辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 辽宁师范大学附属中学2025-2026学年上学期高二期末数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 151.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-22 22:26:56 | ||
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文档简介
辽宁师范大学附属中学学年上学期期末考试
高二数学试题
时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线，直线。若，则实数（ ）
A. B.
C. D.
2. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、莲花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒。若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点，记与折痕的交点为（如图）。当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
6. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？（ ）
A.8 B.12 C.16 D.10
7. 平行六面体，，，，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，点，分别在的左、右两支上，且，，三点共线，，且，若，则的离心率（ ）
A. B.
C.3 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，下列命题中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面
11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A. 当时，平面
B. 对于任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 的取值范围为
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为______.
14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”。若椭圆是“黄金椭圆”，则______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （13分）
已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且。
（1） 求抛物线的方程；
（2） 不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值。
16. （15分）
已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
（1） 求；
（2） 求展开式的常数项；
（3） 求展开式中系数最大的项。
17. （15分）
为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习 55 20 75
未参加周六到校自主自习 30 45 75
合计 85 65 150
（1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望和方差．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望、方差．
18. （17分）
某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
19.（17分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，且.
（i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切. 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由，
（ii）求面积的取值范围.
高二数学 期末答案详解
1.D 2.B 3.D 4.A【详解】连接MA， 圆的圆心坐标为，半径为4。
因 为 将 点折 叠 到 点， 记与 折 痕的 交 点 为， 所 以， 所 以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，，所以，所以点的轨迹方程为。
5【详解】由向量与，得，，
又，，则，，所以平面，的夹角的大小为。
6.【详解】乙车与货车甲相邻停放，货车甲占两个车位，则乙车只能停在货车甲的两边，有2种停法；剩下三辆车在三个车位自由停放，有种停法；则共有种停法.
7.【详解】以，，为基底，则，，
则，
，
，所以，，则直线，所成角的余弦值为。
8.【详解】如下图：由可得，即，
又，可得为的中点，故，又，故为等边三角形，设的边长为，由双曲线定义可知，，，所以，
，，，，
在中，由余弦定理可得，
即，可得故。
9.BCD【详解】由，为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项正确。
10.AB【详解】选项A：若，则，即，
化简得，即，，所以，反向共线当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立，所以是，共线的充分不必要条件，A错误；选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误；选项C：假设存在，，，使得，整理得。因为为空间的一个基底，所以，，不共面，则，解得，所以，，不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确；
选项D：若，，，四点共面，则存在实数，，，使得，且。已知，，所以，，，四点不共面。
11.ACD【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面，根据三垂线定理可知，，
因为，所以平面，所以A选项正确；对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的，所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误；对C选项，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，如图所示：
则，，，，设，，
所以，，，
设面的法向量为，则，即，
令，则，，即面的法向量为，设与平面所成的角为，则，，当时，可得，化简得，解得或（舍），所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确；
对D选项，可知，，所以，，
所以，所以D选项正确。
12.【详解】由题意每个人都有种选法，故不同的选法有种。
13.【详解】，，，。
14.【详解】由题，，所以。如图，连接，，设内切圆半径为，则，即，，
，，，
。
15.【详解】（1） 点为抛物线上一点，则①且，
根据抛物线的定义可得②，由①②解得， 抛物线的标准方程为
（2） 不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，设，，联立得，得
，，解得。
由韦达定理，得，，又，③，
又两点，在直线：上，，故式子③，化简得：，
即，把韦达定理代入，得，
即，解得或， 直线不过原点，，故的值为。
16.【详解】（1） 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得。
（2） 由已知得，其展开式的通项为，令，解得，
则展开式的常数项为。
（3） 由已知得展开式的通项为，则第项的系数为，设第项的系数最大，
则，解得，因为是整数，所以，此时系数最大的项为。
17.【详解】（1） 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人，
所以可能取值为0，1，2，，，，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的期望为 ，；
（2）由题意 ，则 ，，
，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
，。
18【详解】（1）取CF中点M，连接OM，GM，由题意可知 且 ，
又因为O是矩形EBCF对角线的交点，所以 且 ，所以 且 ，则四边形AOMC为平行四边形，所以 且 ，
又因为 平面GCF， 平面GCF，所以 平面GCF；
（2）因为在图1中 ，，且 ，，
在图2中上述关系依然成立，所以 即为二面角 的平面角，则 ，
以E为坐标原点，， 分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，，，，，
，所以 ，
又因为 ， 平面BCEF，所以 ，
所以 ，，，设平面GFC的一个法向量 ，
则 ，则有 ，取 ，所以 ，，
所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为 ；
（3）假设存在满足条件的点P，设 ，所以 ，
则 ，，设平面EBP的一个法向量为 ，
则，所以，取，
由（2）知平面的一个法向量，则，，要使平面与平面所
成的二面角的正切值为，则只需，，即，整理得，解得，
所以在棱上不存在点，平面与平面所成的二面角的正切值为。
19.【详解】（1）由已知，，点，则，
，则，又点在椭圆上，所以，，则，
所以椭圆方程为；
（2）（i）当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，
由椭圆的对称性不妨设，，则，，
，又直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
则由可知，即，解得；
当直线与斜率均存在时，不妨设，则，得，则，
则，同理可得，则，
则，则，即；
综上所述，存在，使圆与直线相切；
（ii）由（i）得，当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，
则，，此时；当直线与斜率均存在时，
，，则，
高二数学试题
时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知直线，直线。若，则实数（ ）
A. B.
C. D.
2. 圆心为且与直线相切的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、莲花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒。若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点，记与折痕的交点为（如图）。当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
6. 有4辆车停放5个并排车位，货车甲车体较宽，停放时需要占两个车位，并且乙车与货车甲相邻停放，则共有多少种停放方法？（ ）
A.8 B.12 C.16 D.10
7. 平行六面体，，，，则直线，所成角的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，点，分别在的左、右两支上，且，，三点共线，，且，若，则的离心率（ ）
A. B.
C.3 D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设，为两个相互独立的随机事件，且，，下列命题中，正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
D. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点不共面
11. 如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，则（ ）
A. 当时，平面
B. 对于任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 的取值范围为
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法有______种.
13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为______.
14. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”。若椭圆是“黄金椭圆”，则______，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （13分）
已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且。
（1） 求抛物线的方程；
（2） 不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值。
16. （15分）
已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等，
（1） 求；
（2） 求展开式的常数项；
（3） 求展开式中系数最大的项。
17. （15分）
为了响应国家“双减”政策，某高中将周六的作息时间由上课调整为自愿到校自主自习，经过一个学期的实施后，从参加周六到校自主自习和未参加周六到校自主自习的学生中各随机选取75人进行调查，得到如下样本数据
成绩有进步 成绩没有进步 合计
参加周六到校自主自习 55 20 75
未参加周六到校自主自习 30 45 75
合计 85 65 150
（1）从调查的未参加周六到校自主自习的学生中，按成绩是否进步采用分层随机抽样的方法抽取10人．若从这10人中随机抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望和方差．
（2）用样本估计总体，将频率视为概率，从这所高中未参加周六到校自主自习的学生中抽取2人，记为成绩有进步的学生人数，求的分布列及数学期望、方差．
18. （17分）
某中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接、就得到了一个“刍甍”（如图2）．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
19.（17分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，且.
（i）是否存在定圆：，使得直线与圆相切. 若存在，求出的值，若不存在，请说明理由，
（ii）求面积的取值范围.
高二数学 期末答案详解
1.D 2.B 3.D 4.A【详解】连接MA， 圆的圆心坐标为，半径为4。
因 为 将 点折 叠 到 点， 记与 折 痕的 交 点 为， 所 以， 所 以，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，，所以，所以点的轨迹方程为。
5【详解】由向量与，得，，
又，，则，，所以平面，的夹角的大小为。
6.【详解】乙车与货车甲相邻停放，货车甲占两个车位，则乙车只能停在货车甲的两边，有2种停法；剩下三辆车在三个车位自由停放，有种停法；则共有种停法.
7.【详解】以，，为基底，则，，
则，
，
，所以，，则直线，所成角的余弦值为。
8.【详解】如下图：由可得，即，
又，可得为的中点，故，又，故为等边三角形，设的边长为，由双曲线定义可知，，，所以，
，，，，
在中，由余弦定理可得，
即，可得故。
9.BCD【详解】由，为两个相互独立的随机事件，则和，和也是相互独立，得，对于A项，，故A项错误；对于B项，，故B项正确；对于C项，，故C项正确；对于D项，，故D项正确。
10.AB【详解】选项A：若，则，即，
化简得，即，，所以，反向共线当，共线时，不一定有，如，同向时就不成立，所以是，共线的充分不必要条件，A错误；选项B：当，时，，但不存在实数，使，故B错误；选项C：假设存在，，，使得，整理得。因为为空间的一个基底，所以，，不共面，则，解得，所以，，不共面，能构成空间的另一个基底，故C正确；
选项D：若，，，四点共面，则存在实数，，，使得，且。已知，，所以，，，四点不共面。
11.ACD【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面，根据三垂线定理可知，，
因为，所以平面，所以A选项正确；对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的，所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误；对C选项，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，如图所示：
则，，，，设，，
所以，，，
设面的法向量为，则，即，
令，则，，即面的法向量为，设与平面所成的角为，则，，当时，可得，化简得，解得或（舍），所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确；
对D选项，可知，，所以，，
所以，所以D选项正确。
12.【详解】由题意每个人都有种选法，故不同的选法有种。
13.【详解】，，，。
14.【详解】由题，，所以。如图，连接，，设内切圆半径为，则，即，，
，，，
。
15.【详解】（1） 点为抛物线上一点，则①且，
根据抛物线的定义可得②，由①②解得， 抛物线的标准方程为
（2） 不过原点的直线：与抛物线交于不同两点，，设，，联立得，得
，，解得。
由韦达定理，得，，又，③，
又两点，在直线：上，，故式子③，化简得：，
即，把韦达定理代入，得，
即，解得或， 直线不过原点，，故的值为。
16.【详解】（1） 因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得。
（2） 由已知得，其展开式的通项为，令，解得，
则展开式的常数项为。
（3） 由已知得展开式的通项为，则第项的系数为，设第项的系数最大，
则，解得，因为是整数，所以，此时系数最大的项为。
17.【详解】（1） 按分层随机抽样，成绩有进步同学抽取4人，成绩没有进步同学抽取6人，
所以可能取值为0，1，2，，，，
X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以X的期望为 ，；
（2）由题意 ，则 ，，
，
Y的分布列为：
Y 0 1 2
P
，。
18【详解】（1）取CF中点M，连接OM，GM，由题意可知 且 ，
又因为O是矩形EBCF对角线的交点，所以 且 ，所以 且 ，则四边形AOMC为平行四边形，所以 且 ，
又因为 平面GCF， 平面GCF，所以 平面GCF；
（2）因为在图1中 ，，且 ，，
在图2中上述关系依然成立，所以 即为二面角 的平面角，则 ，
以E为坐标原点，， 分别为x轴，y轴正向，垂直平面EBCF向上方向为z轴，
建立空间直角坐标系 ，如图所示：
则 ，，，，，
，所以 ，
又因为 ， 平面BCEF，所以 ，
所以 ，，，设平面GFC的一个法向量 ，
则 ，则有 ，取 ，所以 ，，
所以直线AB与平面GCF所成角的正弦值为 ；
（3）假设存在满足条件的点P，设 ，所以 ，
则 ，，设平面EBP的一个法向量为 ，
则，所以，取，
由（2）知平面的一个法向量，则，，要使平面与平面所
成的二面角的正切值为，则只需，，即，整理得，解得，
所以在棱上不存在点，平面与平面所成的二面角的正切值为。
19.【详解】（1）由已知，，点，则，
，则，又点在椭圆上，所以，，则，
所以椭圆方程为；
（2）（i）当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，
由椭圆的对称性不妨设，，则，，
，又直线与圆相切，则圆心到直线的距离，
则由可知，即，解得；
当直线与斜率均存在时，不妨设，则，得，则，
则，同理可得，则，
则，则，即；
综上所述，存在，使圆与直线相切；
（ii）由（i）得，当直线与中一个斜率不存在，一个斜率为时，
则，，此时；当直线与斜率均存在时，
，，则，
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