角函数正弦的应用，熟练掌握其定义是解题的关键．
解：∵，
∴，
∵米，
∴（米），
故选：D．
3．D
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
连接，由切线的性质得，即可计算，再由圆周角定理可得出的大小．
解：连接，如下图所示：
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选D．
4．D
本题主要考查了三角形的外接圆与内切圆的概念、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆周角定理等知识，连接，由，可得，根据三角形内角和求出，根据圆周角定理求出，由点I是的内心，得．
解：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点I是的内心，
∴平分，
∴，
故选：D．
5．C
此题考查了三角形的内切圆与内心、切线的性质、正方形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
连接、、、，由与三边分别相切于点，得，，，，，，，则，推导出，可证明四边形是正方形，则，求得，于是得到问题的答案．
解：连接、、、，
与三边分别相切于点，且，，，
∴，，，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
本题主要考查了切线的性质、求弧长等知识，连接，由切线的性质可得，结合解得的度数，然后由弧长公式求解即可．
解：如下图，连接，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴所对的弧长．
故选：C．
7．C
本题考查坡度的定义，坡度是坡面垂直距离与水平距离的比；根据坡度为可得：垂直距离：水平距离，据此即可求解
解：∵坡度为，
∴垂直距离:水平距离，
设该小车离水平面的垂直高度为米，则水平距离为米，
∵斜坡向上行驶了50米，
∴，解得：．
故选：C．
8．C
本题考查了解直角三角形，扇形面积公式，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式的应用．
过点作于点D，先解直角三角形求出，即可求解等边三角形的面积，然后由扇形面积减去等边三角形的面积求出一个阴影部分的面积，再乘以3即可求解阴影部分总面积．
解：过点作于点D，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
故选：C．
9．D
本题考查非负数的性质和特殊角的三角函数值．
由等式成立可知每个非负项均为零，从而根据特殊角的三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和求．
解：∵，
∴，，
∴，，
∵，均为锐角，
∴，，
∴．
故选：D．
10．C
本题考查了直角三角形，等腰三角形三线合一的应用，用三角函数即可；根据题意得，，可得，即可求解.
解：∵，则中柱（D为底边中点）的长
∴，，
在中，，，
∴，即，
故选：C.
11．/26度
本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
解：如图，连接，
点是的内心，
平分，
，
，
点是外接圆的圆心，
，
，
，
故答案为：．
12．
本题考查了切线的性质定理．根据切线的性质定理可得，即可求解．
解：∵，分别与相切于，两点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
13．否
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确添加辅助线．过点A作于点C，根据解直角三角形的计算求得长度，再与车跟墙壁的距离比较即可得到答案．
解：如图，过点A作于点C，
则在中，，，米，
∴，
∴不会碰到墙．
故答案为：否．
14．
此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解．
解：如图，
根据题意可得，，，米，
∴（米），
故答案为：．
15．/度
本题主要考查了非负数的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据非负性的性质可求出的值，则可求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
本题主要考查了正切的定义、直角三角形的性质等知识点，掌握正切的定义是解题的关键．
先根据直角三角形的性质求得，再运用正切的定义求解即可．
解：在中，，
∴．
∵
∴．
故答案为：．
17．（1）3（2）
本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解一元二次方程，解题的关键是掌握各运算法则．
（1）将每个特殊角的三角函数值代入进行计算即可；
（2）利用因式分解法进行解一元二次方程即可．
解：（1）
；
（2）
∴或，
∴．
18．（1）；（2），顶点坐标
本题主要考查了特殊角的三角函数值，求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；
（2）用待定系数法求出函数解析式，将一般式化为顶点式，再得出顶点坐标即可．
解：（1）
；
（2）把，代入得：
，解得：，
∴二次函数解析式为：；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
19．(1)见解析
(2)不变化，
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论；
（2）过点A作于M，由等腰三角形的性质得，再由锐角三角函数定义得，即可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：不变，理由如下：
过点A作于M，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
即的值不变化．
20．(1)见解析；
(2)．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由，是的切线，即，则有，所以，证明是等腰直角三角形，从而求证；
（）先证明是等腰直角三角形，所以，由（）得，连接，然后通过勾股定理得，最后根据线段的和与差即可求解．
（1）证明：∵，是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（）得，
如图所示，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)
(2)
(3)电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
本题考查切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系．
（1）由题意得，，求出；
（2）得到，由切线的性质定理得到，由勾股定理求出，又，得到．
（3）电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
（1）解：由题意，，
，
故答案为：；
（2）解：与相切时，
，
，
，
；
（3）解：电动机可以直接做旋转运动，不需要额外的传输，效率更高．（言之有据均可）
22．(1)见解析
(2)
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点并灵活运用．
（1）根据圆内接四边形的性质，圆周角定理即可得到；
（2）连接，由圆周角定理得，，则，，过点作于点，解求出，再由弧长公式求解．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵A，D，C，B四点共圆，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得，，
∴∠；
（2）解：如图，连接，
由圆周角定理得，，
∴，
∴，
过点作于点，
∵，
∴，
∴
则劣弧的长．
23．(1)见解析
(2)圆的半径为
(3)
本题考查作图----应用与设计作图、解直角三角形、勾股定理、弧长的计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）结合题意，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则点即为所求．
（2）连接，由题意得，于点，则设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入求出的值即可．
（3）连接，可得，，在中，，可得，则，即，再利用弧长公式计算即可．
（1）解：如图，先过点作的垂线，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，
则点即为所求．
（2）解：连接，
由题意得，．
由（1）知，于点，
．
设圆的半径为，
则，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
圆的半径为．
（3）解：连接，
可得，，
在中，，
∴，
，
，
，
的长度为．
24．(1)证明见解析；
(2)三角形的面积为；
(3)`是等腰直角三角形，理由见解析．
（1）由线段是的高，则，又和分别是和的内心，则，，然后通过线段和差即可求解；
（2）分别过点和作于点，于点，证明，都是等腰直角三角形，，又和分别是和的内心，且，，则和分别是和的内切圆的半径，所以，可证，，也是等腰直角三角形，设和的半径为，通过，即，解得，然后通过面积公式即可求解；
（3）连接，，设，，通过同角的余角相等得，，证明，所以，，则，又和 分别是和的内心，所以，得，得到，，通过三角形内角和定理得，从而可得，则有是等腰直角三角形．
（1）证明：∵线段是的高，
∴，
又∵和分别是和的内心，
∴，，
∴，
（2）解：分别过点和作于点，于点，如图所示，
∵，，是的高，
∴，，，
∴，
∴，都是等腰直角三角形，，
∵和分别是和的内心，且，，
∴和分别是和的内切圆的半径，
∴，
由（）可知，，，，
∴，，也是等腰直角三角形，
设和的半径为，
∵，，，
∴，，
∵的面积为，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
∴三角形的面积为；
（3）解：`是等腰直角三角形，理由如下：如图，
连接，，
设，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
又∵和 分别是和的内心，
∴，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
又∵
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形内心，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键．
