加分练5 带电粒子在立体空间中的运动
保分基础练
1.如图所示,空间直角坐标系O xyz中,竖直放置的两金属板M、N构成加速器,两板间电压为U。荧光屏Q位于xOy平面上,虚线分界面P将金属板N、荧光屏Q间的区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分,M、N、P、Q与xOy平面平行,ab连线与z轴重合。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿y轴负方向的匀强磁场和y轴正方向的匀强电场,磁感应强度大小为、电场强度大小为。一质量为m、电荷量为+q的粒子,从M板上的a点静止释放,经加速器加速后从N板上的b孔射出,最后打在荧光屏Q上。不考虑粒子的重力,M、N、P、Q足够大,不计M、N间的边缘效应。求:
(1)粒子在b点速度的大小及在磁场中做圆周运动的半径R;
(2)粒子经过P分界面时到z轴的距离;
(3)粒子打到荧光屏Q上的位置,用坐标(x,y,z)表示。
增分提能练
2.在如图所示的O xyz三维空间中,x≤0的区域存在沿y轴正方向的匀强电场,在0(1)粒子经过C点时的速度大小;
(2)电场强度E与磁感应强度B的比值的大小;
(3)带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
加分练5 带电粒子在立体空间中的运动
1.答案 (1) d (2)d (3)
解析 (1)粒子在电场中加速过程,根据动能定理有
qU=mv2,
解得v=,
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,则有qBv=m,
解得R=d。
(2)作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
根据几何关系有sin θ=,
解得θ=60°,
粒子经过P分界面时到z轴的距离为
x1=R-Rcos 60°=d。
(3)在区域Ⅱ电场中,粒子在z轴方向上移动的时间为
t=,
在x轴方向上匀速直线运动,则有x2=vsin θ·t=d,
所以在x轴的横坐标为x=x1+x2=d,
在y轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动,则有
a==,
y=at2=d,
可知坐标为。
2.答案 (1)v0 (2) (3)
解析 (1)带电粒子在匀强电场中沿x轴方向做匀速直线运动,设粒子运动的时间为t1,则2L=v0t1,
粒子在电场中的加速度为a,则L=a,
粒子沿y轴方向的速度为vy=at1,
粒子经过C点时的速度大小为v=,
解得v=v0。
(2)匀强电场的场强为E,由牛顿第二定律得Eq=ma,
解得E=,
粒子在0由几何关系可知,粒子的轨道半径为
r1==L,
在该磁场区域中,由牛顿运动定律可知qvB=m,
解得B=,
电场强度E与磁感应强度B的比值为=。
(3)带电粒子从F点沿x轴正方向进入半圆柱体区域,粒子在平行于xOz的平面内做匀速圆周运动的轨迹如图乙所示,
粒子在该半圆柱区域中的运动半径r2=r1,轨迹的圆心角为60°,则出射点在x轴上的坐标为
x0=r2cos 30°+L=L,
y轴上的坐标为y0=r1=L,
z轴上的坐标为z0=r2sin 30°=L,
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为。(共13张PPT)
加分练5 带电粒子在立体空间中的运动
1.如图所示，空间直角坐标系O-xyz中，竖直放置的两金属板M、N构成加速器，两板间电压为U。荧光屏Q位于xOy平面上，虚线分界面P将金属板N、荧光屏Q间的区域分为宽度均为d的Ⅰ、Ⅱ两部分，M、N、P、Q与xOy平面平行，ab连线与z轴重合。区域Ⅰ、Ⅱ内分别充满沿y轴负方向的匀强磁场和y轴正方向的匀强电场，磁感
保分基础练
1
2
应强度大小为、电场强度大小为。一质量为m、电荷量为+q的粒子，从M板上的a点静止释放，经加速器加速后从N板上的b孔射出，最后打在荧光屏Q上。不考虑粒子的重力，M、N、P、Q足够大,不计M、N间的边缘效应。求：
1
2
1
2
(1)粒子在b点速度的大小及在磁场中做圆周运动的半径R；
粒子在电场中加速过程，根据动能定理有qU=mv2，
解得v=，
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qBv=m，
解得R=d。
解析
1
2
(2)粒子经过P分界面时到z轴的距离；
作出粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
根据几何关系有sin θ=，
解得θ=60°，
粒子经过P分界面时到z轴的距离为
x1=R-Rcos 60°=d。
解析
在区域Ⅱ电场中，粒子在z轴方向上移动的时间为t=，
在x轴方向上匀速直线运动，则有x2=vsin θ·t=d，
所以在x轴的横坐标为x=x1+x2=d，
在y轴方向上做初速度为0的匀加速直线运动，则有a==，
y=at2=d，
可知坐标为。
解析
1
2
(3)粒子打到荧光屏Q上的位置，用坐标(x，y，z)表示。
1
2
2.在如图所示的O-xyz三维空间中，x≤0
的区域存在沿y轴正方向的匀强电场，在
0场，磁感应强度大小为B(未知)，在x≥L
的区域内存在半圆柱体MNP-M′N′P′
的空间区域，该区域内存在沿y轴正方向
的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，平面MNN′M′与yOz平面平
增分提能练
1
2
行，半圆柱体的半径为r=L，D点(L，0，0)为半圆柱体底面圆心。一质量为m、电荷量为+q的带电粒子，从A点(-2L，0，0)以初速度大小v0，方向沿着x轴正方向射入匀强电场，经过C点(0，L，0)后，再经过磁场偏转后垂直平面MNN′M′进入半圆柱体区域，不计粒子的重力。求：
带电粒子在匀强电场中沿x轴方向做匀速直线运动，设粒子运动的时间为t1，则2L=v0t1，
粒子在电场中的加速度为a，则L=a，
粒子沿y轴方向的速度为vy=at1，
粒子经过C点时的速度大小为v=，
解得v=v0。
解析
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2
(1)粒子经过C点时的速度大小；
1
2
(2)电场强度E与磁感应强度B的比值的大小；
匀强电场的场强为E，由牛顿第二定律得Eq=ma，
解得E=，
粒子在0解析
由几何关系可知，粒子的轨道半径为
r1==L，
在该磁场区域中，由牛顿运动定律可知qvB=m，
解得B=，
电场强度E与磁感应强度B的比值为=。
解析
1
2
1
2
(3)带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标。
带电粒子从F点沿x轴正方向进入半圆柱体区域，粒子在平行于xOz的平面内做匀速圆周运动的轨迹如图乙所示，
解析
粒子在该半圆柱区域中的运动半径r2=r1，轨迹的圆心角为60°，则出射点在x轴上的坐标为x0=r2cos 30°+L=L，
y轴上的坐标为y0=r1=L，
z轴上的坐标为z0=r2sin 30°=L，
带电粒子从半圆柱体射出时的位置坐标为。
解析
1
2加分站 5 带电粒子在立体空间中的运动
1.基本思路:根据物体所处的状态(静止或匀速直线运动),受力分析,结合平衡条件列式。
2.主要方法:力的合成法和正交分解法。
带电粒子在立体空间中的运动问题,往往通过降维思想进行简化,常见示例及解题策略如下表。
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动,每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面,如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动所在平面切换,粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来,转换视图角度,把立体图转化为平面图,分析粒子在每个面内的运动
例1 (多选)(2025·河南三模)在如图所示的长方体空间中,存在沿y轴正方向的匀强电场和匀强磁场,AB=AA1=d,AD=L。某时刻一带正电的粒子以速度大小v0,方向平行于yOz平面且与y轴正方向的夹角θ=37°,从左边界区域中心射入,该粒子比荷为k,不计粒子重力,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是( )
A.粒子在该区域运动过程中,加速度大小不变
B.若磁感应强度B<,则粒子会从DCC1D1面射出
C.若磁感应强度B>,则粒子会从DCC1D1面射出
D.若磁感应强度B<,则粒子可能从A1OC1D1面射出
例2 (2025·雅安二模)如图所示,水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B0;水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒,圆筒上下表面圆心O1、O2处各开有一个小孔,其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场,电场强度大小为E,磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子,从O1处进入圆筒,恰好与筒壁不碰撞,最后从O2处射出。已知粒子质量为m,电荷量为q(q<0),粒子源O到圆心O1的水平距离为L。忽略粒子重力,不考虑边界效应。求:
(1)粒子从粒子源射出时的速度大小v0;
(2)粒子在圆筒内旋转的周期T;
(3)圆筒高度H满足的条件。
[尝试解答]
高考真题·体验
(2024·湖南卷)如图,有一内半径为2r、长为L的圆筒,左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点,取O'O方向为x轴正方向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向沿x轴正方向;筒外x≥0区域有一匀强电场,场强大小为E,方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电子,电子初速度方向均在xOy平面内,且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e,设电子始终未与筒壁碰撞,不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场,求磁感应强度B的最小值;
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B,若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ,求tan θ的绝对值;
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B,求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
加分站5 带电粒子在立体空间中的运动
例1 AC 解析 粒子在该区域受到沿y轴正方向的电场力F=qE,将v0分解为沿z轴正方向的v0z和沿y轴正方向的v0y,则有v0z=v0sin 37°=v0,由左手定则知F洛=qv0zB,方向沿x轴负方向,在xOz平面做匀速圆周运动,由于F洛不做功,v0z大小不变,故F洛大小不变。而电场力是恒力,y方向虽加速,但不影响洛伦兹力,所以合力F合=大小不变,则加速度大小不变,A项正确;若磁感应强度B=,根据洛伦兹力提供向心力,有qBv0z=m,解得r=,AA1OB的侧视图如图甲,可得O'P=,由图可知当r==时,轨迹圆与A1OC1D1相切,根据r=可知B越大,r越小,故B>时,r<,粒子沿y轴正方向做匀加速运动,则粒子会从DCC1D1面射出,C项正确,B项错误;若B=时,根据洛伦兹力提供向心力,有qBv0z=m,解得r=,此时圆心在A1D1C1O面上(P点),如图乙,故B<时,r>,则粒子会从ADD1A面射出,D项错误。
例2 答案 (1) (2) (3)H=+(n=1,2,3…)
解析 (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,半径为r,则sin 30°=,
由洛伦兹力提供向心力有qv0B0=m,
解得v0=。
(2)粒子从O1处进入圆筒,速度方向与水平方向成30°角,水平方向做匀速圆周运动,竖直方向做匀加速直线运动,有vx=v0cos 30°,vy=v0sin 30°,
粒子恰好与筒壁不发生碰撞,则粒子做圆周运动的半径为R'=,
由洛伦兹力提供向心力有qvxB=m,
粒子做圆周运动的周期T=,
解得T=。
(3)粒子在竖直方向做匀加速直线运动,有qE=ma,
运动时间满足t=nT(n=1,2,3…),
根据H=vyt+at2,
解得H=+(n=1,2,3…)。
高考真题体验
答案 (1) (2) (3)
解析 (1)将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0、y轴方向的速度vy0,则电子做沿x轴正方向的匀速运动和投影到yOz平面内的圆周运动,又电子做匀速圆周运动的周期为T=,电子均能经过O进入电场,则
=nT(n=1,2,3,…),
联立解得B=(n=1,2,3,…),
当n=1时,Bmin=。
(2)由于电子始终未与筒壁碰撞,则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r,由洛伦兹力提供向心力有evy0maxB=m,
B=Bmin=,
则|tan θ|==。
(3)电子在电场中做类斜抛运动,当电子运动到O点时沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时,电子在电场中运动的y轴正方向的位移最大,由牛顿第二定律有
eE=ma,
由速度位移公式有2aym=,
联立解得ym=。(共17张PPT)
加分站 5
带电粒子在立体空间中的运动
1.基本思路：根据物体所处的状态(静止或匀速直线运动)，受力分 析，结合平衡条件列式。
2.主要方法：力的合成法和正交分解法。
带电粒子在立体空间中的运动问题，往往通过降维思想进行简化，常见示例及解题策略如下表。
运动类型 解题策略
在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见运动模型 将粒子的运动分解为三个方向的运动
一维加一面，如旋进运动 旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该轴所在面内的圆周运动
运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转后曲线不在原来的平面内 把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每个面内的运动
例1 (多选)(2025·河南三模)在如图所示的长方体空间中，存在沿y
轴正方向的匀强电场和匀强磁场，AB= AA1=d，AD=L。某时刻一带正电的粒子以速度大小v0，方向平行于yOz平面且与y轴正方向的夹角θ=37°，从左边界区域中心射入,该粒子比荷为k，不计粒子重力，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。下列说法正确的是( )
A.粒子在该区域运动过程中，加速度大小不变
B.若磁感应强度B<，则粒子会从DCC1D1面射出
C.若磁感应强度B>，则粒子会从DCC1D1面射出
D.若磁感应强度B<，则粒子可能从A1OC1D1面射出
粒子在该区域受到沿y轴正方向的电场力F=qE，将v0分解为沿z轴正方向的v0z和沿y轴正方向的v0y，则有v0z=v0sin 37°=v0，由左 手定则知F洛=qv0zB，方向沿x轴负方向，在xOz平面做匀速圆周运动，由于F洛不做功，v0z大小不变，故F洛大小不变。而电场力是恒力，y方向虽加速，但不影响洛伦兹力，所以合力F合= 大小不变，则加速度大小不变，A项正确；若磁感
解析
应强度B=，根据洛伦兹力提供向心力，有qBv0z=m，解得r=，AA1OB的侧视图如图甲，可得O'P=，由图可知当r==时，轨迹圆与A1OC1D1相切，根据r=可知B越大，r
解析
越小，故B>时，r<，粒子沿y轴正方向做匀加速运动，则粒子会从DCC1D1面射出，C项正确，B项错误；若B=时，根据洛伦
兹力提供向心力，有qBv0z=m，解得r=，此时圆心在A1D1C1O面上(P点)，如图乙，故B<时，r>，则粒子会从ADD1A面射出，D项错误。
解析
例2 (2025·雅安二模)如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀 强磁场，磁感应强度大小为B0；水平面下方有竖直放置的半径为R的圆筒，圆筒上下表面圆心O1、O2处各开有一个小孔，其内部有竖直向上
的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度B未知。处于水平面内的粒子源O沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，从O1处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从O2处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q(q<0)，粒子源O到圆心O1的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求：
(1)粒子从粒子源射出时的速度大小v0；
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为r，则sin 30°=，
由洛伦兹力提供向心力有qv0B0=m，
解得v0=。
解析
(2)粒子在圆筒内旋转的周期T；
粒子从O1处进入圆筒，速度方向与水平方向成30°角，水平方向做匀速圆周运动，竖直方向做匀加速直线运动，有vx=v0cos 30°，vy=v0sin 30°，
粒子恰好与筒壁不发生碰撞，则粒子做圆周运动的半径为R'=，
由洛伦兹力提供向心力有qvxB=m，
粒子做圆周运动的周期T=，解得T=。
解析
(3)圆筒高度H满足的条件。
粒子在竖直方向做匀加速直线运动，有qE=ma，
运动时间满足t=nT(n=1，2，3…)，
根据H=vyt+at2，
解得H=+(n=1，2，3…)。
解析
(2024·湖南卷)如图，有一内半径为2r、长为L的圆筒，左右端面圆心O'、O处各开有一小孔。以O为坐标原点，取O'O方向为x轴正方 向建立xyz坐标系。在筒内x≤0区域有一匀强磁场，磁感应强度大 小为B，方向沿x轴正方向；筒外x≥0区域有一匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向。一电子枪在O'处向圆筒内多个方向发射电
子，电子初速度方向均在xOy平面内，且在x轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重力。
(1)若所有电子均能经过O进入电场，求磁感应强度B的最小值；
将电子的初速度分解为沿x轴方向的速度v0、y轴方向的速度vy0，则电子做沿x轴正方向的匀速运动和投影到yOz平面内的圆周运动,又电子做匀速圆周运动的周期为T=，电子均能经过O进入电场,则
=nT(n=1，2，3，…)，
联立解得B=(n=1，2，3，…)，当n=1时，Bmin=。
解析
(2)取(1)问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x轴正方向最大夹角为θ，求tan θ的绝对值；
由于电子始终未与筒壁碰撞，则电子投影到yOz平面内的圆周运动的最大半径为r，由洛伦兹力提供向心力有evy0maxB=m，
B=Bmin=，
则|tan θ|==。
解析
(3)取(1)问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y轴正方向的最大位移。
电子在电场中做类斜抛运动，当电子运动到O点时沿y轴正方向的分速度大小为vy0max时，电子在电场中运动的y轴正方向的位移最 大，由牛顿第二定律有eE=ma，
由速度位移公式有2aym=，
联立解得ym=。
解析
