河北省石家庄市2025-2026学年上学期高一1月月考数学试卷(含解析)

2025～2026学年第一学期高一年级1月份质量检测
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，，则
A. B.
C. D.
2.与角终边相同的最小正角是
A. B.
C. D.
3.“”的一个充分不必要条件是
A. B.
C. D.
4.已知函数， 若，则的值是
A. 或
B. 或
C. 或或
D. 或
5.若，，且，则的最小值为
A. B.
C. D.
6.若，则
A. B.
C. D.
7. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句. 如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面. 当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观. 已知，弧的长为，则此扇面的面积为
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若对任意的，且，都有，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则
A. B.
C. D.
10. 下列各式结果为1的有
A. B.
C. D.
11. 已知函数，若，，，是关于的方程的四个不相等的实数根，则
A.
B.
C. 的最小值为0
D. 方程有6个不相等的实数根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 命题，的否定是.
13. 已知幂函数在上单调递减，则不等式的解集为.
14. 已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离是，若将的图象上的每个点向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为偶函数，且函数的图象在区间上至少含有30个零点，则在所有满足条件的区间中，的最小值为。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知关于的不等式的解集是。
（1）解不等式；
（2）为何值时，的解集为？
16.（本小题满分15分）
已知函数。
（1）求函数的定义域并判断的奇偶性；
（2）若在区间上的最大值为2，求的值。
17.（本小题满分15分）
已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点。
（1）求的值；
（2）若角满足，且，求的值。
18.（本小题满分17分）
若函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）若当 时，，求实数 的取值范围；
（3）已知 ，若存在非零常数 ，对任意 ，有 成立，求实数 的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数 是偶函数， 是奇函数，且 .
（1）求 的值；
（2）设函数 ，证明：曲线 是轴对称图形；
（3）当 时，若函数 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
2025～2026学年第一学期高一年级1月份质量检测
数学·参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C A D B D C
题号 7 8 9 10 11
答案 A B ACD CD ABD
1.C【解析】因为，，所以，又，所以。故选C。
2.A【解析】经角度制与弧度制互化，可以表示为。所以与角终边相同的最小正角是。故选A。
3.D【解析】由，得，故“”是“”的一个充分不必要条件。故选D。
4.B【解析】若，则，解得或（舍），若，则，解得。综上，的值是或。故选B。
5.D【解析】因为，所以，则，当且仅当，时，取最小值。故选D。
6.C【解析】因为，又，所以，故选C。
7.A【解析】设，因为圆心角，弧的长为，代入弧长公式可得，解得。所以。由扇形面积公式可得，，，所以此扇面的面积。故选A。
8.B【解析】因为对任意的，且，都有，所以可得在上单调递增，由在上单调递增，得；由，解得；由在上单调递增，设，则，因为，所以，所
以，因为，所以，所以。综上，实数的取值范围是。故选B。
9.ACD 【解析】由，则，故，则，又，故，，，则，即，故A、C、D正确，B错误。故选ACD。
10.CD 【解析】，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项正确；
，D选项正确。故选CD。
11.ABD 【解析】
如图作出函数的图象。对于A，关于的方程有四个不相等的实数根，，，，即函数与有四个不同的交点，因为，故有，即A正确；
对于B，由图知，由可得，即，整理得，故有，即B正确；
对于C，由图知，因为，由可得，当且仅当时等号成立，故，即，故C错误；
对于D，设，则，由图知该方程有三个实根为和，，满足，又由图知方程无实根；方程有个实根；方程有个实根，故方程有个不相等的实数根，即D正确。故选ABD。
12. 【解析】命题，的否定是“，”。
13. 【解析】为幂函数，，解得：或；当时，在上单调递增，不合题意；当时，在上单调递减，符合题意；综上所述：；的定义域为，，为定义在上的偶函数，故，，由且，解得：或，的解集为。
14. 【解析】由，得，则，所以，又为偶函数，所以，得到，即。又
， 所以 ， 故 ， 所以 . 令 ， 即 ， 所以 或 ， 解得 或 ， 又 的最小正周期为 ， 所以相邻两个零点之间的距离为 或 ， 若 最小， 则 和 都是零点， 此时在区间 分别恰有 ，，， 个零点， 所以在区间 上恰有29个零点， 从而在区间 上至少有1个零点， 所以 ， 所以 的最小值为 .
15. 解：（1） 由题意知3和2是方程 的两根， ………………………………………… （2分）
， 解得 ， ………………………………………………………………………… （4分）
不等式 ，
即为 ， 解得 .
所求不等式的解集为 . …………………………………………………………………… （7分）
（2） 由上可知 ， 即为 ，
即 ， …………………………………………………………………………………… （10分）
若此不等式的解集为 ，
则 ，
. ………………………………………………………………………… （13分）
16. 解：（1） 由函数 ， 则 ， 解得 ， 故函数 的定义域为 . ………………………………………………………………………… （4分）
由 ， 所以函数 为偶函数. ……………………………… （6分）
（2） 由函数 ， 且函数 在 上单调递减， ………
……………………………………………………………………………………………………… （8分）
则当 时， 函数 在 上单调递增， 故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ， 解得 ， 符合题意； ………………………………………… （11分）
当 时， 函数 在 上单调递减， 故 在 上的最大值为 ，
由题意可得 ， 解得 ， 不符合题意. ……………………………… （14分）
综上所述， . …………………………………………………………………………………… （15分）
17. 解：（1） 因为 在角的终边上， 且 ， 可知点 在标准单位圆上，
……………………………………………………………………………………………………… （2分）
由三角函数定义可知 ， ， …………………………………………………… （4分）
所以 . ……………………………………………… （7分）
（2）因为，，
则， （10分）
且，，
所以. （15分）
18.解：（1）设的最小正周期为，且，
由题图可得，且，
即，则，可得， （2分）
又因为，即，
且，则，
可得，即，
所以. （5分）
（2）当时，利用周期等价于，则， （7分）
若，即，
则，解得，
所以实数的取值范围为. （10分）
（3）由题意可知：， （11分）
若存在非零常数，对任意，有成立，
因为在上的值域为，则在上的值域为，
可知，即， （13分）
当时，则，可知为的一个周期，
即为最小正周期的整数倍，
可得，则， （15分）
当时，则，
可得，
由诱导公式可得，可得.
综上所述：当时，；
当时，. （17分）
.解：（1）由，得① (1分)
因为函数是偶函数，是奇函数， 则② (2分)
联立①②，解得，。 (3分)
。 (4分) （2），即。 (5分)
设，则其定义域为。 由， 所以是偶函数。 (7分)
因为是偶函数，所以是偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象关于直线对称， 所以曲线是轴对称图形。 (9分)
由（1）知，，， 因为函数有且只有一个零点， 所以方程在上有且只有一个实数根。 即方程在上有且只有一个实数根。(10分)
令，则， 因为单调递增， 所以当时，， 所以问题转化为方程有且只有一个实数根， (12分)
即在上有且只有一个实数根。 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， (14分) 所以或， 所以或， 所以实数的取值范围是。(17分)