海南海口高三数学2025-2026学年上学期1月月考试卷(含解析)
文档属性
| 名称 | 海南海口高三数学2025-2026学年上学期1月月考试卷(含解析) |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-22 22:13:03 | ||
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文档简介
高三数学
范围：高考全部内容.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则
A.5 B.3
C. D.
2. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标。现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为
A.50.2 B.50.3 C.50.4 D.50.5
4. 若，，则
A. -2 B.
C.1 D.2
5. 已知函数，则
A. 有极小值，且极小值点为1
B. 有极大值，且极大值点为1
C. 有极小值，且极小值点为
D. 有极大值，且极大值点为
6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，如图，过抛物线第一象限上一点作准线的垂线，垂足为，直线交抛物线于，两点，若，则点的纵坐标为
A. B.
C. D.2
7. 已知，，，则，，的大小关系为
A.
B.
C.
D.
8. 在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象。某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则
A. 曲线的振幅为2
B. 曲线的最小正周期为12
C. 曲线关于点中心对称
D.时，函数的值域为
10. 已知数列的前项和为，，，，，则
A. B.
C. D.
11. 已知定义在上的函数满足：对任意实数，，都有，且的图象过点，，则
A. B.
C. D.，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为。
13. 已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则。
14. 装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分。已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有种不同的铺设方法。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积为，证明：为等腰三角形。
16.（15分）
某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项。已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响。
（Ⅰ）要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值；
（Ⅱ）当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望。
17.(15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 有两个极值点 ，，证明： .
19.(17分)
已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的方程.
（Ⅱ）设 ， 分别为 的左、右顶点，动点 在直线 上，且不在 轴上，直
线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 .
（ⅰ）求直线 与 轴的交点 的坐标；
（ⅱ）设直线 与 轴的交点 的横坐标为 ，证明： .
高三数学·答案
1.C因为 ，所以 。故选C。
2.B命题“，”为全称量词命题，其否定为“，”。故选B。
3.B由 ，可知该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3。故选B。
4.D由 ，得 ，所以 。由 ，得 。故选D。
5.A由题意得，，当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增，所以 有极小值，且极小值点为1。故选A。
6.C如图，过点A作 于点N，设准线 与x轴的交点为K，则 。由 ，可得 。易知 ，由三角形相似可知 ，故在 中，，即点P的纵坐标为 。故选C。
7.D由 ，得 。由 ，得 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。又因为 ，，所以 ，，故 ，所以 。故选D。
8.C由正三棱柱的性质知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，故 ，所以 为等腰直角三角形，所以 。如图，取 的中点E，连接 ，则 。又 平面 ， 平面 ，所以 。因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 。
设正三棱柱 的棱长为 ，则 ，解得 。设正三棱柱 的外接球球心为 ，半径为 ，， 的外接圆圆心分别为 ，，连接 ，则 为 中点，易知 。在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，所以该三棱柱的外接球的表面积 。故选C。
9.ABD对于A，曲线 的振幅为2，故A正确。
对于B，曲线 的最小正周期 ，故B正确。
对于C，由 ，得 ，所以曲线 的图象的对称中心为 ，故C错误。
对于D， 时，，此时 ，则函数 的值域为 ，故D正确。故选ABD。
10.ACD对于A，B，由 ，
即
解得 故A正确，B错误。
对于C，由A，B选项的分析，得 ，即 。又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以 ，所以 ，故C正确。
对于D，，故D正确。故选ACD。
11.ACD对于A，由题意得 。令 ，得 ，所以 ，故A正确。
对于B，令 ，，得 ，即 ，故B错误。
对于C，由题意得 。令 ，得 ，所以 ，故 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 是周期为8的周期函数。由 ，可得 ，，，，所以 ，所以 （此处按原文，无后续计算，保留）
，故C正确.
对于D，若 为正整数，则 ，
，，，
，所以 ，，故D正
确.故选ACD.
12. 双曲线 的渐近线方程为
，所以 ，故离心率 .
13. 由正三角形性质可知， 为等边三角形
的重心，则 ，故 ，，所以
.
14. 设使用红色地砖 块，黄色地砖 块，绿
色地砖 块，由题意得 且 ，，解得 即使用红色地砖3块，
黄色地砖2块，绿色地砖1块.
下面分四种情形讨论：
①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，有3种不同的铺设方法；
②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，有3种不同的铺设方法；
③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，有2种不同的铺设方法；
④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，有2种不同的铺设方法.
综上，共有 种不同的铺设方法.
15. 解：（Ⅰ） 由 及正弦定理，
得 ，
即 ，
即 . (3分)
因为 ，所以 .
因为 ，所以 . （6分）
证明：（Ⅱ） 由题意得，
，
故 . ① （8分）
由余弦定理，得 ， ②
由①②，得 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 为等腰三角形. （13分）
16. 解：（Ⅰ） 由 解得 . (1分)
由题意得，甲进入C项目，则甲在A，B项目均合格，
所以甲进入C项目的概率为. ……………………（4分）
因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，且，
所以当时，甲进入C项目的概率最大. ………………………………（6分）
（Ⅱ）当时，，
所以甲能进入C项目的概率为，
乙能进入C项目的概率为，
丙能进入C项目的概率为. ………………………………（8分）
因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
； ……（12分）
所以的分布列为
0 1 2 3
………………………………………（13分）
所以数学期望为. ……………………（15分）
17. 证明：（Ⅰ） 如图， 连接AC， 交BD于点O， 连接OE.
因为四边形ABCD为菱形，
所以O为AC的中点.
又在中，E为PC的中点，
所以.
因为平面BDE， 且平面BDE，
所以平面BDE. …………………（5分）
解：（Ⅱ） 因为四边形ABCD为菱形，
所以.
设F为AP中点， 连接OF， 则，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD.
以O为坐标原点， 以OB，OC，OF所在直线分
别为，，轴建立空间直角坐标系.
（6分）
在菱形中，因为，，
所以，，
又，
所以，，，
，
所以DP→=(1,3,2)，DB→=(2,0,0)，DC→=(1,3,0)。 （8分）
设平面的法向量为，
则
令，则。......（10分）
设平面的法向量为，
则
令，则。......（12分）
设平面与平面的夹角为，
则，，
即平面与平面夹角的余弦值为。
（15分）
18. 解：（Ⅰ） 当时，，
则，则。
又，
所以曲线在处的切线方程为
，即。......（4分）
（Ⅱ） 由题意得，，不等式
恒成立，
等价于不等式在
[1,+∞)上恒成立。 （5分）
设，，
则。
设，，
则h'(x)=2a-1x2， （6分）
若，则，
此时在上单调递减，
故，
所以在上单调递减，
故，不符合题意；
（7分）
若，则当时，，
此时在上单调递减，
故，
所以在上单调递减，
故，不符合题意；
（8分）
若，则当时，，
此时在上单调递增，
故，
此时在上单调递增，
所以在上单调递增，
故，符合题意. （9分）
综上，实数的取值范围为.
（10分）
证明：（Ⅲ）由题意得，的定义域为，
且，
因为有两个极值点，，
所以方程在上有
两个不同实数根，，
所以，. （12分）
设，
所以要使方程有两个正实数根，
则 解得. （13分）
所以
. （15分）
设，，
则，所以在
上单调递增，
所以，
故得证. （17分）
19. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为.
由题意得解得
所以椭圆的方程为. （4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，直线斜率不为，由椭圆的对称性可知，直线与轴的交
点异于原点，
设交点为，，，
，，，
设直线的方程为，
由
消去，得，
由
，
得，
则，.
由（Ⅰ）知，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
（7分）
由题意知，直线与交于点，且点
在直线上，
所以，
所以。
所以，
所以。① ……………………（10分）
当，即直线的斜率存在时，
由，
得，
代入①，得，
当时，上式恒成立，
所以。 ……………………（12分）
当，即直线的斜率不存在时，
若，则直线的方程为，
不妨取点在第一象限，则，
，满足①式。
综上，直线与轴的交点的坐标为
。 …………（13分）
证明：（ⅱ）由（ⅰ）可知，
当时，；………（14分）
当时，
。
综上，。 …………………（17分）
范围：高考全部内容.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则
A.5 B.3
C. D.
2. 命题“，”的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 制造业采购经理指数（PMI）是衡量制造业经济运行状况的重要指标。现将2024年10月至2025年10月的制造业PMI指数从小到大排列为49.0，49.0，49.1，49.3，49.4，49.5，49.7，49.8，50.1，50.1，50.2，50.3，50.5，则这组数据的第90百分位数为
A.50.2 B.50.3 C.50.4 D.50.5
4. 若，，则
A. -2 B.
C.1 D.2
5. 已知函数，则
A. 有极小值，且极小值点为1
B. 有极大值，且极大值点为1
C. 有极小值，且极小值点为
D. 有极大值，且极大值点为
6. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，如图，过抛物线第一象限上一点作准线的垂线，垂足为，直线交抛物线于，两点，若，则点的纵坐标为
A. B.
C. D.2
7. 已知，，，则，，的大小关系为
A.
B.
C.
D.
8. 在正三棱柱中，直线与平面所成角为，且四棱锥的体积为，则该三棱柱的外接球的表面积为
A. B.
C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 潮汐是海洋在日月引力作用下产生的周期性涨落现象。某港口一天的海水水位变化近似满足关系式，其中表示海水水位，表示时间，则
A. 曲线的振幅为2
B. 曲线的最小正周期为12
C. 曲线关于点中心对称
D.时，函数的值域为
10. 已知数列的前项和为，，，，，则
A. B.
C. D.
11. 已知定义在上的函数满足：对任意实数，，都有，且的图象过点，，则
A. B.
C. D.，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则的离心率为。
13. 已知为单位圆的内接等边三角形，为边的中点，则。
14. 装修师傅要用红、黄、绿三种颜色的地砖铺设一条长10格的走廊，地砖宽度与走廊宽度相同，每块红色地砖长1格，每块黄色地砖长2格，每块绿色地砖长3格，地砖只能整块铺设，且3种颜色都要使用，相同颜色的地砖不作区分。已知装修师傅共使用了6块地砖，恰好铺满这条走廊，若要求相邻2块地砖的颜色不同，则共有种不同的铺设方法。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若的面积为，证明：为等腰三角形。
16.（15分）
某校举办技能大赛，比赛包含，，三个项目，按顺序依次进行，参赛学生在每一项的得分高于85分时记为合格，只有在当前项目合格才可以进入下一项。已知甲、乙、丙3名学生在项目中合格的概率分别为，，，在项目中合格的概率分别为，，，且3人比赛结果互不影响。
（Ⅰ）要使甲进入项目的概率达到最大，求实数的值；
（Ⅱ）当时，设甲、乙、丙3人中能进入项目的人数为，求的分布列与数学期望。
17.(15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 有两个极值点 ，，证明： .
19.(17分)
已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的方程.
（Ⅱ）设 ， 分别为 的左、右顶点，动点 在直线 上，且不在 轴上，直
线 与 的另一个交点为 ，直线 与 的另一个交点为 .
（ⅰ）求直线 与 轴的交点 的坐标；
（ⅱ）设直线 与 轴的交点 的横坐标为 ，证明： .
高三数学·答案
1.C因为 ，所以 。故选C。
2.B命题“，”为全称量词命题，其否定为“，”。故选B。
3.B由 ，可知该组数据的第90百分位数是第12个数据50.3。故选B。
4.D由 ，得 ，所以 。由 ，得 。故选D。
5.A由题意得，，当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增，所以 有极小值，且极小值点为1。故选A。
6.C如图，过点A作 于点N，设准线 与x轴的交点为K，则 。由 ，可得 。易知 ，由三角形相似可知 ，故在 中，，即点P的纵坐标为 。故选C。
7.D由 ，得 。由 ，得 ，所以 。因为 ，所以 ，所以 。又因为 ，，所以 ，，故 ，所以 。故选D。
8.C由正三棱柱的性质知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，故 ，所以 为等腰直角三角形，所以 。如图，取 的中点E，连接 ，则 。又 平面 ， 平面 ，所以 。因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 。
设正三棱柱 的棱长为 ，则 ，解得 。设正三棱柱 的外接球球心为 ，半径为 ，， 的外接圆圆心分别为 ，，连接 ，则 为 中点，易知 。在 中，由正弦定理，得 ，所以 ，所以该三棱柱的外接球的表面积 。故选C。
9.ABD对于A，曲线 的振幅为2，故A正确。
对于B，曲线 的最小正周期 ，故B正确。
对于C，由 ，得 ，所以曲线 的图象的对称中心为 ，故C错误。
对于D， 时，，此时 ，则函数 的值域为 ，故D正确。故选ABD。
10.ACD对于A，B，由 ，
即
解得 故A正确，B错误。
对于C，由A，B选项的分析，得 ，即 。又 ，所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以 ，所以 ，故C正确。
对于D，，故D正确。故选ACD。
11.ACD对于A，由题意得 。令 ，得 ，所以 ，故A正确。
对于B，令 ，，得 ，即 ，故B错误。
对于C，由题意得 。令 ，得 ，所以 ，故 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 是周期为8的周期函数。由 ，可得 ，，，，所以 ，所以 （此处按原文，无后续计算，保留）
，故C正确.
对于D，若 为正整数，则 ，
，，，
，所以 ，，故D正
确.故选ACD.
12. 双曲线 的渐近线方程为
，所以 ，故离心率 .
13. 由正三角形性质可知， 为等边三角形
的重心，则 ，故 ，，所以
.
14. 设使用红色地砖 块，黄色地砖 块，绿
色地砖 块，由题意得 且 ，，解得 即使用红色地砖3块，
黄色地砖2块，绿色地砖1块.
下面分四种情形讨论：
①3块红色地砖使用在第1，3，5块地砖的位置时，有3种不同的铺设方法；
②3块红色地砖使用在第2，4，6块地砖的位置时，有3种不同的铺设方法；
③3块红色地砖使用在第1，3，6块地砖的位置时，有2种不同的铺设方法；
④3块红色地砖使用在第1，4，6块地砖的位置时，有2种不同的铺设方法.
综上，共有 种不同的铺设方法.
15. 解：（Ⅰ） 由 及正弦定理，
得 ，
即 ，
即 . (3分)
因为 ，所以 .
因为 ，所以 . （6分）
证明：（Ⅱ） 由题意得，
，
故 . ① （8分）
由余弦定理，得 ， ②
由①②，得 ，即 ，
所以 ，
又 ，
所以 为等腰三角形. （13分）
16. 解：（Ⅰ） 由 解得 . (1分)
由题意得，甲进入C项目，则甲在A，B项目均合格，
所以甲进入C项目的概率为. ……………………（4分）
因为二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，且，
所以当时，甲进入C项目的概率最大. ………………………………（6分）
（Ⅱ）当时，，
所以甲能进入C项目的概率为，
乙能进入C项目的概率为，
丙能进入C项目的概率为. ………………………………（8分）
因为随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
且，
，
，
； ……（12分）
所以的分布列为
0 1 2 3
………………………………………（13分）
所以数学期望为. ……………………（15分）
17. 证明：（Ⅰ） 如图， 连接AC， 交BD于点O， 连接OE.
因为四边形ABCD为菱形，
所以O为AC的中点.
又在中，E为PC的中点，
所以.
因为平面BDE， 且平面BDE，
所以平面BDE. …………………（5分）
解：（Ⅱ） 因为四边形ABCD为菱形，
所以.
设F为AP中点， 连接OF， 则，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD.
以O为坐标原点， 以OB，OC，OF所在直线分
别为，，轴建立空间直角坐标系.
（6分）
在菱形中，因为，，
所以，，
又，
所以，，，
，
所以DP→=(1,3,2)，DB→=(2,0,0)，DC→=(1,3,0)。 （8分）
设平面的法向量为，
则
令，则。......（10分）
设平面的法向量为，
则
令，则。......（12分）
设平面与平面的夹角为，
则，，
即平面与平面夹角的余弦值为。
（15分）
18. 解：（Ⅰ） 当时，，
则，则。
又，
所以曲线在处的切线方程为
，即。......（4分）
（Ⅱ） 由题意得，，不等式
恒成立，
等价于不等式在
[1,+∞)上恒成立。 （5分）
设，，
则。
设，，
则h'(x)=2a-1x2， （6分）
若，则，
此时在上单调递减，
故，
所以在上单调递减，
故，不符合题意；
（7分）
若，则当时，，
此时在上单调递减，
故，
所以在上单调递减，
故，不符合题意；
（8分）
若，则当时，，
此时在上单调递增，
故，
此时在上单调递增，
所以在上单调递增，
故，符合题意. （9分）
综上，实数的取值范围为.
（10分）
证明：（Ⅲ）由题意得，的定义域为，
且，
因为有两个极值点，，
所以方程在上有
两个不同实数根，，
所以，. （12分）
设，
所以要使方程有两个正实数根，
则 解得. （13分）
所以
. （15分）
设，，
则，所以在
上单调递增，
所以，
故得证. （17分）
19. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为.
由题意得解得
所以椭圆的方程为. （4分）
（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，直线斜率不为，由椭圆的对称性可知，直线与轴的交
点异于原点，
设交点为，，，
，，，
设直线的方程为，
由
消去，得，
由
，
得，
则，.
由（Ⅰ）知，，
则直线的方程为，
直线的方程为，
（7分）
由题意知，直线与交于点，且点
在直线上，
所以，
所以。
所以，
所以。① ……………………（10分）
当，即直线的斜率存在时，
由，
得，
代入①，得，
当时，上式恒成立，
所以。 ……………………（12分）
当，即直线的斜率不存在时，
若，则直线的方程为，
不妨取点在第一象限，则，
，满足①式。
综上，直线与轴的交点的坐标为
。 …………（13分）
证明：（ⅱ）由（ⅰ）可知，
当时，；………（14分）
当时，
。
综上，。 …………………（17分）
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