《直通名校》专题五 第1讲　小题研透——直线与圆（课件）-高考数学大二轮专题复习

(共82张PPT)
第1讲　小题研透
——直线与圆
目录
CONTENTS
课时跟踪检测
锁定高考·明方向
研透高考·攻重点
有的放矢 事半功倍
重难攻坚 快速提升
01
锁定高考·明方向
有的放矢 事半功倍
一、考情分析
高频考点 高考预测
直线的方程及圆的方程 考查重点是直线间的平行和垂直的条件，
与距离有关的问题，直线和圆相结合，求
圆的方程或弦长、面积等，多以选择题、
填空题的形式出现，难度中等
直线（圆）与圆的位置关系 与圆有关的最值问题 对称问题 二、真题感悟
1. （2024·北京高考3题）（点到直线的距离）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆
心到直线x－y＋2＝0的距离为（　　）
B. 2
C. 3
解析：　化圆的方程为标准方程，得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所
以该圆的圆心（1，－3）到直线x－y＋2＝0的距离为 ＝
＝3 .
√
2. （2024·全国甲卷理12题）（直线与圆的位置关系及弦长问题）已知b
是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于
A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　）
A. 1 B. 2
C. 4
解析：　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by
＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接
CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝
5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为
2 ＝4，故选C.
√
3. （2023·新高考Ⅰ卷6题）（直线与圆相切）过点（0，－2）与圆x2＋y2－
4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　）
A. 1
√
解析：　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2
＝5，所以圆心为点（2，0），半径为 .如图易知
点（2，0）与点（0，－2）的距离为2 ，所以点
（0，－2）与切点的距离为 ＝
，所以 sin ＝ ， cos ＝ ，所以 sin α＝2
sin cos ＝2× × ＝ .故选B.
4. （2022·新高考Ⅱ卷15题）（对称问题、直线与圆的位置关系）设点A
（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋
3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是 .

解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－
2，2a－3），所以kA'B＝ ，所以直线A'B的方程为y＝ x＋a，即
（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2
＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以
≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得
≤a≤ ，所以实数a的取值范围是 .
法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－
3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的
方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为
（3，－2），半径为1，所以 ≤1，解得－ ≤k≤－ ，又k＝
，所以－ ≤ ≤－ ，解得 ≤a≤ ，所以实数a的取值范围是
.
1. 两条直线平行与垂直的判定
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为零），直线l2：A2x
＋B2y＋C2＝0（A2，B2不同时为零），则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且
A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
易错提醒　直线的截距式方程只适用于截距不为0和不平行于坐标轴
的情形.在设直线方程时，如果是点斜式或斜截式时需要讨论斜率是
否存在.
2. 圆的方程
（1）标准方程：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心为（a，
b），半径为r；
（2）一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），圆心
为（－ ，－ ），半径为r＝ .
3. 直线与圆相切问题
（1）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x＋
y0y＝r2；
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的
切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，切
点为A，B，则过A，B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2；
（4）过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，
y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的
直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2；
（5）过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）外一点P
（x0，y0）引圆的切线，切点为T，则｜PT｜＝
；
（6）若圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），则过圆外一
点P（x0，y0）的切线长d＝ .
02
研透高考·攻重点
重难攻坚 快速提升
直线的方程
【例1】　（1）（2024·广东六校联考）已知直线l经过直线l1：x＋y＝
2，l2：2x－y＝1的交点，且直线l的一个方向向量v＝（－3，2），则直
线l的方程是（　C　）
A. 3x－2y－1＝0 B. 3x－2y＋1＝0
C. 2x＋3y－5＝0 D. 2x－3y＋1＝0
√
解析：解方程组得即直线l1，l2的交点
为（1，1）.因为直线l的一个方向向量v＝（－3，2），所以直线l
的斜率k＝－ ，则直线l的方程为y－1＝－ （x－1），即2x＋3y
－5＝0.故选C.
（2）（2024·扬州高邮调研）已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则
＋ 的最小值为（　D　）
√
解析： ＋ 表示直线x＋y
＋1＝0上一动点P（x，y）到定点A（1，1），B（2，0）的距离
之和，如图.设点A（1，1）关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A'
（x0，y0），则
解得所以A'（－2，－2），则｜A'B｜＝ ＝2 ，所以 ＋ 的最小值为2 .故选D.
1. 两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2均存在，则l1∥l2 k1＝k2，
l1⊥l2 k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是
否存在.
2. 解决两类对称问题的关键
一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对
称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”
列出一个方程，联立求解.特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关
于y＝x的对称问题采用代入法，如（1，3）关于y＝x＋1的对称点为
（3－1，1＋1），即（2，2）.
1. 过两直线x＋y－3＝0，2x－y＝0的交点，且与直线x－3y－1＝0垂直
的直线方程为（　　）
A. 3x＋y＋5＝0 B. x－3y－5＝0
C. 3x＋y－5＝0 D. x－3y＋5＝0
解析：　由解得即直线x＋y－3＝0，2x－y
＝0的交点为（1，2）.因为所求直线与直线x－3y－1＝0垂直，所以所
求直线的斜率为－3，因此所求直线的方程为y－2＝－3（x－1），即
3x＋y－5＝0.故选C.
√
2. （2024·盐城射阳中学学情检测）两条平行直线l1：x－2y＋1＝0与l2：
2x＋my＋2m＝0之间的距离为 .
解析：∵l1∥l2，∴解得m＝－4，∴l2：2x－4y
－8＝0，即x－2y－4＝0，∴l1，l2之间的距离d＝ ＝ .

圆的方程
【例2】　（2024·郑州名校联盟）平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：
三角形任意一个顶点到其垂心（三角形三条高的交点）的距离等于外心
（外接圆圆心）到该顶点对边距离的2倍.若点A，B，C都在圆E上，直
线BC方程为x＋y－2＝0，且｜BC｜＝2 ，△ABC的垂心G（2，2）
在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为
.
（x－3）2＋（y
－3）2＝18
解析：由△ABC的垂心G（2，2）到直线BC距离d＝ ，设圆E半径为
r，由塞尔瓦定理可得r＋｜EG｜＝2（｜EG｜＋ ），由圆的几何性质
可得（｜EG｜＋ ）2＋（ ）2＝r2，联立解得｜EG｜＝ ，r＝
3 ，因为直线BC方程为x＋y－2＝0，所以直线EG方程为y＝x，设E
（a，a），则E到直线BC距离d'＝ ＝2 .解得a＝－1（舍
去）或a＝3，所以圆E的标准方程为（x－3）2＋（y－3）2＝18.
求圆的方程的2种方法
（1）几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，从而
求得圆的基本量和方程；
（2）代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从
而求得圆的方程.
1. （2024·深圳宝安中学期中）由曲线x2＋y2＝2｜x｜＋2y围成的图形的
面积为（　　）
A. 2π B. 3π
C. 2π＋3 D. 3π＋2
解析：　当x≥0时，曲线为x2＋y2＝2x＋2y，即（x－1）2＋（y－1）2＝2；当x＜0时，曲线为x2＋y2＝－2x＋2y，即（x＋1）2＋（y－1）2＝2.画出图象如图，故所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积，且圆的半径为 ，两圆对称，即2πr2－2（ πr2－ × × ）＝3π＋2.故选D.
√
2. （多选）（2024·贵州一模）已知点P（4m＋3，－3m－4）， 点Q在
圆C：（x－1）2＋y2＝1上，则（　　）
A. 点P在直线3x＋4y＋7＝0上
B. 点P可能在圆C上
C. ｜PQ｜的最小值为1
D. 圆C上有2个点到点P的距离为1
√
√
解析：　圆C：（x－1）2＋y2＝1的圆心为C（1，0），半径为r＝
1，对选项A，由P（4m＋3，－3m－4）得消去参数
m得3x＋4y＋7＝0，所以点P在直线3x＋4y＋7＝0上，故A正确；对
选项B，因为圆心C到直线3x＋4y＋7＝0的距离d＝ ＝2＞r，
可知直线3x＋4y＋7＝0与圆C相离，结合选项A可知：点P不可能在圆
C上，故B错误；对选项C，结合选项B可知｜PQ｜的最小值为d－r＝
1，故C正确；对选项D，因为d＝r＋1，可知圆C上有且仅有1个点到
点P的距离为1，故D错误.故选A、C.
直线（圆）与圆的位置关系
【例3】　（1）已知圆C1：（x＋2）2＋（y－3）2＝5与圆C2相交于A
（0，2），B（－1，1）两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2
的方程为（　　）
A. （x－1）2＋y2＝5
√
解析：设圆C2的圆心坐标为（a，b），连接AB，C1C2.因为
C1（－2，3），A（0，2），B（－1，1），所以｜AC1｜＝｜
BC1｜＝ ，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且｜
AC2｜＝ .可得解得或
则圆心C2的坐标为（1，0）或（－2，3）（舍去）.因为
圆C2的半径为 ，所以圆C2的方程为（x－1）2＋y2＝5.故选A.
（2）（多选）（2024·贵阳适应性考试）已知圆C：（x－1）2＋（y－
2）2＝9，直线l：m（x＋y＋1）＋y－x＝0，m∈R，则下列说法
正确的是（　　）
A. 直线l过定点（－1，－1）
B. 直线l与圆C一定相交
√
√
解析：对于A，由m（x＋y＋1）＋y－x＝0对于任意的m成立，可
得所以x＝y＝－ ，直线l过定点（－ ，－ ），
A错误.对于B，将定点（－ ，－ ）代入圆C的方程得（－ －
1）2＋（－ －2）2＝ ＜9，可知点（－ ，－ ）在圆（x－1）
2＋（y－2）2＝9的内部，所以直线l与圆C一定相交，B正确.对于
C，直线l平分圆C即直线l过圆C的圆心，将圆心坐标（1，2）代
入直线l的方程得m（1＋2＋1）＋2－1＝0，得m＝－ ，C正确.
对于D，记直线l被圆C截得的弦的长为t，圆心（1，2）到直线l的
距离为d，圆C的半径为r，根据弦长、半径与圆心到直线的距离
之间的关系，得（ ）2＝r2－d2＝9－d2.又d2≤ ，所以t≥ ，
D错误.故选B、C.
直线（圆）与圆的位置关系的解题思路
（1）数形结合：讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结
合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量；
（2）巧用垂直：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心
到切线的距离等于半径”建立切线与斜率的等式，求切线方程一般
选择点斜式；
（3）弦长公式：将弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝
2 （其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距
离）.
1. 圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0至少有三条公切线，
则实数m的取值范围是（　　）
√
解析：　将x2＋2mx＋y2＋m2－1＝0化为标准方程得（x＋m）2＋y2
＝1，即圆心为（－m，0），半径为1.圆x2＋（y－2）2＝4的圆心为
（0，2），半径为2.因为圆x2＋（y－2）2＝4与圆x2＋2mx＋y2＋m2－
1＝0至少有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切或外离，所以
≥2＋1，即m2≥5，解得m∈（－∞，－ ]∪[，＋∞）.
故选D.
2. （2024·贵阳质监）过点P（－1，3 ）作圆C：x2＋y2－4x－5＝0的
两条切线，切点分别为A，B，则劣弧 的长度是（　　）
A. 2π
D. π
√
解析：　如图，由圆的切点弦方程可知，切点弦AB
的方程为x0x＋y0y－4· －5＝0.又P（－1，
3 ），∴－1·x＋3 y－4× －5＝0，即x－
y＋1＝0.取AB中点H，连接CH，AC，则CH⊥AB，将圆C的方程化成标准方程，得（x－2）2＋y2＝9，圆心C（2，0），半径r＝3，∴B（－1，0），∴PB⊥x轴，直线x＝－1为圆的一条切线.设直线AB的倾斜角为α，斜率为k，则k＝tan α＝ ，∴α＝ .在Rt△CHB中，∠BCH＝ ，∴∠ACB＝2∠BCH＝ .劣弧 ＝ ×3＝2π.
3. （2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k
（x－3 ）上存在一点P，圆x2＋（y－1）2＝1上存在一点Q，满足
＝3 ，则实数k的最大值为（　　）
A. 0 B. 3
√
解析：　根据题意，设点P（x，y），由 ＝3 可得Q（ ，
），又点Q在圆x2＋（y－1）2＝1上，可得（ ）2＋（ －1）2＝1，
即x2＋（y－3）2＝9，所以点P既在直线y＝k（x－3 ）上，又在以
（0，3）为圆心，半径为3的圆x2＋（y－3）2＝9上，即直线和圆有公
共点，所以圆心到直线距离d＝ ≤3，解得－ ≤k≤0，所
以实数k的最大值为0.故选A.
隐圆问题
【例4】　（2024·郑州第二次质量预测）在平面直角坐标系xOy中，设A
（2，4），B（－2，－4），动点P满足 · ＝－1，则tan∠PBO的最
大值为（　　）
√
解析：　设P（x，y），则 ＝（－x，－y）， ＝（2－x，4－
y），由 · ＝－1，得－x（2－x）－y（4－y）＝－1，即x2＋y2－
2x－4y＋1＝0，即（x－1）2＋（y－2）2＝4，所以点P的轨迹是以C
（1，2）为圆心，半径r＝2的圆.因为点B（－2，－4），所以kOB＝kOC
＝2，所以O，B，C三点共线，且点O在B，C之间，则∠PBO＝
∠PBC，所以当直线PB与圆C相切时，∠PBC最大，即tan∠PBC取最大
值.｜BC｜＝ ＝3 ，当PB与圆C相切时，｜
PB｜＝ ＝ ＝ ，所以（tan∠PBC）max＝
＝ ＝ ，故选C.
发现隐圆的主要方法
（1）由定义可以判断（动点到定点的距离为定值）；
（2）由两定点A，B，动点P满足 · ＝λ（λ是常数），求出点P的
轨迹方程确定圆；
（3）由两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2是定值，确定圆；
（4）由两定点A，B，动点P满足 ＝λ（λ＞0，λ≠1），确定圆
（阿波罗尼斯圆）.
已知圆C：（x－2）2＋y2＝2，直线l：y＝k（x＋2）与x轴交于点A，
过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若｜PA｜＝ ｜PT｜，则实数k
的取值范围是（　　）
√
解析：　由题意知A（－2，0），C（2，0），设P（x，y），则由｜
PA｜＝ ｜PT｜，得｜PA｜2＝2｜PT｜2＝2（｜PC｜2－2），故（x
＋2）2＋y2＝2[（x－2）2＋y2－2]，化简得（x－6）2＋y2＝36，所以满
足｜PA｜＝ ｜PT｜的点P在以（6，0）为圆心，6为半径的圆上.由题
意知，直线y＝k（x＋2）与圆（x－6）2＋y2＝36有公共点，所以d＝
≤6，解得－ ≤k≤ .
03
课时跟踪检测
1. 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a＝
（　　）
A. 1 B. －1
C. －2或1 D. 2或1
解析：　当a＝0时，直线l：y＝2，此时不符合题意，应舍去；当
a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为 ，纵截距为2
－a.由 ＝2－a，解得a＝1或a＝2.经检验，a＝1，2均符合题意，
故a的值是2或1.
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√
2. （2024·金溪、广昌、南丰月考）点（0，1）到直线kx＋y＋k＝0的最
大距离为（　　）
A. 2
D. 1
解析：　由题意知，直线kx＋y＋k＝0即（x＋1）k＋y＝0，所以该
直线恒过定点（－1，0），则点（0，1）到直线kx＋y＋k＝0的最大距
离即为点（0，1）到定点（－1，0）的距离，即d＝ .故选C.
√
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3. （2024·石家庄教学质量检测）已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－
2x－4y＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝（　　）
解析：　因为圆O1：x2＋y2＝5，所以O1（0，0），半径r1＝ ，又
圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0，圆O1与圆O2交于A，B两点，所以直线
AB的方程为2x＋4y－5＝0，所以点O1（0，0）到直线AB的距离d＝
＝ ，所以｜AB｜＝2 ＝2 ＝ ，故选C.
√
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4. （多选）已知△ABC三边所在直线分别为AB：x－2y＋2＝0，BC：x
＋3y－3＝0，AC：2x－y－6＝0，则（　　）
A. AB边上的高所在直线方程为2x＋y－6＝0
D. △ABC是直角三角形
√
√
√
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解析：　由得B（0，1）.由
得C（3，0）.由得A（ ， ）.易得kAB＝ ，所
以AB边上的高所在直线的斜率为－2，则方程为y－0＝－2（x－3），
即2x＋y－6＝0，故A正确.AB边上的高的长度为点C到直线AB的距离
＝ ，故B正确.因为｜AB｜＝
＝ ，所以△ABC的面积为 × × ＝ ，故C正确.由斜率的关
系可知，△ABC的任意两边均不垂直，故D错误.选A、B、C.
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5. 已知圆心的坐标为（2，－3），一条直径的两个端点恰好在两个坐标轴
上，则这个圆的一般方程为 .
解析：因为直径所对的圆周角是直角，所以圆恰好过原点，故半径为
＝ ，所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝
13，化为一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.
x2＋y2－4x＋6y＝0
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6. 与直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的方程为 .
解析：直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，与x轴交于点A（ － ，0），
直线2x－y＋1＝0关于x轴对称的直线的斜率为k'＝－2，并且过点A，
由直线的点斜式方程得y－0＝－2（ x＋ ），即2x＋y＋1＝0，所以所
求直线的方程为2x＋y＋1＝0.
2x＋y＋1＝0
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7. （2024·九省联考）已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足
＝（1，－3），记P的轨迹为E，则（　　）
B. E是一条与l相交的直线
D. E是两条平行直线
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解析：　设Q（－1－2a，a）（a∈R），P（x，y），故 ＝
（x＋1＋2a，y－a）＝（1，－3），所以整理得
消去a可得x＋2y＋6＝0，所以轨迹E的方程为x＋2y＋6
＝0，易知E为一条与直线l平行的直线，所以A、B、D都是错误的.直
线x＋2y＋6＝0与直线x＋2y＋1＝0的距离d＝ ＝ ，因此E
上的点到l的距离均为 ，故C正确.综上所述，选C.
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8. （2024·营口期末）若M，N为圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上任意两
点，P为直线3x－4y＋12＝0上一个动点，则∠MPN的最大值是
（　　）
A. 45° B. 60°
C. 90° D. 120°
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解析：　如图，过点P作圆C的两条切线，切点分别
为M，N，根据切线的性质得∠PMC＝90°，在
Rt△CPM中， sin ∠CPM＝ ，根据已知可得｜
MC｜＝1，则当｜PC｜越小，则 sin ∠CPM越大.因为
0°＜∠CPM＜90°，所以 sin ∠CPM越大，∠CPM越大.当PC与直线3x－4y＋12＝0垂直时，∠CPM最大，根据切线的性质可得∠MPN＝2∠CPM，此时｜PC｜＝ ＝2，则 sin ∠CPM＝ ，即∠CPM＝30°，故∠MPN的最大值为2∠CPM＝60°.
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9. 已知曲线C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与曲线C2：（y－4）（3x＋4y
－m）＝0恰有三个不同的公共点，则实数m的取值范围为（　　）
A. （13，22） B. （22，23）
C. （13，23） D. （13，22）∪（22，23）
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解析：　C1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，即C1：（x－2）2＋（y－
3）2＝1，∵C2：（y－4）（3x＋4y－m）＝0，∴y＝4或3x＋4y－m
＝0，∵C1的圆心（2，3）到y＝4的距离为1，∴y＝4与C1相切于点
（2，4），C2与C1交于不同的三点，即3x＋4y－m＝0与C1有2个交
点，且不交于点（2，4），记d为圆心（2，3）到3x＋4y－m＝0的距
离，则d＝ ＝ ＜1，∴｜18－m｜＜5 13＜m＜
23，又∵直线不经过（2，4） 3×2＋4×4－m≠0 m≠22，∴m∈
（13，22）∪（22，23）.故选D.
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10. 设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q，它们
关于直线x＋my＋4＝0对称，且 · ＝0，则直线PQ的方程为
（　　）
A. y＝－x－1 B. y＝－x＋1
C. y＝x－1 D. y＝x＋1
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解析：　曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，即曲线（x＋1）2＋（y－3）
2＝9，表示圆心为（－1，3），半径为3的圆，因为点P，Q在圆上且
关于直线x＋my＋4＝0对称，所以圆心在直线x＋my＋4＝0上，代入
可得m＝－1，即直线方程为x－y＋4＝0.由题意知直线PQ与直线x
－y＋4＝0垂直，所以可设直线PQ：y＝－x＋b，P（x1，y1），Q
（x2，y2），将y＝－x＋b代入圆的方程，整理得2x2＋2（4－b）x
＋b2－6b＋1＝0，Δ＝4（4－b）2－4×2×（b2－6b＋1）＞0，解得2
－3 ＜b＜2＋3 ，由根与系数的关系得x1＋x2＝－（4－b），
x1x2＝ ，y1y2＝b2－b（x1＋x2）＋x1x2＝ ＋4b.因为
· ＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即b2－6b＋1＋4b＝0，解得b＝1∈
（2－3 ，2＋3 ），所以直线PQ的方程为y＝－x＋1，故选B.
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11. （多选）（2024·沧州模拟）已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆
C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是（　　）
A. 直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0
B. 圆C1和圆C2共有4条公切线
C. 若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为10
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解析：　由题意得，圆C1：（x－1）2＋（y－1）2＝4的圆心C1
（1，1），半径r1＝2，圆C2：（x－4）2＋（y－5）2＝9的圆心C2
（4，5），半径r2＝3，对于A，直线C1C2的方程为 ＝ ，即4x
－3y－1＝0，所以A正确；对于B，因为｜C1C2｜＝
＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得｜C1C2｜＝r1
＋r2，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错
误；对于C，因为｜C1C2｜＝5，所以｜PQ｜的最大值为｜C1C2｜＋
r1＋r2＝10，所以C正确；对于D，当｜C1C2｜为圆的直径时，该圆在
经过点C1，C2的所有圆中面积最小，此时圆的面积为π（ ）2＝ π，
所以D正确.故选A、C、D.
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12. （多选）已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，
0），B（0，2），则（　　）
A. 点P到直线AB的距离小于10
B. 点P到直线AB的距离大于2
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解析：　由题意可知直线AB的方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心（5，5）到直线AB的距离d＝ ＝ ＞4，
∴直线AB与圆（x－5）2＋（y－5）2＝16相离，∴点P到直线AB的距离的取值范围为［ －4， ＋4］，∵ －4∈（0，1）， ＋4∈（8，9），∴选项A正确，选项B错误.过点B作圆的两条
切线，切点分别为P1，P2，
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如图，当点P在切点P1的位置时，
∠PBA最小，当点P在切点P2的位置时，
∠PBA最大，易知｜P1B｜＝｜P2B｜，圆心
（5，5）到点B的距离为 ，圆的半径为4，
∴｜P1B｜＝｜P2B｜＝ ＝ ＝
3 ，故选项C、D均正确.故选A、C、D.
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13. （多选）在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P
满足 ＝ ，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（　　）
A. C的方程为（x＋4）2＋y2＝9
C. 当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D. 在C上存在点M，使得｜MO｜＝2｜MA｜
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解析： 　设点P（x，y），则 ＝ ＝ ，化简
整理得x2＋y2＋8x＝0，即（x＋4）2＋y2＝16，故A错误；当D（－
1，0），E（2，0），P（0，0）时， ＝ ，故B正确；对于C
选项，当A，B，P三点不共线时，由 ＝ ＝ ，可得射
线PO是∠APB的平分线，故C正确；
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对于D选项，设M（x0，y0），由｜MO｜＝2｜MA｜可得 ＝
2 ，整理得3 ＋3 ＋16x0＋16＝0，又点M在圆上，
故满足 ＋ ＋8x0＝0，联立解得x0＝2，y0无实数解，于是D错误.故选
B、C.
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14. （2024·温州高三统一测试）已知圆x2＋y2＝16与直线y＝－ x交于
A，B两点，则经过点A，B，C（8，0）的圆的方程为
.
（x－3）2
＋（y－ ）2＝28
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解析：法一　联立得解得或不
妨取A（2，－2 ），B（－2，2 ），设所求圆的方程为x2＋y2＋
Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则
解得满足D2＋E2－4F＞0，∴所求圆的方程为x2＋y2－
6x－2 y－16＝0，即（x－3）2＋（y－ ）2＝28.
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法二　显然直线y＝－ x过圆x2＋y2＝16的圆心，故AB为圆x2＋y2＝16
的直径，AB的垂直平分线的方程为y＝ x.联立得解得
或不妨取A（2，－2 ），B（－2，2 ），则
kAC＝ ＝ ，AC的中点坐标为（5，－ ），∴AC的垂直平分线的方
程为y－（－ ）＝－ （x－5），即y＝－ x＋4 .联立得
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解得∴所求圆的圆心坐标为（3， ），半
径为 ＝2 ，∴所求圆的方程为（x－3）2＋
（y－ ）2＝28.
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15. 已知两点A（－4，8），B（2，4），点C在直线y＝x＋1上，则｜
AC｜＋｜BC｜的最小值为 .
解析：依题意，设B（2，4）关于直线y＝x＋1的对称点为B'（m，
n），∴解得∴B'（3，3），连接AB'交直
线y＝x＋1于点C'，

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如图，在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B'C，显然直线y＝x＋1垂直平分线段BB'，则有｜AC｜＋｜BC｜＝｜AC｜＋｜B'C｜≥｜AB'｜，当且仅当点C与C'重合时取等号，∴（｜AC｜＋｜BC｜）min＝｜AB'｜＝ ＝ ，
故｜AC｜＋｜BC｜的最小值为 .
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16. （2024·岳阳质量监测）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2＋y2
＝16上的两点，若∠AOB＝ ，则｜x1＋y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜的最
大值为（　　）
A. 16 B. 12 C. 8 D. 4
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解析：　因为A（x1，y1），B（x2，y2）在圆
x2＋y2＝16上，∠AOB＝ ，又｜OA｜＝｜
OB｜＝4，则△AOB是等腰直角三角形，｜x1＋
y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜表示A，B到直线x＋y
－2＝0的距离之和的 倍，原点O到直线x＋y
－2＝0的距离为d＝ ＝ ，如图所示，
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AC⊥CD，BD⊥CD，E是AB的中点，作EF⊥CD于F，且OE⊥AB，｜AC｜＋｜BD｜＝2｜EF｜，｜OE｜＝ ｜AB｜＝2 ，｜EF｜≤｜OE｜＋d＝3 ，当且仅当O，E，F三点共线，且E，F在O的两侧时等号成立，又｜EF｜＝ （｜BD｜＋｜AC｜），故｜BD｜＋｜AC｜的最大值为6 ，故｜x1＋y1－2｜＋｜x2＋y2－2｜的最大值为 ×6 ＝12.故选B.
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17. 过圆x2＋y2＝16上的动点作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，两个切点之
间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的
面积为 .
解析：如图所示，过圆x2＋y2＝16上一动点P作圆C
的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则｜
OP｜＝4，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜PB｜＝｜
PA｜＝ ＝2 ，则 sin ∠OPA
＝ ＝ ，且∠OPA为锐角，∴∠OPA＝30°，同理可得∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，则△APB为等边三角形，连接OP交AB于点M，∵OP为∠APB的角平分线，则M为AB的中点，∴OM⊥AB，
π
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且∠OAB＝90°－∠PAB＝30°，∴｜OM｜＝ ｜
OA｜＝1，则圆C内不在任何切点弦上的点到圆C的圆
心的距离应小于｜OM｜，即圆C内的这些点构成了以
原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此圆C内不在任何
切点弦上的点形成的区域的面积为π×12＝π.
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