专题十一　磁场--2026天津版高考物理第二轮专题强化练（含答案）

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2026天津版高考物理第二轮专题
专题十一　磁场
五年高考
考点1　磁场对电流的作用
津门故理
1.(2022天津,12,18分)直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备,可用图1所示的模型讨论其原理,图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中,平板与容器等宽,两板间距为l,容器中装有导电液体,平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙,导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源,电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升,可在两板间加垂直于Oxy面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为ρ0、电阻率为ρ,重力加速度为g。
(1)试判断所加磁场的方向;
(2)求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压U0;
(3)假定平板与容器足够高,求电压U满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
全国视野
2.(2025福建,3,4分)如图所示,空间中存在两根无限长直导线L1与L2,通有大小相等、方向相反的电流。导线周围存在M、O、N三点,M与O关于L1对称,O与N关于L2对称,且OM=ON,初始时,M点的磁感应强度大小为B1,O点的磁感应强度大小为B2,现保持L1中电流不变,仅将L2撤去,N点的磁感应强度大小为 (　　)
A.B2-B1　　　　　　　　B.B2-B1 C.B2-B1　　　　　　　　D.(B1-2B2)
3.(2022江苏,3,4分)如图所示,两根固定的通电长直导线a、b相互垂直,a平行于纸面,电流方向向右,b垂直于纸面,电流方向向里。则导线a所受安培力方向 (　　)
A.平行于纸面向上
B.平行于纸面向下
C.左半部分垂直纸面向外,右半部分垂直纸面向里
D.左半部分垂直纸面向里,右半部分垂直纸面向外
4.(2024浙江1月,4,3分)磁电式电表原理示意图如图所示,两磁极装有极靴,极靴中间还有一个用软铁制成的圆柱。极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向,两者之间有可转动的线圈。a、b、c和d为磁场中的四个点。下列说法正确的是 (　　)
A.图示左侧通电导线受到安培力向下
B.a、b两点的磁感应强度相同
C.圆柱内的磁感应强度处处为零
D.c、d两点的磁感应强度大小相等
5.(2025河南,9,6分)(多选)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是 (　　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic6.(2022湖南,3,4分)如图(a),直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上,其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场,与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化,其截面图如图(b)所示。导线通以电流I,静止后,悬绳偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是 (　　)
A.当导线静止在图(a)右侧位置时,导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大,静止后,导线对悬绳的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
7.(2023海南,17,12分)如图所示,U形金属杆上边长为L=15 cm,质量为m=1×10-3 kg,下端插入导电液体中,导电液体连接电源,金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为B=8×10-2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h=2.5 cm,闭合开关,金属杆飞起后,其下端离液面最大高度H=10 cm,设离开导电液体前杆中的电流不变,求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大;(g=10 m/s2)
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触,改变电动势的大小,通电后金属杆跳起高度H'=5 cm,通电时间t'=0.002 s,求通过金属杆横截面的电荷量。
考点2　磁场对运动电荷的作用
津门故理
1.(2020天津,7,5分)(多选)如图所示,在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场,速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计。则 (　　)
A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(+1)a
2.(2023天津,12,18分)科学研究中可以利用电场和磁场实现电信号放大,某信号放大装置示意如图,其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2,……,电极n)和阳极构成,该装置处于匀强磁场中,各相邻电极之间存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴,磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略电子间的相互作用力,不计重力。
(1)若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子,它们的初速度方向与y轴的正方向夹角均为θ,其中电子a、b的初速度分别处于xOy、yOz平面的第一象限内,并都能运动到电极2。
(ⅰ)试判断磁场方向;
(ⅱ)分别求出a和b到达电极2所用的时间t1和t2;
(2)若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出δ个电子,δ∝U,U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收集电子而形成的电流I与U的关系曲线,并说明理由。
全国视野
3.(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
4.(2025安徽,7,4分)如图,在竖直平面内的Oxy直角坐标系中,x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源,沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q,质量为m,速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用,则 (　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
5.(2021海南,13,4分)(多选)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则 (　　)
A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L
6.(2025陕晋青宁,14,14分)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,足够长圆柱形筒半径为R,正中央有一电子发射源O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
　　
考点3　带电粒子在组合场、叠加场和交变场中的运动
津门故理
1.(2019天津,4,6分)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件,电脑正常工作;当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件,屏幕熄灭,电脑进入休眠状态。如图所示,一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子,通入方向向右的电流时,电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中,于是元件的前、后表面间出现电压U,以此控制屏幕的熄灭。则元件的 (　　)
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为
2.(2024天津,11,16分)如图所示,在Oxy平面直角坐标系的第一象限内,存在半径为R的半圆形匀强磁场区域,半圆与x轴相切于M点,与y轴相切于N点,直线边界与x轴平行,磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿+x方向的匀强电场,电场强度大小为E。一带负电粒子质量为m,电荷量为q,从M点以速度v沿+y方向进入第一象限,正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小;
(2)若仅有电场,求粒子从M点到达y轴的时间t;
(3)若仅有磁场,改变粒子入射速度的大小,粒子能够到达x轴上P点,M、P的距离为R,求粒子在磁场中运动的时间t1。
3.(2022天津,11,16分)如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,粒子速度方向与磁场方向垂直,重力忽略不计。
(1)判断粒子的电性,并求M、N间的电压U;
(2)求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r;
(3)若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,求粒子在磁场中运动的时间t。
4.(2018天津,11,18分)如图所示,在水平线ab的下方有一匀强电场,电场强度为E,方向竖直向下,ab的上方存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域,外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放,由M进入磁场,从N射出。不计粒子重力。
(1)求粒子从P到M所用的时间t;
(2)若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出,同样能由M进入磁场,从N射出。粒子从M到N的过程中,始终在环形区域中运动,且所用的时间最少,求粒子在Q时速度v0的大小。
5.(2017天津,11,18分)平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场,第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动,Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场,最终从x轴上的P点射出磁场,P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力,问:
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向;
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。
6.(2016天津,11,18分)如图所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=5 N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球,质量m=1×10-6 kg,电荷量q=2×10-6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),取g=10 m/s2。求:
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
7.(2015天津,12,20分)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场,电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E,方向水平向右;磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放,粒子始终在电场、磁场中运动,不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2;
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时,速度的方向与水平方向的夹角为θn,试求sin θn;
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,试问在其他条件不变的情况下,也进入第n层磁场,但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界,请简要推理说明之。
8.(2021天津,12,18分)霍尔元件是一种重要的磁传感器,可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c,以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz,如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子,空穴可看作带正电荷的自由移动粒子,单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后,某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场,磁感应强度的大小为B,沿+y方向,于是在z方向上很快建立稳定电场,称其为霍尔电场,已知电场强度大小为E,沿-z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向;
(2)若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In,求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz;
(3)霍尔电场建立后,自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz,求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数,并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
三年模拟
考点强化练
考点1　磁场对电流的作用
1.(2025南开期末)如图分别表示运动电荷和通电直导线在磁场中的受力情况,下列四图中正确的是 (　　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
2.(2025河北期末)(多选)如图所示,一块蹄形磁铁放在水平桌面上,水平放置的细铜棒AB用绝缘细线悬挂在两个正对的磁极(左侧为S极,右侧为N极)之间静止。闭合开关的瞬间,下列说法正确的是 (　　)
A.细线被拉断
B.AB受到竖直向上的安培力
C.AB受到水平向左的安培力
D.蹄形磁铁对桌面的压力变大
3.(2025西青期末)如图所示,粗细均匀、质量分布均匀的直金属棒ab,两端由两条不可伸长的轻质绝缘竖直细线悬挂,棒水平静止于纸面内。棒的正中间一段处于宽度为L、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。棒两端与电源相连,电源电动势为E、内阻为r,金属棒的电阻为R,其余电阻不计。开关S断开时,测得a端细线中的拉力大小为F1;闭合S后,a端细线的拉力大小为F2。则匀强磁场的磁感应强度大小为 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
4.(2024天津重点校期末)如图所示,水平金属框的宽度为l=0.5 m,固定在水平面上,左端接一电动势为E=6 V、内阻r=1 Ω的电源,框上放有质量为m=0.2 kg的金属杆ab,金属杆接入电路的有效电阻为R=5 Ω。框所在区域加一磁感应强度为B=1 T的匀强磁场,磁场方向与水平面成θ=37°角斜向上,金属杆处于静止状态,其余电阻不计,取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)金属杆ab受到的安培力大小;
(2)金属杆ab受到的摩擦力大小;
(3)金属杆ab对水平框的压力大小。
5.(2025河东期末)甲图所示电磁炮是一种先进的武器,乙图为某同学模拟电磁炮的原理图。为了研究方便,将炮弹视为一个与导轨间距等长的导体棒,其质量m=0.1 kg、电阻R=1 Ω,固定在电阻不计、间距L=0.5 m的两根平行倾斜导轨上。已知导轨平面与水平地面的夹角θ=37°,导轨下端电源电动势E=18 V、内阻r=1 Ω,整个装置处于磁感应强度大小为B=0.2 T、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。将导体棒由静止释放,它最终从导轨上端发射出去。若导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.25,重力加速度大小g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
　
(1)导体棒释放时所受安培力F的大小和方向;
(2)导体棒释放时加速度a的大小和方向。
6.(2025天津部分区期末)如图所示,两光滑平行金属导轨间的距离L=0.4 m,金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=30°,在导轨所在平面内,分布着垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E=6 V、内阻r=1 Ω的直流电源。现把一个质量m=0.04 kg的导体棒ab放在金属导轨上,导体棒恰好静止。导体棒与金属导轨垂直且接触良好,导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=2 Ω,金属导轨电阻不计,g取10 m/s2。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若匀强磁场与导体棒始终保持垂直,但磁感应强度的大小和方向可以改变,为了使导体棒静止在导轨上且对导轨无压力,求磁感应强度B'的大小和方向。
7.(2024天津部分学校期末)如图所示,水平放置的两等长导轨P、Q间的距离L=0.4 m,垂直于导轨平面的竖直方向的匀强磁场的磁感应强度B=5 T,垂直于导轨放置的ab棒的质量m1=0.1 kg,系在ab棒中点的水平绳跨过定滑轮与质量为m2=0.21 kg的小物块相连(小物块悬挂在空中)。已知ab棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1,电源的电动势E=2 V、内阻r=0.1 Ω,导轨的电阻及ab棒的电阻均不计。当滑动变阻器的滑片滑至某一位置时小物块恰好不下落。(假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等,g取10 m/s2)
(1)判断磁场方向。
(2)求滑动变阻器接入电路部分的阻值。
(3)保持整个系统平衡,以导轨P、Q的右端为支撑点缓慢向上转动导轨平面,同时缓慢调节滑动变阻器的滑片,直到导轨平面与水平面夹角为θ=37°时ab棒与导轨间恰好无相对运动趋势。已知滑轮高度可以调节,始终保持导轨上方绳的拉力方向与导轨平面平行,磁场保持不变,则此时通过ab棒的电流是多少 (sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
8.(2024河东期末)在倾角θ=30°的绝缘斜面上,固定一光滑金属框,宽l=0.5 m,接入电动势E=6 V、内阻r=0.5 Ω的电池,垂直框面放置一根质量m=0.2 kg的金属棒ab,金属棒接入电路的电阻R0的阻值为0.2 Ω,整个装置放在磁感应强度的大小B=1.0 T、方向垂直框面向上的匀强磁场中,调节滑动变阻器R连入电路中的阻值使金属棒静止在框架上,如图所示。(框架的电阻不计,框架与金属棒接触良好,g取10 m/s2)求:
(1)金属棒受到的安培力F安的大小;
(2)滑动变阻器R接入电路的阻值;
(3)电源的输出功率P。
考点2　磁场对运动电荷的作用
1.(2024天津一中期末)(多选)如图所示,边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界OA上有一粒子源S。某一时刻,从粒子源S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC=θ,从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期),则下列说法正确的是 (　　)
A.若θ=60°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.若θ=45°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
C.若θ=30°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小无关
2.(2023红桥一模)如图所示,质量为m、电荷量为q的粒子以垂直于磁感应强度为B的磁场并垂直于磁场边界的速度射入宽度为d的匀强磁场中,穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°。
(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹,判断粒子的电性并求粒子的速度大小。
(2)求粒子穿过磁场所用的时间。
3.(2024河西三模)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示,内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,外圆是探测器,AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径,两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点,粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开,最后打在探测器上的N点,PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态,忽略粒子所受重力及粒子间的相互作用。求:
(1)粒子1在P点的受力方向和电性;
(2)若两粒子的入射速率相等,比较粒子1与粒子2的比荷大小;
(3)改变粒子2入射方向,速率变为原来的,则粒子2在磁场中运动的最长时间。
4.(2023红桥二模)如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.40 T,磁场内有一块足够长的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在与ab的距离l=20 cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速率都是v=3.0×106 m/s(从放射源S向感光板作垂线交于板上O点),已知α粒子的电荷与质量之比=5.0×107 C/kg,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,画出偏转图并求解:
(1)α粒子打到板上左端到O点的最远距离x1。
(2)α粒子打到板上右端到O点的最远距离x2。
5.(2023滨海新区一模)用基本原理如图所示的装置做离子控制实验,其相关参数如下:
①空腔圆柱截面半径为R,壁厚可以忽略不计;
②工作区Ⅰ长度d=4R,内有沿y轴正方向的匀强电场;
③工作区Ⅱ长度未知,内有沿z轴负方向的匀强磁场。
现有一质量为m、电荷量为q的正离子从左侧截面的最低点A处,以初速度v0沿z轴正方向进入Ⅰ区,经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区,在以后的运动过程中恰好未碰到圆柱腔的内壁,最终从右侧截面上的C点飞出,B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示),不计离子重力。求:
(1)Ⅰ区中电场强度的大小E;
(2)Ⅱ区中磁感应强度的大小B;
(3)Ⅱ区的长度L。
考点3　带电粒子在组合场、叠加场和交变场中的运动
1.(2024杨村一中月考)(多选)如图所示,左、右两端点等高的两个半径相同的半圆形光滑轨道置于竖直平面内,分别处于垂直纸面向外的匀强磁场和沿水平方向的匀强电场中。两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放。M、N分别为两轨道的最低点,则下列说法中正确的是 (　　)
A.两个小球到达轨道最低点的速度vMB.两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力FM>FN
C.小球第一次到达M点用的时间大于小球第一次到达N点用的时间
D.在磁场中小球能到达轨道的另一端最高处,在电场中小球不能到达轨道另一端最高处
2.(2025天津部分区一模)如图所示,在匀强电场中建立直角坐标系xOy,y轴竖直向上,一质量为m、电荷量为-q的微粒从x轴上的M点射出,方向与x轴夹角θ=30°,微粒恰能以速度v做匀速直线运动,重力加速度为g。
(1)求匀强电场场强E的大小和方向;
(2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场,使微粒能到达x轴上的N点,M、N两点关于原点O对称,距离为L,微粒运动轨迹也关于y轴对称。已知磁场的磁感应强度B=,方向垂直xOy平面向里。求微粒的运动半径R;
(3)在(2)问条件下,求该微粒从M运动到N的时间t。
3.(2024天津部分区一模)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,x轴上方区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,x轴下方区域有水平向左的匀强电场,P点是y轴上的一点。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v从坐标原点O平行于纸面射入磁场,且射出方向与x轴负方向的夹角为30°,从A点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点。不计粒子的重力。求:
(1)A、O两点间的距离;
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间;
(3)粒子从A点运动到P点电场力做的功。
4.(2024和平一模)如图所示,在直角坐标系的第一象限,有方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场,在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场,在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ,薄板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从y轴上一点以速度大小v0水平向右射出,恰好从薄板上边缘P点处射入磁场,粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°,之后粒子恰好未与薄板碰撞,不计粒子重力,求:
(1)粒子在y轴上的射出位置到P点的水平距离;
(2)匀强磁场磁感应强度的大小;
(3)粒子在薄板右侧磁场中运动的时间t。
5.(2024红桥二模)如图,平行板电容器两板间距离d=1 m,板间电压大小为U=8×104 V,同时板间还存在磁感应强度为B1=2 T的匀强磁场。平行板电容器右侧有内径为r=1 m、外径为内径2倍的圆环状匀强磁场,其磁感应强度为B2(未知)。比荷为1×104 C/kg的正离子从电容器左侧水平飞入,在两板间恰好做匀速直线运动,并沿圆环直径方向射入环形磁场,离子的重力可忽略。求:
(1)离子射入两板间的速率;
(2)若离子恰好不能进入小圆区域,磁感应强度B2的大小;
(3)满足第(2)问结果的条件下,离子通过环形磁场所用的时间(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π取3)。
6.(2025河东一模)亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成,这两个线圈的半径和匝数相同,且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场,因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈,形成如图平行中心轴线O1O2向右的匀强磁场,其磁感应强度B大小未知,现有一离子源放置于O1O2上某点位置O,持续发射初速度大小均为v0的粒子,其方向垂直于轴线向外,粒子所带电荷量均为+q,质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏,半径为R,其圆心位于x轴上的P点,用于接收粒子,探测屏圆心P与粒子源间的距离为d,不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于。
(1)要产生如图所示方向的磁场,则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流(从左往右看);
(2)求磁感应强度B的大小。
(3)断开亥姆霍兹线圈中电流,在垂直x轴线方向上放置一对平行板,两极板间形成的匀强电场方向沿x轴向右,要使所有粒子恰好打在探测屏边缘,则该匀强电场的电场强度E应为多大
(4)若该空间同时存在上述的磁场和电场,沿x轴平移探测屏,使所有粒子恰好打在探测屏的圆心,求探测屏圆心与粒子源间距离的可能值。
7.(2024北辰三模)如图所示,空间有一棱长为L的正方体区域,带电粒子从平行于MF棱且与MPQF共面的线状粒子源连续不断地逸出,逸出粒子的初速度可视为0,粒子质量为m,电荷量为+q,经垂直于MF棱的水平电场加速后,粒子以一定的水平初速度从MS段垂直进入正方体区域内,MS段长为L,该区域内有垂直平面MPRG向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,从M点射入的粒子恰好从R点射出。忽略粒子间的相互作用,不计粒子重力。
(1)求线状粒子源处与正方体MS段之间的电势差;
(2)若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场,电场强度大小为,已知从S点射入的粒子从QP边上的某点射出,求该点到Q点的距离;
(3)若该区域内同时存在上述磁场与电场,通过计算判断从S点进入的粒子,离开该区域时的位置和速度大小。
8.(2025南开一模)如图所示,足够大的平行挡板A1、A2竖直放置,间距为6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,以水平面MN为理想分界面,Ⅰ区的磁感应强度为B0,方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2,两孔与分界面MN的距离均为L,质量为m、电荷量为+q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后,沿水平方向从S1进入Ⅰ区,并直接偏转到MN上的P点,再进入Ⅱ区,粒子最终从S2射出,P点与A1板的距离是L的k倍,不计粒子的重力。
(1)若k=1,求匀强电场的电场强度E的大小;
(2)若k=1,求粒子从S1进入磁场区域至从S2射出所用的最短时间t和此时Ⅱ区域磁感应强度B1的大小;
(3)若29.(2024河北一模)如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动,被接收板接收;一部分离子打到左极板,其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L且组成的粒子横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场,磁感应强度大小为B1。已知离子的比荷为k,两极板间电压为U、间距为L,极板长度为2L,吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度均忽略不计,则:
(1)要使v0=的离子能沿直线通过两极板,可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度大小为B0,求B0的大小;
(2)若撤去极板间磁场,有n个速度为v1=的离子,能进入偏转磁场的离子全部能被吞噬板吞噬,求吞噬板上收集的离子个数及B1的取值范围;
(3)重新在两极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场并调整磁感应强度大小,使v2=的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场,若此时磁场边界为矩形,如图所示,当B1=时,上述离子全部能被吞噬板吞噬,求偏转磁场的最小面积。
专题综合练
1.(2024蓟州期末)(多选)如图所示,四条相互平行的细长直导线垂直坐标系xOy平面,导线与坐标平面的交点分别为a、b、c、d。已知a、b、c、d为正方形的四个顶点,正方形中心位于坐标原点O;四条导线中的电流大小相等,其中过a点的导线的电流方向垂直坐标平面向里,其余导线电流方向均垂直坐标平面向外,若过a点的导线在O点产生的磁场的磁感应强度大小为B,则 (　　)
A.O点的磁感应强度大小为B
B.O点的磁感应强度沿y轴负方向
C.移走d点的导线,O点磁感应强度大小变为B
D.移走d点的导线,O点磁感应强度方向沿Oc方向
2.(2024天津一中期末)如图所示,关于带电粒子(不计重力)在以下四种器件中运动,下列说法正确的是 (　　)
　
　
A.图甲中,含有大量正、负离子的废液从圆柱形容器右侧流入,从左侧流出,磁场方向垂直纸面向里,只需测量磁感应强度大小B及M、N两点间电压U,就能够推算污水的流量
B.图乙中,粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P,粒子的比荷越小
C.图丙中,等离子体进入A、B极板之间后,A极板电势低于B极板电势
D.图丁中,从左侧射入的带负电粒子,若速度满足v<,将向下极板偏转
3.(2024天津一中期末)如图所示,直角坐标系xOy的x轴位于水平面内,一段长为L、电流为I的通电导线与x轴重合,电流方向沿x轴正方向,磁感应强度为B1的匀强磁场也位于水平面内,与x轴正方向的夹角为θ,磁感应强度为B2的匀强磁场位于x轴、y轴决定的竖直面内,与y轴正方向的夹角为θ。若两个匀强磁场的磁感应强度大小相等,均为B0,则此段通电导线受到的安培力大小为 (　　)
A.B0IL　　　　　　　　B.B0IL sin2 θ
C.B0IL cos2 θ　　　　　　　　D.B0IL sin 2θ
4.(2024天津一中期末)如图所示是磁电式电流表的结构示意图。磁电式电流表由固定的蹄形磁体(图中只画出了一部分)、极靴、圆柱形铁芯、绕在铝框上的铜质线圈、下端带有平衡锤的指针等组成。指针与铝框固定在一起,可绕转轴转动。则 (　　)
A.铝框转动时框内没有感应电流
B.圆柱形铁芯使得极靴间形成匀强磁场
C.比较磁电式电流表接线柱连线与不连线时指针相对表盘的运动情况,可判断电表内部是否存在断路的故障
D.用磁电式电流表测量时线圈左右两侧所受安培力方向不随线圈同步转动
5.(2024天津十二区重点校一模)如图所示,平行金属板a、b水平放置,a板接电源负极,b板接电源正极,板长L=0.3 m,金属板间距d=0.3 m,与两金属板右端相接的竖直虚线MN右侧有范围足够大的匀强磁场,磁感应强度大小B=1×10-2 T,方向垂直纸面向外。在两金属板左端正中间O点水平向右发射一比荷=2×108 C/kg、初速度v0=2×105 m/s的带正电粒子。不计粒子的重力,不考虑金属板边缘电场的影响。
(1)若两金属板间加适当电压,粒子恰好从a板右边缘射出电场,求粒子在磁场中运动的时间t0(结果中的π无需代入数值);
(2)若两金属板间加适当电压,粒子经电场、磁场偏转后,恰好能从b板右边缘再次回到电场中,求所加电压U。
6.(2025河北一模)如图所示,在纸面内建立直角坐标系xOy,以第Ⅲ象限内的射线OM(与x轴负方向成45°角)和y轴正半轴为界,在x<0的区域存在匀强电场,方向水平向左,场强大小E=2 V/m;以射线OM和x轴正半轴为界,在y<0的区域存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.1 T。一不计重力的带负电粒子从坐标原点O沿y轴负方向以v0=2×103 m/s的初速度射入磁场。已知粒子的比荷=5×104 C/kg。
(1)粒子经过圆弧第一次经过磁场边界,求此时的位置坐标;
(2)求粒子在磁场区域运动的总时间;
(3)粒子最终将从电场区域D点(图中未画出)离开,则D点到O点的距离是多少
7.(2024和平二模)将一金属或半导体薄片垂直置于磁场中,并沿垂直磁场方向通入电流,则在导体中垂直于电流和磁场方向会产生一个电势差,这一现象称为霍尔效应,此电势差称为霍尔电压。如图所示,某长方体薄片霍尔元件,长为a、宽为b、厚为c,在霍尔元件中沿x轴方向的电流为I,若霍尔元件中导电的载流子是自由电子,带电荷量大小为e,元件中单位体积内的自由电子数为n,薄片处于沿y轴负方向、磁感应强度为B的匀强磁场中,则在沿z轴方向产生霍尔电压UH。则:
(1)请判断图中该霍尔元件前、后两个表面,哪端的电势高,并简要叙述理由;
(2)该霍尔元件在具体应用中,有UH=KHIB,式中的KH称为霍尔元件灵敏度,一般要求KH越大越好,推导KH的表达式并解释为什么霍尔元件一般都做得很薄;
(3)由于金属中载流子密度很大,霍尔效应不明显,所以霍尔元件常用半导体而不是金属制作。一种半导体材料中同时存在电子与空穴两种载流子(空穴可视为能移动的带正电的粒子),每个载流子所带电荷量的绝对值均为e,单位体积内电子和空穴的数目之比为ρ,在霍尔电压稳定后,电子和空穴沿z方向定向移动的速率分别为v1z和v2z,求电子和空穴沿z轴方向定向移动的速率v1z和v2z之比。
8.(2024天津部分区二模)实验室有一装置可用于探究原子核的性质,该装置的主要原理可简化为:空间中有一直角坐标系O-xyz,在紧贴(-0.2 m,0,0)的下侧处有一粒子源P,能沿x轴正方向以v0=1×106 m/s的速度持续发射比荷为=5×107 C/kg的某种原子核。xOy平面图如图甲所示,在x<0且y<0的空间中有沿y轴负方向的匀强电场E=1×105 V/m。在x>0的空间有垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁场区域足够大,磁感应强度的大小为B1=0.2 T。忽略原子核间的相互作用和重力。
(1)求原子核第一次穿过y轴时的速率;
(2)设原子核从Q点第二次穿过y轴,求O、Q两点之间距离;
(3)原子核从Q点第二次穿过y轴时,若在xOz平面内,x<0区域放置一足够大的吸收屏,屏上方施加有沿y轴负方向、大小为B2= T的匀强磁场,如图乙所示。原子核打在吸收屏上即被吸收并留下印迹,请确定该印迹的位置坐标。
9.(2025和平二模)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示,在xOy平面内存在区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,x=L的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O处的离子源能在xOy平面内持续发射质量为m、电荷量为q的负离子,已知离子入射速度与y轴夹角θ的最大值为60°,且速度大小与θ角之间存在一定的关系,现已测得离子两种运动情况:①当离子沿y轴正方向以大小为v0(未知)的速度入射时,离子恰好通过坐标为(L,L)的P点;②当离子的入射速度大小为v1(未知),方向与y轴夹角60°入射时,离子垂直通过x=L界面,不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边缘效应。
(1)求v0的大小;
(2)求v1的大小及②情况下离子到达x=L界面时与x轴之间的距离;
(3)现测得离子入射速度大小随θ变化的关系为v=,为回收离子,今在界面x=L右侧加一宽度也为L且平行于x轴正方向的匀强电场,如图所示,为使所有离子都不能穿越电场区域且重回界面x=L,求所加电场的电场强度的大小。
10.(2024十二区重点校二模)芯片制造中,离子注入是一道重要的工序。如图是一部分离子注入工作原理示意图。从离子源A处飘出带正电的离子(初速度不计),经加速电场加速后,从P点以速度大小v沿半径方向射入圆形磁分析器,磁分析器中存在垂直于纸面向外的匀强磁场B1(大小未知),与矩形离子控制区abcd相切于Q点,ad边长为L,开始时控制区无任何场,离子从Q点离开磁分析器后可匀速穿过控制区,注入cd处的硅片上。已知离子质量为m,带电荷量为+q,在圆形磁分析器中运动的时间为t,图中a、P、Q三点连线正好可构成一个等边三角形,bQ足够长,不计离子的重力和离子间的相互作用。
(1)求加速电场的电压U;
(2)求圆形磁分析器的半径r;
(3)若在控制区加上垂直于纸面向里的磁场,其磁感应强度大小沿ad方向按B2=B0+kx的规律变化,x为该点到ab边的距离,k为已知的常数且k>0,则要使离子不打到硅片上,ab边所在位置的磁感应强度B0至少为多少
专题十一　磁场
五年高考
考点1　磁场对电流的作用
津门故理
1.(2022天津,12,18分)直流电磁泵是利用安培力推动导电液体运动的一种设备,可用图1所示的模型讨论其原理,图2为图1的正视图。将两块相同的矩形导电平板竖直正对固定在长方体绝缘容器中,平板与容器等宽,两板间距为l,容器中装有导电液体,平板底端与容器底部留有高度可忽略的空隙,导电液体仅能从空隙进入两板间。初始时两板间接有直流电源,电源极性如图所示。若想实现两板间液面上升,可在两板间加垂直于Oxy面的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,两板间液面上升时两板外的液面高度变化可忽略不计。已知导电液体的密度为ρ0、电阻率为ρ,重力加速度为g。
(1)试判断所加磁场的方向;
(2)求两板间液面稳定在初始液面高度2倍时的电压U0;
(3)假定平板与容器足够高,求电压U满足什么条件时两板间液面能够持续上升。
答案　(1)沿z轴负方向　(2)　(3)U≥　
解析　(1)板间液体由于受到安培力而上升,可知安培力方向应竖直向上,由图示已知电流方向沿x轴正方向,由左手定则可判定磁场方向应沿z轴负方向。
(2)设液面初始高度为h0,受安培力作用后上升的高度为h,极板沿z轴方向长度为d,上升的液体质量为m,板间电流为I。
由于液体受安培力而上升,因此当液面稳定时,安培力应与升高部分液体的重力平衡,由平衡条件有
mg-BIl=0
其中I=
R=ρ
m=ρ0V=ρ0hdl
整理可得当液体稳定于初始液面上方h高处时,满足h=h0
由此可知,当h=h0时U0=。
(3)由第(2)问中h关于U的表达式h=h0可知,若板间液面能够持续上升,即h→∞,此时需满足(ρ0ρgl-BU)→0,解得U=。
结合物理情境,若U越大,液体所受安培力越大,因此,电压应满足U≥。
全国视野
2.(2025福建,3,4分)如图所示,空间中存在两根无限长直导线L1与L2,通有大小相等、方向相反的电流。导线周围存在M、O、N三点,M与O关于L1对称,O与N关于L2对称,且OM=ON,初始时,M点的磁感应强度大小为B1,O点的磁感应强度大小为B2,现保持L1中电流不变,仅将L2撤去,N点的磁感应强度大小为 (　B　)
A.B2-B1　　　　　　　　B.B2-B1 C.B2-B1　　　　　　　　D.(B1-2B2)
3.(2022江苏,3,4分)如图所示,两根固定的通电长直导线a、b相互垂直,a平行于纸面,电流方向向右,b垂直于纸面,电流方向向里。则导线a所受安培力方向 (　C　)
A.平行于纸面向上
B.平行于纸面向下
C.左半部分垂直纸面向外,右半部分垂直纸面向里
D.左半部分垂直纸面向里,右半部分垂直纸面向外
4.(2024浙江1月,4,3分)磁电式电表原理示意图如图所示,两磁极装有极靴,极靴中间还有一个用软铁制成的圆柱。极靴与圆柱间的磁场都沿半径方向,两者之间有可转动的线圈。a、b、c和d为磁场中的四个点。下列说法正确的是 (　A　)
A.图示左侧通电导线受到安培力向下
B.a、b两点的磁感应强度相同
C.圆柱内的磁感应强度处处为零
D.c、d两点的磁感应强度大小相等
5.(2025河南,9,6分)(多选)手机拍照时手的抖动产生的微小加速度会影响拍照质量,光学防抖技术可以消除这种影响。如图,镜头仅通过左、下两侧的弹簧与手机框架相连,两个相同线圈c、d分别固定在镜头右、上两侧,c、d中的一部分处在相同的匀强磁场中,磁场方向垂直纸面向里。拍照时,手机可实时检测手机框架的微小加速度a的大小和方向,依此自动调节c、d中通入的电流Ic和Id的大小和方向(无抖动时Ic和Id均为零),使镜头处于零加速度状态。下列说法正确的是 (　BC　)
A.若Ic沿顺时针方向,Id=0,则表明a的方向向右
B.若Id沿顺时针方向,Ic=0,则表明a的方向向下
C.若a的方向沿左偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿逆时针方向且Ic>Id
D.若a的方向沿右偏上30°,则Ic沿顺时针方向,Id沿顺时针方向且Ic审题指导　当手机框架有微小加速度时,弹簧作用在镜头上的弹力发生变化;若要使镜头处于零加速度状态,则线圈通入的电流发生变化从而调节安培力以使镜头的合力为零。
若Ic沿顺时针方向,Id=0,由左手定则可得线圈c受到的安培力向右,可得其他力使线圈c的加速度向左,故a的方向向左,A错误。同理可得B正确。若a的方向沿左偏上30°,可分解为水平向左的大小为ax=a cos 30°=a、竖直向上的大小为ay=a sin 30°=的两个分加速度,水平方向线圈c受到的安培力向右,且安培力大小Fc=BIcL=max,由左手定则可得Ic沿顺时针方向;竖直方向线圈d受到的安培力向下,且安培力大小Fd=BIdL=may,由左手定则可得Id沿逆时针方向;ax>ay,则Fc>Fd,Ic>Id,C正确。同理可得D错误。
6.(2022湖南,3,4分)如图(a),直导线MN被两等长且平行的绝缘轻绳悬挂于水平轴OO'上,其所在区域存在方向垂直指向OO'的磁场,与OO'距离相等位置的磁感应强度大小相等且不随时间变化,其截面图如图(b)所示。导线通以电流I,静止后,悬绳偏离竖直方向的夹角为θ。下列说法正确的是 (　D　)
A.当导线静止在图(a)右侧位置时,导线中电流方向由N指向M
B.电流I增大,静止后,导线对悬绳的拉力不变
C.tan θ与电流I成正比
D.sin θ与电流I成正比
7.(2023海南,17,12分)如图所示,U形金属杆上边长为L=15 cm,质量为m=1×10-3 kg,下端插入导电液体中,导电液体连接电源,金属杆所在空间有垂直纸面向里的大小为B=8×10-2 T的匀强磁场。
(1)若插入导电液体部分深h=2.5 cm,闭合开关,金属杆飞起后,其下端离液面最大高度H=10 cm,设离开导电液体前杆中的电流不变,求金属杆离开液面时的速度大小和金属杆中的电流有多大;(g=10 m/s2)
(2)若金属杆下端刚与导电液体接触,改变电动势的大小,通电后金属杆跳起高度H'=5 cm,通电时间t'=0.002 s,求通过金属杆横截面的电荷量。
答案　(1) m/s　 A　(2)0.085 C
解析　(1)对金属杆,离开液面后跳起的最大高度为H,由运动学公式有v2=2gH,解得v= m/s
对金属杆从刚闭合开关至其到达最高点的过程中,由动能定理有BILh-mg (H+h)=0,得I= A
(2)由于通电时间极短,t'内可认为金属杆未离开导电液体,则对金属杆,由动量定理有(BI'L-mg)t'=mv',由运动学公式有v'=,又q=I't',可得q=0.085 C
考点2　磁场对运动电荷的作用
津门故理
1.(2020天津,7,5分)(多选)如图所示,在Oxy平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B的匀强磁场。一带电粒子从y轴上的M点射入磁场,速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。粒子经过磁场偏转后在N点(图中未画出)垂直穿过x轴。已知OM=a,粒子电荷量为q,质量为m,重力不计。则 (　AD　)
A.粒子带负电荷
B.粒子速度大小为
C.粒子在磁场中运动的轨道半径为a
D.N与O点相距(+1)a
2.(2023天津,12,18分)科学研究中可以利用电场和磁场实现电信号放大,某信号放大装置示意如图,其主要由阴极、中间电极(电极1,电极2,……,电极n)和阳极构成,该装置处于匀强磁场中,各相邻电极之间存在电势差。由阴极发射的电子射入电极1,激发出更多的电子射入电极2,依此类推,电子数逐级增加,最终被阳极收集,实现电信号放大。图中所有中间电极均沿x轴放置在xOz平面内,磁场平行于z轴,磁感应强度的大小为B。已知电子质量为m,电荷量为e,忽略电子间的相互作用力,不计重力。
(1)若电极间电势差很小可忽略,从电极1上O点激发出多个电子,它们的初速度方向与y轴的正方向夹角均为θ,其中电子a、b的初速度分别处于xOy、yOz平面的第一象限内,并都能运动到电极2。
(ⅰ)试判断磁场方向;
(ⅱ)分别求出a和b到达电极2所用的时间t1和t2;
(2)若单位时间内由阴极发射的电子数保持稳定,阴极、中间电极发出的电子全部到达下一相邻电极。设每个射入中间电极的电子在该电极上激发出δ个电子,δ∝U,U为相邻电极间电势差。试定性画出阳极收集电子而形成的电流I与U的关系曲线,并说明理由。
答案　(1)(ⅰ)磁场沿z轴负方向　(ⅱ)　　(2)见解析
解析　(1)(ⅰ)a电子初速度方向在xOy平面内,与y轴正方向成θ角,若要到达下一极板,a电子在洛伦兹力作用下应向x轴正方向偏转,结合左手定则可知,磁感应强度B的方向沿z轴负方向。
(ⅱ)a电子在洛伦兹力作用下运动轨迹如图,
根据Bev=,T=,由图可知电子运动到下一个电极的时间t1=T=·=,b电子沿z轴的分速度与磁感线平行,不受洛伦兹力,沿z轴正方向做匀速直线运动;沿y轴方向具有分速度,受到洛伦兹力,使电子向右偏转,电子运动半个圆周到下一个电极的时间t2=T=。
(2)设单位时间内由阴极发射到达电极1的电子数为ne,从电极n激发的电子数为N,则N=neδn
令δ=kU,其中k为大于零的常数,由电流的定义,有I=nee(kU)n
所以I∝Un(由题意可知装置实现电信号放大功能,有n>3),I随U增加而急剧增加,则I与U关系曲线如图所示。
全国视野
3.(2023海南,2,3分)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 (　A　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
4.(2025安徽,7,4分)如图,在竖直平面内的Oxy直角坐标系中,x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。在第二象限内,垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源,沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q,质量为m,速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用,则 (　C　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
5.(2021海南,13,4分)(多选)如图,在平面直角坐标系Oxy的第一象限内,存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P(0,L)点,以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场,设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α(0≤α≤180°)。当α=150°时,粒子垂直x轴离开磁场。不计粒子的重力。则 (　ACD　)
A.粒子一定带正电
B.当α=45°时,粒子也垂直x轴离开磁场
C.粒子入射速率为
D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L
6.(2025陕晋青宁,14,14分)电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极管中利用磁控法可测得比荷,一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统,结构简化如图(a)所示,足够长圆柱形筒半径为R,正中央有一电子发射源O持续向空间各方向发射大量速度大小均为v0的电子。某时刻起筒内加大小可调节且方向沿轴向下的匀强磁场,筒的横截面及轴截面示意图如图(b)所示,当磁感应强度大小从0缓慢调至B0时,恰好没有电子落到筒壁上,不计电子间相互作用及其重力的影响。求:(R、v0、B0均为已知量)
(1)电子的比荷;
(2)当磁感应强度大小调至B0时,筒壁上落有电子的区域面积S。
　　
答案　(1)　(2)2π2R2
解题指导　本题为定速不定向粒子源发射的粒子在空间磁场中的运动,电子运动分布在三维空间中,对空间运动的分析方法是截取截面进行研究,题中已给出两个视角的截面图,所以题目已经给出解题的思路。
解析　(1)由题意可得,当磁感应强度B从0开始调大的过程中,
洛伦兹力提供电子做圆周运动的向心力,有evB=m,解得r=
由电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径公式可知电子的轨迹半径在变小,所以当磁感应强度增大至B0时,电子恰好没有落在筒壁上,此情况下电子的运动轨迹如图甲所示
可知电子做圆周运动的轨迹半径r0=
则有ev0B0= ,联立解得 =。
(2)当磁感应强度大小调至 时,电子运动轨迹的半径r'=2r0=R,从筒的横截面看,电子轨迹如图乙所示,筒壁截面任意位置均有电子落到。
取轴截面分析,根据对称性,可分析单边侧壁,如图丙所示,当电子速度与磁场不垂直时,将速度分解为vx和vy,电子做螺旋线运动
　　
方向平行于横截面的分运动是速率为vx的匀速圆周运动,沿轴向的分运动是速率为vy的匀速直线运动,如图丁;当平行于横截面做匀速圆周运动的轨迹直径为R时,电子恰好不落到筒壁上,即运动半径r0=,根据evxB=,代入r0=、B=、=
联立解得vx=
则vy=,解得vy=
周期T=(点拨:二级结论)或T==
所以筒壁上沿轴向下半部分有电子落上的高度d=vy·= ,如图戊所示
由对称性可知,整个筒壁沿轴向有电子落到区域的高度为2d
则筒壁上落有电子的区域面积S=2πR·2d
联立解得S=2π2R2。
考点3　带电粒子在组合场、叠加场和交变场中的运动
津门故理
1.(2019天津,4,6分)笔记本电脑机身和显示屏对应部位分别有磁体和霍尔元件。当显示屏开启时磁体远离霍尔元件,电脑正常工作;当显示屏闭合时磁体靠近霍尔元件,屏幕熄灭,电脑进入休眠状态。如图所示,一块宽为a、长为c的矩形半导体霍尔元件,元件内的导电粒子是电荷量为e的自由电子,通入方向向右的电流时,电子的定向移动速度为v。当显示屏闭合时元件处于垂直于上表面、方向向下的匀强磁场中,于是元件的前、后表面间出现电压U,以此控制屏幕的熄灭。则元件的 (　D　)
A.前表面的电势比后表面的低
B.前、后表面间的电压U与v无关
C.前、后表面间的电压U与c成正比
D.自由电子受到的洛伦兹力大小为
2.(2024天津,11,16分)如图所示,在Oxy平面直角坐标系的第一象限内,存在半径为R的半圆形匀强磁场区域,半圆与x轴相切于M点,与y轴相切于N点,直线边界与x轴平行,磁场方向垂直于纸面向里。在第一象限存在沿+x方向的匀强电场,电场强度大小为E。一带负电粒子质量为m,电荷量为q,从M点以速度v沿+y方向进入第一象限,正好能沿直线匀速穿过半圆区域。不计粒子重力。
(1)求磁感应强度B的大小;
(2)若仅有电场,求粒子从M点到达y轴的时间t;
(3)若仅有磁场,改变粒子入射速度的大小,粒子能够到达x轴上P点,M、P的距离为R,求粒子在磁场中运动的时间t1。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)由题意可知,静电力与洛伦兹力大小相等,有
qE=qvB ①
解得B= ②
(2)粒子在电场中做类平抛运动,设加速度为a,由牛顿第二定律,有qE=ma ③
依题意,粒子沿-x方向运动的位移大小为R,由运动学公式,有
R=at2 ④
联立③④式解得t= ⑤
(3)如图,粒子从Q点离开磁场,则PQ延长线必然经过半圆形磁场区域的圆心O'。设∠MO'P=θ,由几何关系可得
tan θ== ⑥
设粒子在磁场中运动的轨迹半径为r,速度大小为v1,洛伦兹力提供向心力,有
qv1B=m ⑦
设粒子在磁场中做圆周运动的周期为T,有
T= ⑧
结合几何知识可知t1=T ⑨
联立②⑥⑦⑧⑨式解得t1= ⑩
3.(2022天津,11,16分)如图所示,M和N为平行金属板,质量为m、电荷量为q的带电粒子从M由静止开始被两板间的电场加速后,从N上的小孔穿出,以速度v由C点射入圆形匀强磁场区域,经D点穿出磁场,CD为圆形区域的直径。已知磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外,粒子速度方向与磁场方向垂直,重力忽略不计。
(1)判断粒子的电性,并求M、N间的电压U;
(2)求粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径r;
(3)若粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,求粒子在磁场中运动的时间t。
答案　(1)正电　　(2)　(3)
解析　(1)粒子由C点进入磁场,经D点穿出磁场,由左手定则可知粒子带正电。
由动能定理有qU=mv2 ①
得U= ②
(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,所受洛伦兹力提供向心力,有qvB=m ③
得r= ④
(3)如图所示,设粒子运动轨道圆弧对应的圆心角为θ,依题意,粒子的轨道半径与磁场区域的直径相等,由几何关系得
θ= ⑤
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,有T= ⑥
带电粒子在磁场中运动的时间t=T ⑦
联立③⑤⑥⑦式得t= ⑧
4.(2018天津,11,18分)如图所示,在水平线ab的下方有一匀强电场,电场强度为E,方向竖直向下,ab的上方存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域,外圆与ab的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点静止释放,由M进入磁场,从N射出。不计粒子重力。
(1)求粒子从P到M所用的时间t;
(2)若粒子从与P同一水平线上的Q点水平射出,同样能由M进入磁场,从N射出。粒子从M到N的过程中,始终在环形区域中运动,且所用的时间最少,求粒子在Q时速度v0的大小。
答案　(1)　(2)
解析　(1)设粒子在磁场中运动的速度大小为v,所受洛伦兹力提供向心力,有
qvB=m ①
设粒子在电场中运动所受电场力为F,有
F=qE ②
设粒子在电场中运动的加速度为a,根据牛顿第二定律有
F=ma ③
粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动,有
v=at ④
联立①②③④式得
t= ⑤
(2)粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动,其周期与速度、半径无关,运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定。故当轨迹与内圆相切时,所用的时间最短。设粒子在磁场中的轨迹半径为r',由几何关系可得
(r'-R)2+(R)2=r'2 ⑥
设粒子进入磁场时速度方向与ab的夹角为θ,即圆弧所对圆心角的一半,由几何关系知
tan θ= ⑦
粒子从Q射出后在电场中做类平抛运动,在电场方向上的分运动和从P释放后的运动情况相同,所以粒子进入磁场时沿竖直方向的速度同样为v。在垂直于电场方向上的分速度始终等于v0,由运动的合成和分解可得
tan θ= ⑧
联立①⑥⑦⑧式得
v0= ⑨
思路分析　带电粒子在复合场中的运动
(1)粒子从P点静止释放,在环形区域中做匀速圆周运动。可先求出粒子做匀速圆周运动的速度,即粒子在电场中运动的末速度,再由在电场中的加速运动求得运动的时间。
(2)从Q点射出的粒子,在环形区域中仍做匀速圆周运动。要使其圆周运动时间最短,其运动轨迹必与内圆相切。
5.(2017天津,11,18分)平面直角坐标系xOy中,第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场,第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动,Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场,最终从x轴上的P点射出磁场,P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力,问:
(1)粒子到达O点时速度的大小和方向;
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。
答案　(1)见解析　(2)
解析　(1)在电场中,粒子做类平抛运动,设Q点到x轴距离为L,到y轴距离为2L,粒子的加速度为a,运动时间为t,有
2L=v0t ①
L=at2 ②
设粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为vy
vy=at ③
设粒子到达O点时速度方向与x轴正方向夹角为α,有
tan α= ④
联立①②③④式得α=45° ⑤
即粒子到达O点时速度方向与x轴正方向成45°角斜向上
设粒子到达O点时速度大小为v,由运动的合成有
v= ⑥
联立①②③⑥式得v=v0 ⑦
(2)设电场强度为E,粒子电荷量为q,质量为m,粒子在电场中受到的电场力为F,由牛顿第二定律可得F=ma ⑧
又F=qE ⑨
设磁场的磁感应强度大小为B,粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R,所受的洛伦兹力提供向心力,有
qvB=m ⑩
由几何关系可知R=L 11
联立①②⑦⑧⑨⑩11式得= 12
步骤得分　粒子在电场中做类平抛运动,由于题给条件太少,仅有2x=y及初速度v0,所以可先按类平抛运动模型的常用步骤及方程组建思路。比如,x=v0t,y=at2,vy=at,v=,tan α=等,再将已知条件代入,逐渐消除中间变量,最后找到答案。带电粒子在匀强磁场中的运动属于匀速圆周运动,即使不知道半径R,也可以先写出qvB=,尽可能多拿分。
6.(2016天津,11,18分)如图所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=5 N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球,质量m=1×10-6 kg,电荷量q=2×10-6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),取g=10 m/s2。求:
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
答案　(1)见解析　(2)3.5 s
解析　(1)小球匀速直线运动时受力如图,其所受的三个力在同一平面内,合力为零,有
qvB= ①
代入数据解得
v=20 m/s②
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ= ③
代入数据解得
tan θ=
θ=60° ④
(2)解法一
撤去磁场,小球在重力与电场力的合力作用下做类平抛运动,设其加速度为a,有
a= ⑤
设撤掉磁场后小球在初速度方向上的分位移为x,有
x=vt ⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y,有
y=at2 ⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同,均为θ,又
tan θ= ⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式,代入数据解得
t=2 s=3.5 s⑨
解法二
撤去磁场后,由于电场力垂直于竖直方向,它对竖直方向的分运动没有影响,以P点为坐标原点,竖直向上为正方向,小球在竖直方向上做匀减速运动,其初速度为
vy=v sin θ ⑤
若使小球再次穿过P点所在的电场线,仅需小球的竖直方向上分位移为零,则有
vyt-gt2=0 ⑥
联立⑤⑥式,代入数据解得
t=2 s=3.5 s⑦
方法技巧　1.在撤去磁场前,小球受重力、洛伦兹力、电场力三个力作用,三力平衡。2.撤去磁场后,可考虑把小球的运动分解成水平方向和竖直方向上的运动,其中竖直方向上的运动为竖直上抛运动。
7.(2015天津,12,20分)现代科学仪器常利用电场、磁场控制带电粒子的运动。真空中存在着如图所示的多层紧密相邻的匀强电场和匀强磁场,电场与磁场的宽度均为d。电场强度为E,方向水平向右;磁感应强度为B,方向垂直纸面向里。电场、磁场的边界互相平行且与电场方向垂直。一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子在第1层电场左侧边界某处由静止释放,粒子始终在电场、磁场中运动,不计粒子重力及运动时的电磁辐射。
(1)求粒子在第2层磁场中运动时速度v2的大小与轨迹半径r2;
(2)粒子从第n层磁场右侧边界穿出时,速度的方向与水平方向的夹角为θn,试求sin θn;
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,试问在其他条件不变的情况下,也进入第n层磁场,但比荷较该粒子大的粒子能否穿出该层磁场右侧边界,请简要推理说明之。
答案　(1)2　　(2)B　(3)见解析
解析　(1)粒子在进入第2层磁场时,经过两次电场加速,中间穿过磁场时洛伦兹力不做功。
由动能定理,有
2qEd=m ①
由①式解得
v2=2 ②
粒子在第2层磁场中受到的洛伦兹力充当向心力,有
qv2B=m ③
由②③式解得
r2= ④
(2)设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn,轨迹半径为rn(各量的下标均代表粒子所在层数,下同)。
nqEd=m ⑤
qvnB=m ⑥
粒子进入第n层磁场时,速度的方向与水平方向的夹角为αn,从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn,粒子在电场中运动时,垂直于电场线方向的速度分量不变,有
vn-1 sin θn-1=vn sin αn ⑦
由图1看出
rn sin θn-rn sin αn=d ⑧
由⑥⑦⑧式得
rn sin θn-rn-1 sin θn-1=d ⑨
由⑨式看出r1 sin θ1,r2 sin θ2,…,rn sin θn为一等差数列,公差为d,可得
rn sin θn=r1 sin θ1+(n-1)d ⑩
当n=1时,由图2看出
r1 sin θ1=d 11
由⑤⑥⑩11式得
sin θn=B 12
(3)若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出,则θn=
sin θn=1
在其他条件不变的情况下,换用比荷更大的粒子,设其比荷为,假设能穿出第n层磁场右侧边界,粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn',由于>
则导致sin θn'>1
说明θn'不存在,即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界。
8.(2021天津,12,18分)霍尔元件是一种重要的磁传感器,可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c,以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz,如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子,空穴可看作带正电荷的自由移动粒子,单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后,某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场,磁感应强度的大小为B,沿+y方向,于是在z方向上很快建立稳定电场,称其为霍尔电场,已知电场强度大小为E,沿-z方向。
(1)判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向;
(2)若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In,求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz;
(3)霍尔电场建立后,自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz,求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数,并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
答案　(1)沿+z方向　(2)e　(3)nacvnzΔt　pacvpzΔt　大小相等、方向相反
解析　(1)自由电子沿x轴负方向移动,受到的洛伦兹力沿+z方向。
(2)设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q,由电流定义式,有In= ①
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx,可导出自由电子的电流微观表达式为In=neabvnx ②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
F洛=evnxB ③
霍尔电场力大小为F电=eE ④
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同,其合力大小为
Fnz=F洛+F电=e ⑤
(3)设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np,则
Nn=nacvnzΔt ⑥
Np=pacvpzΔt ⑦
霍尔电场建立后,半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化,则有Nn=Np,即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等,这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
三年模拟
考点强化练
考点1　磁场对电流的作用
1.(2025南开期末)如图分别表示运动电荷和通电直导线在磁场中的受力情况,下列四图中正确的是 (　A　)
　　　　　　　　
　　　　　　　　
2.(2025河北期末)(多选)如图所示,一块蹄形磁铁放在水平桌面上,水平放置的细铜棒AB用绝缘细线悬挂在两个正对的磁极(左侧为S极,右侧为N极)之间静止。闭合开关的瞬间,下列说法正确的是 (　BD　)
A.细线被拉断
B.AB受到竖直向上的安培力
C.AB受到水平向左的安培力
D.蹄形磁铁对桌面的压力变大
3.(2025西青期末)如图所示,粗细均匀、质量分布均匀的直金属棒ab,两端由两条不可伸长的轻质绝缘竖直细线悬挂,棒水平静止于纸面内。棒的正中间一段处于宽度为L、方向垂直纸面向里的匀强磁场中。棒两端与电源相连,电源电动势为E、内阻为r,金属棒的电阻为R,其余电阻不计。开关S断开时,测得a端细线中的拉力大小为F1;闭合S后,a端细线的拉力大小为F2。则匀强磁场的磁感应强度大小为 (　A　)
A.　　　　　　　　B.
C.　　　　　　　　D.
4.(2024天津重点校期末)如图所示,水平金属框的宽度为l=0.5 m,固定在水平面上,左端接一电动势为E=6 V、内阻r=1 Ω的电源,框上放有质量为m=0.2 kg的金属杆ab,金属杆接入电路的有效电阻为R=5 Ω。框所在区域加一磁感应强度为B=1 T的匀强磁场,磁场方向与水平面成θ=37°角斜向上,金属杆处于静止状态,其余电阻不计,取重力加速度g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:
(1)金属杆ab受到的安培力大小;
(2)金属杆ab受到的摩擦力大小;
(3)金属杆ab对水平框的压力大小。
答案　(1)0.5 N　(2)0.3 N　(3)1.6 N
解析　(1)根据闭合电路欧姆定律可得
I== A=1 A,故金属杆ab所受安培力大小为F=BIl=0.5 N,方向垂直磁场斜向左上方。
(2)对金属杆ab受力分析,根据平衡条件,在水平方向上有f=F sin θ=0.5×0.6 N=0.3 N。
(3)对金属杆ab受力分析,根据平衡条件,在竖直方向上有FN+F cos θ=mg,解得FN=1.6 N,根据牛顿第三定律可得,金属杆ab对水平金属框的压力大小F'N=FN=1.6 N。
5.(2025河东期末)甲图所示电磁炮是一种先进的武器,乙图为某同学模拟电磁炮的原理图。为了研究方便,将炮弹视为一个与导轨间距等长的导体棒,其质量m=0.1 kg、电阻R=1 Ω,固定在电阻不计、间距L=0.5 m的两根平行倾斜导轨上。已知导轨平面与水平地面的夹角θ=37°,导轨下端电源电动势E=18 V、内阻r=1 Ω,整个装置处于磁感应强度大小为B=0.2 T、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场中。将导体棒由静止释放,它最终从导轨上端发射出去。若导体棒的最大静摩擦力等于滑动摩擦力,导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.25,重力加速度大小g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
　
(1)导体棒释放时所受安培力F的大小和方向;
(2)导体棒释放时加速度a的大小和方向。
答案　(1)0.9 N　方向平行导轨所在平面向上
(2)1 m/s2　方向平行导轨所在平面向上
解析　(1)导体棒刚放在导轨上时,根据闭合电路欧姆定律有I=,解得I=9 A
导体棒刚放在导轨上时所受安培力的大小F=BIL
解得F=0.9 N,根据左手定则可知,导体棒所受安培力方向平行导轨所在平面向上。
(2)导体棒刚放在导轨上时,对导体棒受力分析,根据牛顿第二定律有F-mg sin θ-f=ma
其中f=μN=μmg cos θ,解得a=1 m/s2,方向沿导轨平面向上。
6.(2025天津部分区期末)如图所示,两光滑平行金属导轨间的距离L=0.4 m,金属导轨所在的平面与水平面夹角θ=30°,在导轨所在平面内,分布着垂直于导轨所在平面向上的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E=6 V、内阻r=1 Ω的直流电源。现把一个质量m=0.04 kg的导体棒ab放在金属导轨上,导体棒恰好静止。导体棒与金属导轨垂直且接触良好,导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=2 Ω,金属导轨电阻不计,g取10 m/s2。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)若匀强磁场与导体棒始终保持垂直,但磁感应强度的大小和方向可以改变,为了使导体棒静止在导轨上且对导轨无压力,求磁感应强度B'的大小和方向。
答案　(1)0.25 T　(2)0.5 T　方向水平向左
解析　(1)根据闭合电路欧姆定律可得,流过导体棒的电流为I==2 A,对导体棒受力分析,根据平衡条件有mg sin θ=F安=BIL,解得匀强磁场的磁感应强度大小B=0.25 T。
(2)若导体棒静止在导轨上且对导轨无压力,则此时对导体棒受力分析可知,导体棒受到的安培力方向竖直向上,根据左手定则可知,此时磁感应强度B'的方向水平向左,且有B'IL=mg,解得B'=0.5 T。
7.(2024天津部分学校期末)如图所示,水平放置的两等长导轨P、Q间的距离L=0.4 m,垂直于导轨平面的竖直方向的匀强磁场的磁感应强度B=5 T,垂直于导轨放置的ab棒的质量m1=0.1 kg,系在ab棒中点的水平绳跨过定滑轮与质量为m2=0.21 kg的小物块相连(小物块悬挂在空中)。已知ab棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1,电源的电动势E=2 V、内阻r=0.1 Ω,导轨的电阻及ab棒的电阻均不计。当滑动变阻器的滑片滑至某一位置时小物块恰好不下落。(假设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等,g取10 m/s2)
(1)判断磁场方向。
(2)求滑动变阻器接入电路部分的阻值。
(3)保持整个系统平衡,以导轨P、Q的右端为支撑点缓慢向上转动导轨平面,同时缓慢调节滑动变阻器的滑片,直到导轨平面与水平面夹角为θ=37°时ab棒与导轨间恰好无相对运动趋势。已知滑轮高度可以调节,始终保持导轨上方绳的拉力方向与导轨平面平行,磁场保持不变,则此时通过ab棒的电流是多少 (sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
答案　(1)竖直向上　(2)1.9 Ω　(3) A
解析　(1)小物块恰好不下落,说明ab棒处于平衡状态,则受到的安培力方向水平向左,根据左手定则可知磁场方向竖直向上。
(2)依据物块的平衡条件可得T=m2g
依据ab棒的平衡条件可得ab棒恰不右滑时T'=f+BIL,f=μFN,FN=m1g,T'=T,依据闭合电路欧姆定律可得E=I(R+r),由以上各式代入数据解得R=1.9 Ω。
(3)依据ab棒的平衡条件可得
BI'L cos θ=T+m1g sin θ,解得I'= A。
8.(2024河东期末)在倾角θ=30°的绝缘斜面上,固定一光滑金属框,宽l=0.5 m,接入电动势E=6 V、内阻r=0.5 Ω的电池,垂直框面放置一根质量m=0.2 kg的金属棒ab,金属棒接入电路的电阻R0的阻值为0.2 Ω,整个装置放在磁感应强度的大小B=1.0 T、方向垂直框面向上的匀强磁场中,调节滑动变阻器R连入电路中的阻值使金属棒静止在框架上,如图所示。(框架的电阻不计,框架与金属棒接触良好,g取10 m/s2)求:
(1)金属棒受到的安培力F安的大小;
(2)滑动变阻器R接入电路的阻值;
(3)电源的输出功率P。
答案　(1)1 N　(2)2.3 Ω　(3)10 W
解析　(1)由左手定则可知,安培力方向沿斜面向上,对ab棒受力分析,由平衡条件有
F安=mg sin 30°
代入数值解得F安=1 N。
(2)由F安=BIl得I==2 A,根据闭合电路欧姆定律有I=,代入数值解得R=2.3 Ω。
(3)路端电压为U=E-Ir=5 V,电源的输出功率P=UI,解得P=10 W。
考点2　磁场对运动电荷的作用
1.(2024天津一中期末)(多选)如图所示,边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场,边界OA上有一粒子源S。某一时刻,从粒子源S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC=θ,从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于(T为粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期),则下列说法正确的是 (　ABC　)
A.若θ=60°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
B.若θ=45°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
C.若θ=30°,则从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小无关
解题指导　题中的条件说明,大量带正电的同种粒子在同一点以相同的速率v沿不同方向射入磁场,由r=得,所有粒子轨迹半径相等,由T=可知,所有粒子的运动周期是相等的,从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于,说明当θ不同时,粒子源S到OC的距离不同,所以要分别作图分析,利用轨迹圆的旋转判断运动的最短时间。
解析　若θ=60°,如图1所示,所有粒子运动轨迹的圆心在以S为圆心、以OS为半径的半圆弧DFGH上,从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最长时间等于,该粒子的轨迹所对应的弦为直径SE,随着轨迹圆的旋转,轨迹所对应的弦最长为SE=SO,对应的圆心为D;弦最短(S到OC的距离)为SF=SE=SO,对应的圆心为G,在△SFG中,各边等长,即对应的圆心角为∠FGS=60°,从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为,A正确。若θ=45°,同理分析,如图2所示,粒子做圆周运动的轨迹半径为OS,故从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为t=T=,B正确;若θ=30°,同理分析,如图3所示,粒子做圆周运动的轨迹半径为OS,故从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的最短时间为t=T=,C正确;由图4可知在OC边界上,只有EI段有粒子穿出,所以从边界OC穿出的粒子在磁场中运动的时间的长短与θ的大小有关,D错误。
　
　
2.(2023红桥一模)如图所示,质量为m、电荷量为q的粒子以垂直于磁感应强度为B的磁场并垂直于磁场边界的速度射入宽度为d的匀强磁场中,穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角θ=60°。
(1)画出粒子在磁场中的运动轨迹,判断粒子的电性并求粒子的速度大小。
(2)求粒子穿过磁场所用的时间。
答案　(1)图见解析　带负电　　(2)
解析　(1)粒子在磁场中的偏转情况如图所示
由左手定则可知粒子带负电;由几何知识有R sin θ=d,R=d根据牛顿第二定律有qvB=,联立解得v=。
(2)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T==
粒子穿过磁场所用的时间t=T=。
3.(2024河西三模)一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示,内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,外圆是探测器,AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径,两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点,粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开,最后打在探测器上的N点,PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态,忽略粒子所受重力及粒子间的相互作用。求:
(1)粒子1在P点的受力方向和电性;
(2)若两粒子的入射速率相等,比较粒子1与粒子2的比荷大小;
(3)改变粒子2入射方向,速率变为原来的,则粒子2在磁场中运动的最长时间。
答案　(1)向下　带负电　(2)粒子1的比荷大于粒子2的比荷　(3)t
解析　(1)粒子1向下偏转,受力向下,由左手定则可知,粒子1带负电。
(2)根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力qvB=m,可得=
由题图可知粒子1运动的半径小于粒子2运动的半径,若两粒子的速率相等,则粒子1的比荷大于粒子2的比荷。
(3)如图1所示,设内圆半径为R,PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一,则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为α=180°-=60°,粒子2在磁场中运动半径为r1==R;如图2所示,粒子2速率变为原来的,此时粒子2在磁场中运动半径为r2=r1=2R,根据几何关系,当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时,粒子2在磁场中运动的时间最长,此时的圆心角为β=60°,速度改变后,粒子2在磁场中运动的最长时间为tmax=T=T=t。
　　　
4.(2023红桥二模)如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.40 T,磁场内有一块足够长的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在与ab的距离l=20 cm处,有一个点状的α放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速率都是v=3.0×106 m/s(从放射源S向感光板作垂线交于板上O点),已知α粒子的电荷与质量之比=5.0×107 C/kg,现只考虑在图纸平面中运动的α粒子,画出偏转图并求解:
(1)α粒子打到板上左端到O点的最远距离x1。
(2)α粒子打到板上右端到O点的最远距离x2。
答案　(1)左偏转图见解析　 m　(2)右偏转图见解析　 m
解析　(1)左侧为左偏转图,由qvB=,解得R==0.15 m,由几何关系可得R2-(l-R)2=
解得x1= m
(2)右侧为右偏转图,由几何关系可得+l2=(2R)2
解得x2= m
5.(2023滨海新区一模)用基本原理如图所示的装置做离子控制实验,其相关参数如下:
①空腔圆柱截面半径为R,壁厚可以忽略不计;
②工作区Ⅰ长度d=4R,内有沿y轴正方向的匀强电场;
③工作区Ⅱ长度未知,内有沿z轴负方向的匀强磁场。
现有一质量为m、电荷量为q的正离子从左侧截面的最低点A处,以初速度v0沿z轴正方向进入Ⅰ区,经过两个区域分界面上的B点进入Ⅱ区,在以后的运动过程中恰好未碰到圆柱腔的内壁,最终从右侧截面上的C点飞出,B点和C点均为所在截面处竖直半径的中点(如图所示),不计离子重力。求:
(1)Ⅰ区中电场强度的大小E;
(2)Ⅱ区中磁感应强度的大小B;
(3)Ⅱ区的长度L。
答案　(1)　(2)　(3)nπR(n=1,2,3,…)
解析　(1)离子在Ⅰ区做类平抛运动,根据类平抛运动规律有4R=v0t,=at2,根据牛顿第二定律有a=,解得电场强度的大小为E=。
(2)离子在Ⅱ区内做复杂的旋进运动。将该运动分解为圆柱腔截面上的匀速圆周运动和z轴正方向上的匀速直线运动,在圆柱腔截面上的匀速圆周运动轨迹如图所示
设临界圆轨迹半径为r,根据几何知识有(R-r)2=r2+,离子在Ⅰ区内沿y轴正方向有=vyt
设z轴正方向有4R=v0t
联立(1)中的结论有vy=v0
则根据洛伦兹力提供向心力有qvyB=
解得Ⅱ区中磁感应强度大小为B=
(3)离子在圆柱腔截面上做匀速圆周运动的周期为T=,离子在z轴的正方向做匀速直线运动,其位移L=v0(nT)(n=1,2,3,…),联立解得Ⅱ区的长度L=nπR(n=1,2,3,…)
考点3　带电粒子在组合场、叠加场和交变场中的运动
1.(2024杨村一中月考)(多选)如图所示,左、右两端点等高的两个半径相同的半圆形光滑轨道置于竖直平面内,分别处于垂直纸面向外的匀强磁场和沿水平方向的匀强电场中。两个相同的带正电小球同时从两轨道左端最高点由静止释放。M、N分别为两轨道的最低点,则下列说法中正确的是 (　BD　)
A.两个小球到达轨道最低点的速度vMB.两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力FM>FN
C.小球第一次到达M点用的时间大于小球第一次到达N点用的时间
D.在磁场中小球能到达轨道的另一端最高处,在电场中小球不能到达轨道另一端最高处
2.(2025天津部分区一模)如图所示,在匀强电场中建立直角坐标系xOy,y轴竖直向上,一质量为m、电荷量为-q的微粒从x轴上的M点射出,方向与x轴夹角θ=30°,微粒恰能以速度v做匀速直线运动,重力加速度为g。
(1)求匀强电场场强E的大小和方向;
(2)若再叠加一圆形边界的匀强磁场,使微粒能到达x轴上的N点,M、N两点关于原点O对称,距离为L,微粒运动轨迹也关于y轴对称。已知磁场的磁感应强度B=,方向垂直xOy平面向里。求微粒的运动半径R;
(3)在(2)问条件下,求该微粒从M运动到N的时间t。
答案　(1)　竖直向下　(2)　(3)+
解析　(1)微粒在电场中做匀速直线运动,它所受的电场力与重力平衡,有qE-mg=0
解得E=,方向竖直向下。
(2)微粒在磁场中运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m
解得R==。
(3)由圆周运动规律可得T=
根据几何关系可知偏转角为2θ,则在磁场中运动的时间
t2=T==
已知θ=30°、MO=、R=,则微粒在磁场中运动轨迹的圆心在O点
又== cos θ=
且有t1=t3==
故微粒从M运动到N的时间t=t1+t2+t3=+
3.(2024天津部分区一模)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,x轴上方区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,x轴下方区域有水平向左的匀强电场,P点是y轴上的一点。一质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v从坐标原点O平行于纸面射入磁场,且射出方向与x轴负方向的夹角为30°,从A点射出磁场。粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点。不计粒子的重力。求:
(1)A、O两点间的距离;
(2)粒子从O点运动到A点所用的时间;
(3)粒子从A点运动到P点电场力做的功。
答案　(1)　(2)　(3)-mv2
解析　(1)带电粒子在磁场中做圆周运动,因从A点射出磁场,则带电粒子带负电,运动轨迹如图所示,
(点拨:粒子进出同一直线边界具有对称性)根据几何关系可知,粒子在磁场中转过的角度为θ=2π-=,
根据洛伦兹力提供向心力,可得qvB=m,
A、O两点间的距离为L=2R sin 30°=。
(2)根据T==,可得粒子从O点运动到A点所用的时间为t=·T=。
(3)粒子在电场中的运动轨迹与y轴相切于P点(点拨:粒子从A点运动到P点,沿x轴方向做匀减速直线运动,到P点时,其沿x轴方向分速度刚好减为0;沿y轴方向做匀速直线运动),则vy=v sin 30°=v,
根据动能定理可得W=m-mv2,
解得W=-mv2。
4.(2024和平一模)如图所示,在直角坐标系的第一象限,有方向竖直向下、电场强度大小为E的匀强电场,在第四象限有垂直纸面向外的匀强磁场,在x轴下方放置一长度为L的绝缘薄板PQ,薄板平面与x轴垂直且上端紧贴x轴。一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子从y轴上一点以速度大小v0水平向右射出,恰好从薄板上边缘P点处射入磁场,粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°,之后粒子恰好未与薄板碰撞,不计粒子重力,求:
(1)粒子在y轴上的射出位置到P点的水平距离;
(2)匀强磁场磁感应强度的大小;
(3)粒子在薄板右侧磁场中运动的时间t。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)根据题意可知粒子在P点速度方向与x轴的夹角为30°,可得粒子在P点沿y轴的分速度vy=v0 tan 30°,
粒子在电场中做类平抛运动,沿x轴方向做匀速直线运动,有x=v0t1,
沿y轴方向根据牛顿第二定律有qE=ma,
根据速度与时间的关系可得vy=at1,
联立以上各式可得x=。
(2)(点拨:根据粒子恰好未与薄板碰撞的临界条件,可把薄板当作直线边界,粒子通过薄板上、下边缘具有对称性)
粒子在P点的速度vP=,
粒子在磁场中做圆周运动,有qvPB=m,
粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示,根据几何关系可得2r sin 60°=L,联立解得B=。
(3)根据几何关系可知,粒子在薄板右侧磁场中的运动轨迹对应的圆心角为120°,运动的时间t=T,
而粒子做圆周运动的周期T=,
解得t=。
5.(2024红桥二模)如图,平行板电容器两板间距离d=1 m,板间电压大小为U=8×104 V,同时板间还存在磁感应强度为B1=2 T的匀强磁场。平行板电容器右侧有内径为r=1 m、外径为内径2倍的圆环状匀强磁场,其磁感应强度为B2(未知)。比荷为1×104 C/kg的正离子从电容器左侧水平飞入,在两板间恰好做匀速直线运动,并沿圆环直径方向射入环形磁场,离子的重力可忽略。求:
(1)离子射入两板间的速率;
(2)若离子恰好不能进入小圆区域,磁感应强度B2的大小;
(3)满足第(2)问结果的条件下,离子通过环形磁场所用的时间(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,π取3)。
答案　(1)4×104 m/s　(2) T　(3)6.625×10-5 s
解析　(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v,在两板间恰好做匀速直线运动,则有q=qvB1,解得v=4×104 m/s。
(2)若离子恰好不能进入小圆区域,设离子与小圆相切时轨迹半径为R0,此时轨迹如图所示
在△OPO'中,由几何关系得+(2r)2=(R0+r)2
解得R0=r,在环形磁场中,洛伦兹力提供向心力
qvB2=m,解得B2= T。
(3)离子在圆环状磁场中运动的周期T=
根据几何关系可得tan θ==,可得θ=53°
可知轨迹对应的圆心角为106°,则有
t=T=6.625×10-5 s。
6.(2025河东一模)亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件。它由一对完全相同的圆形导体线圈组成,这两个线圈的半径和匝数相同,且同轴排列。亥姆霍兹线圈能产生标准磁场,因此在物理实验中经常被使用。如图所示为一对通有相同方向且等大的恒定电流的亥姆霍兹线圈,形成如图平行中心轴线O1O2向右的匀强磁场,其磁感应强度B大小未知,现有一离子源放置于O1O2上某点位置O,持续发射初速度大小均为v0的粒子,其方向垂直于轴线向外,粒子所带电荷量均为+q,质量均为m。在x轴线上垂直放置一圆形探测屏,半径为R,其圆心位于x轴上的P点,用于接收粒子,探测屏圆心P与粒子源间的距离为d,不计粒子重力和粒子间相互作用。若粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径恰好等于。
(1)要产生如图所示方向的磁场,则亥姆霍兹线圈应通顺时针还是逆时针方向的电流(从左往右看);
(2)求磁感应强度B的大小。
(3)断开亥姆霍兹线圈中电流,在垂直x轴线方向上放置一对平行板,两极板间形成的匀强电场方向沿x轴向右,要使所有粒子恰好打在探测屏边缘,则该匀强电场的电场强度E应为多大
(4)若该空间同时存在上述的磁场和电场,沿x轴平移探测屏,使所有粒子恰好打在探测屏的圆心,求探测屏圆心与粒子源间距离的可能值。
答案　(1)顺时针方向的电流(从左往右看)　(2)　(3)　(4)n2π2d(n=1,2,3……)
解析　(1)根据安培定则,要产生如题图所示方向的磁场,则亥姆霍兹线圈应通顺时针方向的电流(从左往右看)。
(2)粒子在磁场中,由洛伦兹力提供向心力可得qv0B=m
其中r=,解得B=
(3)粒子在电场中做类平抛运动,沿x轴方向有d=at2
垂直于x轴方向有R=v0t
由牛顿第二定律可知qE=ma
联立解得E=。
(4)粒子沿x轴方向做匀加速直线运动,垂直于x轴方向做匀速圆周运动,故粒子回到x轴时间为粒子做匀速圆周运动周期的整数倍,tn=nT=(n=1,2,3……)
x轴方向有dn=a,qE=ma
联立解得dn=n2π2d(n=1,2,3……)。
7.(2024北辰三模)如图所示,空间有一棱长为L的正方体区域,带电粒子从平行于MF棱且与MPQF共面的线状粒子源连续不断地逸出,逸出粒子的初速度可视为0,粒子质量为m,电荷量为+q,经垂直于MF棱的水平电场加速后,粒子以一定的水平初速度从MS段垂直进入正方体区域内,MS段长为L,该区域内有垂直平面MPRG向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,从M点射入的粒子恰好从R点射出。忽略粒子间的相互作用,不计粒子重力。
(1)求线状粒子源处与正方体MS段之间的电势差;
(2)若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场,电场强度大小为,已知从S点射入的粒子从QP边上的某点射出,求该点到Q点的距离;
(3)若该区域内同时存在上述磁场与电场,通过计算判断从S点进入的粒子,离开该区域时的位置和速度大小。
答案　(1)　(2)-　(3)粒子从N点离开该区域　
解析　(1)粒子经电场加速,则Uq=mv2
粒子进入垂直平面MPRG向外的匀强磁场后,从M点射入的粒子恰好从R点射出,可知粒子在磁场中运动的轨道半径为r=L,则由qvB=m,可得U=。
(2)若该区域内只有垂直平面MPRG向外的匀强电场,则粒子在电场中做类平抛运动,则垂直电场方向L=vt,沿电场方向y=at2,其中a=,E=
解得y=,该点到Q点的距离Δy=-。
(3)该区域内同时存在上述磁场与电场时,从S点进入的粒子在正方体区域内做不等距螺旋线运动,将其运动分解为沿MF方向的初速度为零的匀加速直线运动,和平行于MPRG平面的线速度大小为v、半径为R=L的匀速圆周运动。匀速圆周运动的周期为T=,假设粒子从FQNA面射出,则有L-=a,解得t2==,可知匀速圆周运动的轨迹为圆周,该粒子恰好从N点离开该区域,假设成立。离开该区域时沿MF方向的速度为v2=at2,解得v2=,设离开该区域时速度大小为v',则有v'=,解得v'=。
8.(2025南开一模)如图所示,足够大的平行挡板A1、A2竖直放置,间距为6L。两板间存在两个方向相反的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ,以水平面MN为理想分界面,Ⅰ区的磁感应强度为B0,方向垂直纸面向外。A1、A2上各有位置正对的小孔S1、S2,两孔与分界面MN的距离均为L,质量为m、电荷量为+q的粒子经宽度为d的匀强电场由静止加速后,沿水平方向从S1进入Ⅰ区,并直接偏转到MN上的P点,再进入Ⅱ区,粒子最终从S2射出,P点与A1板的距离是L的k倍,不