2025—2026学年九年级上学期第一次月考卷
数 学
（测试范围：九年级下册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在中，，已知，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，在中，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一张直角三角形纸片，其中，，．现将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，内接于，是的直径，，点是的内心，的延长线交于点，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（ ）
A．4步 B．5步 C．6步 D．7步
6．如图，线段与相切于点C，连接交于点D．已知，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．根据国家标准《自动扶梯和自动人行道的制造与安装安全规范》，自动扶梯的倾斜角不应大于．如图是某商场扶梯的示意图，扶梯的坡度（i为铅直高度与水平宽度的比）．若小光乘扶梯从扶梯底端A处以的速度用时到达扶梯顶端B处，则小光上升的铅直高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是、的中点，则长度的最大值是（ ）
A． B． C． D．3
9．在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
10．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在中，，，，则的长为 ．
12．在锐角中，，，则 ．
13．如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为
14．如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径为 ．
15．如图，、分别切于点、，若，则的大小为 ．
16．如图，中，，，，于点，则的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算
（2）解方程：．
18．如图，是的直径，为的弦，于点E，连接并延长到点M，连接，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．如图，正方形的边长为2，经过正方形上的点B，C，且与相切于点P．
(1)正方形的内切圆和外接圆的半径分别为______，______；
(2)求的半径；
(3)求图中阴影部分的面积．（参考数据：，）
20．如图1，直角三角板和一个量角器拼在一起，，三角板的斜边与量角器所在圆的直径重合，长度为4．量角器最外缘的读数是从点M开始（即点M的读数为0），现有射线绕点C从方向顺时针旋转，在旋转过程中，若射线与量角器的半圆弧有交点，记交点为E．
(1)当射线与的外接圆相切时，为______；
(2)如图2，当射线经过的外心时，求E处的读数及线段扫过的面积；
(3)连接，当时，求的度数．
21．独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
22．为建设美好社区，某社区在文化活动室墙外安装遮阳篷（如图1所示），便于社区居民休憩．如图2，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米（图中所有的点都在同一平面内）．（参考数据：）
(1)求遮阳篷边缘点到墙体的距离；
(2)当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．
23．在中，，点E是的中点，，垂足为点D．已知，．
(1)求线段的长；
(2)求的值．
24．如图1，点为外一点，过点作的切线，切点为是的直径，过点作交于点，连接并分别延长，两线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分面积（结果保留）；
(3)如图2，若的半径为2，点是的内心，连接并延长至点，使得，垂足为，连接．当点运动时，求的最小值．(共5张PPT)
九年级数学下册第一次月考卷
分析
浙教版 九年级下册
知识点分布
一、单选题 1 0.94 已知正切值求边长
2 0.85 求角的余弦值；根据特殊角三角函数值求角的度数
3 0.75 折叠问题；求角的正切值
4 0.65 直角三角形的两个锐角互余；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角；三角形内心有关应用
5 0.65 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形
6 0.65 解直角三角形的相关计算；求其他不规则图形的面积；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
7 0.65 坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
8 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；解直角三角形的相关计算；半圆（直径）所对的圆周角是直角
9 0.65 三角形内角和定理的应用；由特殊角的三角函数值判断三角形形状；根据特殊角三角函数值求角的度数
10 0.64 求扇形面积；利用矩形的性质求角度；特殊三角形的三角函数
知识点分布
二、填空题 11 0.85 解直角三角形的相关计算
12 0.75 三角形内角和定理的应用；根据特殊角三角函数值求角的度数
13 0.65 应用切线长定理求解；一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系
14 0.65 应用切线长定理求解；直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
15 0.65 多边形内角和问题；圆周角定理；切线的性质定理
16 0.64 直角三角形的两个锐角互余；求角的余弦值；用勾股定理解三角形
知识点分布
三、解答题 17 0.85 因式分解法解一元二次方程；特殊角三角函数值的混合运算
18 0.75 含30度角的直角三角形；利用垂径定理求值；圆周角定理；已知余弦求边长
19 0.65 正多边形和圆的综合；求扇形面积；三角形内心有关应用
20 0.65 求图形旋转后扫过的面积；圆周角定理；切线的性质定理
21 0.65 相似三角形的判定与性质综合；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；切线的性质定理
22 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；其他问题（解直角三角形的应用）
23 0.64 斜边的中线等于斜边的一半；解直角三角形的相关计算；用勾股定理解三角形
24 0.4 求其他不规则图形的面积；证明某直线是圆的切线；用勾股定理解三角形；三角形内心有关应用2025—2026学年九年级上学期第一次月考卷
数 学
（测试范围：九年级下册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A C A B C B B A
1．B
本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．由锐角三角函数得，即可求出．
解：如图，
在中，，已知，
，
∴
故选：B．
2．A
本题考查等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值及等腰直角三角形的性质解答．
解：∵在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
3．A
本题主要考查了解直角三角形，折叠的性质．求出，再由折叠的性质得：，即可求解．
解：∵，，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴．
故选∶A
4．C
本题考查了三角形的内心，圆周角定理，直角三角形的性质，由三角形内心的定义可得，由圆周角定理得，即可得，进而可得，再根据圆周角定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵点是的内心，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．A
本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键．
先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径．
解：∵在中，，步，步，
∴步，
如图：过O作，则半径为，连接，
∵，
∴，
解得：，
∴的直径为步．
故选：A．
6．B
本题考查了切线的性质，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算，掌握以上知识是关键，根据题意，连接，得，根据勾股定理得到，由，得，，根据，代入计算即可求解．
解：如图所示，连接，
∵线段与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，
∴，
故选：B ．
7．C
本题主要考查坡比的概念，勾股定理及解一元一次方程，理解题意，设未知数，构建方程是解题的关键．
先求得，设，再由勾股定理得，解得，即可求解.
根据题意，，
扶梯的坡度，
，设，
，
解得，
．
故选：C．
8．B
本题考查了三角形中位线的性质、直径所对的圆周角为直角、解直角三角形，判断出长最大时，为直径是解题的关键．
根据三角形中位线的性质可知，则当最大时，最大，当最大时是直径，此时根据直径所对的圆周角为直角，可得，然后根据解直角三角形求得直径，即可解答．
解：∵点M、N分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴当最大时，最大，当最大时是直径，
如图所示，
此时，
∵，
∴，
∴长的最大值为．
故选：B．
9．B
本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解．
根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案．
解：∵都是锐角，且，，
，
，
∴的形状是钝角三角形，
故选：B．
10．A
根据题意，得，于是得到，根据特殊角三角函数，得到，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数，扇形面积公式，熟练掌握三角函数，扇形面积是解题的关键．
解：根据题意，得，
由矩形，
得，
故，
故，
，
故阴影部分的面积为：，
故选：A．
11．
本题考查了解直角三角形．过A作于H，利用正弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义求得，据此求解即可．
解：过A作于H，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
/度
本题考查了特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．根据可得的度数，再利用三角形内角和定理计算的度数即可．
解：在锐角中，，
，
，
．
故答案为：．
13．9
本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键．
连接， 推导出，，再根据，代入计算即可．
解：连接，如图，
∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，
∴ ，
，
∴，
∴
．
故答案为：9．
14．
本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，得出四边形是正方形是解题关键．根据切线的性质得到，，，进而求得 ， 推出四边形是正方形，设，在中，利用勾股定理即可得解．
解：是的内切圆，三个切点分别为，，，
，，，，，
，
，，
四边形是正方形，
设，
在中，，
即，
解得，（舍去），
的半径为．
故答案为：．
15．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，四边形内角和定理，掌握切线的性质，圆周角定理是关键．
连接，根据圆周角定理得到，由切线的性质得到，由四边形内角和定理即可求解．
解：如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角是，
∴，
∵、分别切于点、，
∴，
在四边形中，，
故答案为：．
16．
本题考查求锐角的余弦值、直角三角形两锐角互余及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．利用勾股定理求出，根据角的和差关系得出，根据三角函数的定义即可得答案．
解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
17．（1）
（2），
本题考查特殊角的三角函数值和解一元二次方程，熟练掌握特殊角的三角函数值和解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值计算即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
（1）
解：原式
；
（2）
解：
或，
，．
18．(1)见解析
(2)3
（1）根据圆周角定理，得，结合，可以证明，于是即可得证；
（2）根据，，，得，，根据，解答即可．
（1）证明：根据圆周角定理，得，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理，余弦函数的应用，熟练掌握定理是解题的关键．
19．(1)1，
(2)1.25
(3)
此题主要考查了正多边形和圆，内心的性质，扇形面积公式．
（1）由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们的长度；
（2）连接并延长，交于点E，连接．设的半径为，在中，由勾股定理列式计算即可求解；
（3）先求得，再利用扇形面积公式即可求解．
（1）解：如图，过点O作于点B．
∵正方形的边长为2，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
即外接圆半径为，内切圆半径为1；
故答案为：1，；
（2）解：如图，连接并延长，交于点E，连接．
∵是的切线，
∴，
由正方形可得，
∴，
∵，
∴，
设的半径为，则，
在中，有，
∴，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴，
连接，
∴，
∴．
20．(1)
(2)E处的读数为60，
(3)
（1）连接，利用圆的切线的性质定理得到，利用同圆的半径相等和等腰三角形的性质求得，则结论可求；
（2）利用圆周角定理，直角三角形的性质，扇形与三角形的面积公式解答即可；
（3）利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理解答即可．
（1）解：当射线与的外接圆相切时，连接，如图，
∵射线与的外接圆相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转α的度数为．
故答案为：；
（2）解：∵，
∴的外接圆就是量角器所在的圆，
当过的外心时（即过点O），
∵，
∴，
∴，
即E处的读数为60；
在中，∵，
∴，
∴，
过点C作于点F，如图，
∵，
∴，
∴扫过的面积为
；
（3）解：当时，如图，
由（2）得的外接圆就是量角器所在的圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
即α的度数为．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，扇形的面积与三角形的面积，直角三角形的性质，圆的切线的性质定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
21．(1)见解析；
(2)5．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
（2）连接PB，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
在中，∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，即，
解得，
∵，
∴，
∴的半径为5．
22．(1)米
(2)米
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形、利用辅助线构建矩形是解题的关键．
（1）依题意可知，代入计算即可解答；
（2）过点B作于点G，易证、四边形是矩形，然后根据正弦求得，然后根据矩形的性质和线段的和差求得、，即可求得答案．
（1）解：在中，米，，，
∴（米），
即遮阳篷边缘点B到墙体的距离为米；
（2）解：如图2，过点B作于点G，
∴，，
∴；
在中，米，，，
∴（米），
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵米，米，
∴（米），米，
∴（米）．
即阴影的长为米．
23．(1)5
(2)
本题考查了勾股定理，解直角三角形的相关计算，等面积法，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合，，，故，解得，又因为点E是的中点，即；
（2）先根据勾股定理得，再结合以及等面积法进行列式计算，得，故，最后把数值代入进行计算，即可作答．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
则，
∴，
∵点E是的中点，
∴；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴，
则
∵，
∴，
解得，
∵，，
∴，
则．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)的最小值
本题考查切线的性质与判定，扇形面积计算，三角形内心；
（1）连接，证明，结合的切线，得到，即可得到是的切线；
（2）由，得到，，，结合，得到，，然后根据图中阴影部分面积计算即可；
（3）延长交于，连接，取中点，连接，，由点是的内心，得到，由，得到，根据斜边中线的性质得到，即可得到，当在上时，最小．
（1）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵的切线，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，，，
设半径，则，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴图中阴影部分面积为；
（3）解：延长交于，连接，取中点，连接，，
∵直径，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∵中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当在上时，最小．
